平面图学习笔记——离散数学

平面图的定义

设无向图 \(G\)，若能将 \(G\) 画在一个平面上，使得任何两条边仅在顶点处相交，则称 \(G\) 是具有平面性质的图，简称平面图，否则称 \(G\) 是非平面图。

\(K_{3,3}\) 和 \(K_5\) 都不是平面图。

平面图的概念

若现有一个平面图 \(G\)，\(G\) 上的边将其所在的平面划分成一个个面，有限的区域为有限面，无限的区域为无限面，与无限面有交的边称为桥，一个面边界上边的数量为它的次数。

欧拉公式

定理

设 \(G\) 为一个联通平面图，\(n\) 为其点数，\(m\) 为其边数，\(f\) 为其面数（包含无限面），则有 \(n-m+f=2\)。

证明

进行 \(m\) 此如下操作：

• 若存在一个点的度数为 \(1\)，则删去这个点和连接它的这条边，\(n\) 和 \(m\) 各减一，\(n-m+f\) 的值不变。

• 否则一定存在一个环，删去环上的一条边，则 \(m\) 和 \(f\) 各减一，\(n-m+f\) 的值不变。

由于每次 \(m\) 的值都会减一，所以最终 \(m = 0, n = 1, f = 1, n - m + f = 2\) ，证毕。

推论1

有联通平面图 \(G\)，\(n\ge 3\)，每个面的次数至少为 \(p(p\ge 3)\)，则 \(m\leq \frac{p(n-2)}{p-2}\)。

证明

由于图联通，则有欧拉公式 \(n-m+f=2\)，由于每个面次数至少为 \(p\) 所以总次数至少为 \(p\cdot f\)，由于总次数一定是 \(2m\)，所以有 \(2m\ge p\cdot f\)，带入欧拉公式得

\[2m\ge p(2-n+m) \]

\[m(2-p)\ge p(2-n) \]

\[m\leq \frac{p(2-n)}{2-p} \]

\[m\leq \frac{p(n-2)}{p-2} \]

推论2

根据推论1，有一个联通平面图 \(G\)，满足 \(n\ge 3\)，将 \(p=3\) 带入，得到 \(m\leq 3n-6\)

平面图的判断

同胚操作

在无向图 \(G\) 中加入或删除一个度数为 \(2\) 的点，图的平面性不变。

库拉图斯基定理

图 \(G\) 是平面图当且仅当 \(G\) 不含与 \(K_5\) 或 \(K_{3,3}\) 同胚的子图。

图 \(G\) 是平面图当且仅当 \(G\) 中没有可以收缩到 \(K_5\) 或 \(K_{3,3}\) 的子图。

对偶图

现有一个平面图 \(G\)，将 \(G\) 的每一个面视作一个点，每一条分割两个面的边，视作这两个面之间的边，于是构造出了图 \(G\) 的对偶图。