BZOJ1040: [ZJOI2008]骑士
Description
Z国的骑士团是一个很有势力的组织，帮会中汇聚了来自各地的精英。
他们劫富济贫，惩恶扬善，受到社会各界的赞扬。
最近发生了一件可怕的事情，邪恶的Y国发动了一场针对Z国的侵略战争。
战火绵延五百里，在和平环境中安逸了数百年的Z国又怎能抵挡的住Y国的军队。
于是人们把所有的希望都寄托在了骑士团的身上，就像期待有一个真龙天子的降生，带领正义打败邪恶。
骑士团是肯定具有打败邪恶势力的能力的，但是骑士们互相之间往往有一些矛盾。
每个骑士都有且仅有一个自己最厌恶的骑士（当然不是他自己），他是绝对不会与自己最厌恶的人一同出征的。
战火绵延，人民生灵涂炭，组织起一个骑士军团加入战斗刻不容缓！
国王交给了你一个艰巨的任务，从所有的骑士中选出一个骑士军团，使得军团内没有矛盾的两人（不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的情况），并且，使得这支骑士军团最具有战斗力。
为了描述战斗力，我们将骑士按照1至N编号，给每名骑士一个战斗力的估计，一个军团的战斗力为所有骑士的战斗力总和。
Input
第一行包含一个正整数N，描述骑士团的人数。接下来N行，每行两个正整数，按顺序描述每一名骑士的战斗力和他最痛恨的骑士。
Output
应包含一行，包含一个整数，表示你所选出的骑士军团的战斗力。
Sample Input
3
10 2
20 3
30 1
10 2
20 3
30 1
Sample Output
30
HINT
N ≤ 1 000 000，每名骑士的战斗力都是不大于 1 000 000的正整数。
题解Here!
首先，需要先写出这题：
P1352 没有上司的舞会
这题就是一个裸的树形$DP$对吧。
再回到原题。
这是一个基环树上的树形$DP$。
也就是把那个题放到了基环树上。。。
那，什么是基环树呢？
基环树，又称环套树，即一个无向图中只存在一个环，并且环上的每个点都是一棵树的树根。
我们把$x$所讨厌的人$y$设为$x$的父亲节点，这样考虑每一个人都有且只有一条出边。
所以对一个"联通块"，只有根节点有机会形成环，即环一定包含根节点。
然后考虑非根节点：
它的出度一定是贡献给它的父亲的。
而根节点它的出度只能贡献给它的后代。
所以我们又解决了一个问题：每个联通块内有且只有一个简单环。
这样，我们考虑把每个联通块的环上删一条边，这样它必然构成树。
然后要注意：删掉的边所连接的两点$x,y$是不能同时选的。
所以我们分别强制$x,y$其中一个点不选，对新树跑$DP$。
同$P1352$，设$dp[i][0/1]$表示以$i$为根节点的子树$\text{选i}/\text{不选i}$所能获得的最大价值。
显然相邻的点是不能选的。
所以得到状态转移方程：
$$dp[i][0]=\sum_{j\in son_i}(\max\left\{\begin{array}{}dp[j][0]\\dp[j][1]\end{array}\right.)$$
$$dp[i][1]=\sum_{j\in son_i}dp[j][0])$$
注意：记得开$long\ long$。
头一次写基环树，感觉就是仙人掌的退化版啊。。。
附代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 1000010
#define MAX (1LL<<62)
using namespace std;
int n,c=1;
int head[MAXN],val[MAXN],fa[MAXN];
long long ans=0,dp[MAXN][2];
bool vis[MAXN];
struct Edge{
int next,to;
}a[MAXN];
inline int read(){
int date=0,w=1;char c=0;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date*w;
}
inline void add_edge(int x,int y){
a[c].to=y;a[c].next=head[x];head[x]=c++;
}
void dfs(int rt,int f){
vis[rt]=true;
dp[rt][0]=0;dp[rt][1]=val[rt];
for(int i=head[rt];i;i=a[i].next){
int will=a[i].to;
if(will!=f){
dfs(will,f);
dp[rt][0]+=max(dp[will][0],dp[will][1]);
dp[rt][1]+=dp[will][0];
}
else dp[will][1]=-MAX;
}
}
void find_circle(int x){
int rt=x;
vis[x]=true;
while(!vis[fa[rt]]){
rt=fa[rt];
vis[rt]=true;
}
dfs(rt,rt);
long long t=max(dp[rt][0],dp[rt][1]);
vis[rt]=true;
rt=fa[rt];
dfs(rt,rt);
ans+=max(t,max(dp[rt][0],dp[rt][1]));
}
void work(){
for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i])find_circle(i);
printf("%lld\n",ans);
}
void init(){
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
val[i]=read();fa[i]=read();
add_edge(fa[i],i);
}
}
int main(){
init();
work();
return 0;
}
