数的三次方根

数的三次方根

给定一个浮点数 n，求它的三次方根。

所用方法和基本原理

该代码采用二分查找的方法来求解浮点数的三次方根。基本原理如下：

1. 确定搜索区间：因为任何实数的三次方根都在 -10000 到 10000 这个范围内（这里选择这两个边界是为了涵盖绝大多数实际情况），所以将初始搜索区间设定为 [-10000, 10000]。
2. 二分查找：在搜索区间内取中间值 mid，计算 mid 的三次方 mid * mid * mid。
   • 如果 mid 的三次方大于给定的浮点数 x，说明三次方根应该在左半区间，于是更新右边界 r = mid。
   • 如果 mid 的三次方小于或等于 x，说明三次方根应该在右半区间，于是更新左边界 l = mid。
3. 收敛条件：当搜索区间的长度 r - l 小于一个极小值（这里是 10e - 8）时，认为找到了足够精确的三次方根，此时左边界 l 的值即为所求的近似三次方根。

代码及注释

public class CubeRoot {
    // 搜索浮点数x的三次方根
    public static double search(double x) {
        // 设定左边界为 -10000
        double l = -10000;
        // 设定右边界为 10000
        double r = 10000;
        // 当搜索区间长度大于 10e - 8 时继续循环
        while ((r - l) > 1e - 8) {
            // 计算中间值
            double mid = (l + r) / 2;
            // 如果中间值的三次方大于 x
            if (mid * mid * mid > x) {
                // 更新右边界为 mid
                r = mid;
            } else {
                // 更新左边界为 mid
                l = mid;
            }
        }
        // 返回左边界作为三次方根的近似值
        return l;
    }
}

举例说明

假设要计算 x = 8 的三次方根。

1. 初始状态：l = -10000，r = 10000。
2. 第一次循环：
   • 计算 mid = (-10000 + 10000) / 2 = 0。
   • 计算 mid * mid * mid = 0 * 0 * 0 = 0，因为 0 < 8，所以更新 l = 0。
3. 第二次循环：
   • 此时 l = 0，r = 10000，计算 mid = (0 + 10000) / 2 = 5000。
   • 计算 mid * mid * mid = 5000 * 5000 * 5000 > 8，所以更新 r = 5000。
4. 第三次循环：
   • 此时 l = 0，r = 5000，计算 mid = (0 + 5000) / 2 = 2500。
   • 计算 mid * mid * mid = 2500 * 2500 * 2500 > 8，所以更新 r = 2500。
5. 继续循环：不断重复上述过程，随着循环次数增加，搜索区间 [l, r] 不断缩小。
6. 最终结果：当 r - l < 1e - 8 时，循环结束，返回 l，此时 l 非常接近 8 的三次方根 2。

方法的优劣

1. 时间复杂度：
   • 每次循环都将搜索区间长度缩小一半，设初始区间长度为 R = 10000 - (-10000) = 20000，最终收敛条件是区间长度小于 1e - 8。设循环次数为 k，则有 R / 2^k < 1e - 8，即 20000 / 2^k < 1e - 8。通过对数运算可得 k > log₂(20000 / 1e - 8)，时间复杂度为 (O(\log(R / \epsilon)))，其中 R 是初始区间长度，(\epsilon) 是收敛精度（这里 (\epsilon = 1e - 8)）。总体来说，时间复杂度与对数相关，效率较高。
2. 空间复杂度：
   • 代码中只使用了几个额外的变量（如 l、r、mid 等），空间复杂度为 (O(1))，不随输入值的大小而增加额外的空间需求，空间效率高。

优点：
- 算法简单直观，易于理解和实现。
- 时间复杂度相对较低，能够快速收敛到近似解。
- 空间复杂度低，对内存的消耗小。

缺点：
- 只能得到近似解，虽然通过调整收敛精度可以提高精度，但无法得到绝对精确的结果。
- 对于非常大或非常小的数，由于浮点数精度限制，可能会影响结果的准确性。