毒水做题笔记

海棠又落微雨时

毒水

毒水

题意

有 \(n\) 瓶水，一瓶有毒，你有 \(k\) 只小白鼠。你可以让每只小白鼠喝若干瓶水，如果一只白鼠喝了毒水就会死亡，否则会活。你必须一次性给定让每只白鼠和哪些瓶水的方案，然后交互库返回每只白鼠是否死亡。但是有一只白鼠的数据会被改变（死亡和活着交换）
要求判断出毒水的位置。
数据范围：\(n\leq1000, k>14\)

解析

如果没有改变数据，容易想到二进制分组，即让每只白鼠掌管二进制下的每一位（让他喝下二进制某一位是 \(1\) 的所有水）。
如果这只白鼠死亡，说明毒药的对应位是 \(1\)。这样只需要 \(\log{n}\) 只白鼠。

考虑有改变数据的情况，因为我们有 \(15\) 只白鼠，需要 \(10\) 只老鼠掌管二进制每一位（称呼它们是普通鼠）。
考虑多出来的 \(5\) 只如何使用。发现 \(2^5=32\)，因此多的 \(5\) 只老鼠带来的信息量实际上是想当少的。基本上只够找出被篡改的数据，因此考虑使用 \(5\) 只老鼠定位被篡改的数据位置。
实际上可以沿用之前的思路，考虑二进制分组的形式定位被篡改的数据。
为此，我们需要一个办法，可以使用一只老鼠的代价，断言一个普通鼠集合 \(S\) 中有数据被篡改。发现可以使用异或的形式。（设 \(1\) 代表死亡，\(0\) 代表活着）只要让某只老鼠的状态是 \(S\) 中所有老鼠的状态的异或和，那么就容易使用这只老鼠检验 \(S\) 中的数据是否都准确。
具体来说，如果一瓶水被 \(S\) 中的老鼠喝了奇数次，则让那只老鼠也喝一下，容易证明这样是符合异或要求的。

现在，我们已经能否让一只老鼠来“监管”若干只老鼠，只需要 \(4\) 只老鼠就能监管所有的普通鼠。
现在还有最后一个问题，会不会有监管鼠的数据被篡改。
方法也很简单，只需要让最后一只老鼠监管所有的监管鼠即可。
那万一最后一只老鼠的数据错了怎么办？实际上不管是最后一只老鼠数据错了，还是监管鼠数据错了，都不重要，此时直接按照普通鼠的数据计算即可。

总结

很牛的交互题，如果数据没有改变，这个问题是简单的。而关键在于想到用异或的形式来监管某一批老鼠的数据正确性。
比较平凡的一个想法是使用或的形式监管（让监管鼠喝下它监管的鼠的所喝的水）。但这样没法保证正确性，因为或的结果并不和所有数都相关，相比之下，异或显然是合适的选择。