合集-组合数学

组合数学合集
摘要：组合数基础 Link 真的是基础 Lucas 定理 Link 扩展待补 组合数列 Link 斯特林数待补 生成函数 咕咕咕 容斥与反演 反演基础 Link 容斥基础 Link 阅读全文
posted @ 2025-01-30 22:06 Ydoc770 阅读(42) 评论(0) 推荐(0)
组合数及其简单应用
摘要：定义 组合数，也叫二次项系数，定义为 \[C^m_n=\binom n m=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n(n-1)\cdots(n-m+1)}{m!} \] 下降幂： \(n\) 的 \(m\) 次下降幂定义为$$n^\underline m=n(n-1)\cdots(n- 阅读全文
posted @ 2025-01-22 21:42 Ydoc770 阅读(210) 评论(1) 推荐(1)
Lucas 定理简单证明
摘要：前言 Oi wiki 和网上博客的证明都没完全看懂，最后还是自己推出来的。。这里记录一下思路。 Lucas 定理 对于质数 \(p\)，$${n\choose m}\bmod p={\lfloor n/p\rfloor\choose \lfloor m/p\rfloor}\cdot{n\bmod p 阅读全文
posted @ 2025-01-24 12:08 Ydoc770 阅读(65) 评论(0) 推荐(0)
一些特殊的组合数列
摘要：组合小杂烩 卡特兰数 Catalan 数列 \(H_n\) 有三个表达式： \[\begin{aligned} H_n&= \begin{cases} \sum\limits_{i=0}^{n-1}H_iH_{n-i-1}&(n\ge2)\\ 1&(n=0,1) \end{cases}\\ &={H 阅读全文
posted @ 2025-01-30 22:01 Ydoc770 阅读(63) 评论(1) 推荐(0)
上升幂转下降幂如何避免斯特林数？
摘要：观前提示：这可能浪费你人生中宝贵的几分钟。 万物起源 一切要从神秘的校测说起，考到了对上升幂与组合数乘积求和。 朴素的做法由上升幂转普通幂再转下降幂，同时出现了第一类和第二类斯特林数，递推复杂度至少带平方。也就是这个式子： \[i^{\overline m}=\sum_k{m\brack k}i^k 阅读全文
posted @ 2025-02-06 20:43 Ydoc770 阅读(71) 评论(0) 推荐(0)
反演基础
摘要：前言 在 OI 中，所谓容斥思想，很多时候就是面对题目中的强性质不好直接表示时，先表示出一个易求的弱性质，再去考虑用强性质表示出弱性质，通过反演来得到用弱性质表示的强性质。 对于不同式子的反演方法各不相同，类似的变化也比较多样，下文将结合例题来探讨各种不同反演的应用。 目录前言二项式反演基本思想二项 阅读全文
posted @ 2025-03-18 20:41 Ydoc770 阅读(156) 评论(0) 推荐(0)
容斥基础
摘要：目录容斥朴素容斥容斥原理证明应用Luogu P3214 卡农 容斥 容斥不仅有着各式各样的式子，还有正难则反，容斥的思想等重要的方法手段，是计数中非常核心的技术。 朴素容斥 朴素容斥就是最基本的在小学就学过的集合的容斥。 容斥原理 设每个元素有 \(n\) 个可能的属性 \(p_i\) 表示其属于第 阅读全文
posted @ 2025-03-20 20:43 Ydoc770 阅读(100) 评论(0) 推荐(0)