BZOJ3576: [Hnoi2014]江南乐
Description
小A是一个名副其实的狂热的回合制游戏玩家。在获得了许多回合制游戏的世界级奖项之后，小A有一天突然想起了他小时候在江南玩过的一个回合制游戏。 游戏的规则是这样的，首先给定一个数F，然后游戏系统会产生T组游戏。每一组游戏包含N堆石子，小A和他的对手轮流操作。每次操作时，操作者先选定一个不小于2的正整数M (M是操作者自行选定的，而且每次操作时可不一样)，然后将任意一堆数量不小于F的石子分成M堆，并且满足这M堆石子中石子数最多的一堆至多比石子数最少的一堆多1（即分的尽量平均，事实上按照这样的分石子万法，选定M和一堆石子后，它分出来的状态是固定的）。当一个玩家不能操作的时候，也就是当每一堆石子的数量都严格小于F时，他就输掉。(补充：先手从N堆石子中选择一堆数量不小于F的石子分成M堆后，此时共有N+M-1)堆石子，接下来小A从这N+M-1堆石子中选择一堆数量不小于F的石子，依此类推。
小A从小就是个有风度的男生，他邀请他的对手作为先手。小A现在想要知道，面对给定的一组游戏，而且他的对手也和他一样聪明绝顶的话，究竟谁能够获得胜利？
Input
输入第一行包含两个正整数T和F，分别表示游戏组数与给定的数。
接下来T行，每行第一个数N表示该组游戏初始状态下有多少堆石子。之后N个正整数，表示这N堆石子分别有多少个。
Output
输出一行，包含T个用空格隔开的0或1的数，其中0代表此时小A（后手）会胜利，而1代表小A的对手（先手）会胜利。
Sample Input
4 3
1 1
1 2
1 3
1 5
1 1
1 2
1 3
1 5
Sample Output
0 0 1 1
HINT
对于100%的数据，T<100，N<100，F<100000，每堆石子数量<100000。
以上所有数均为正整数。
题解Here!
考虑现在把一堆$x$个石子分为$i$堆。
为了使数量尽量平均，我们应该使分出来每堆的石子数量尽可能等于$\lfloor\frac{x}{i}\rfloor$。
如果每一堆分到$\lfloor\frac{x}{i}\rfloor$个石子，那么最后会多出$x\mod i$个石子。
考虑把这些多出来的石子分别放在分出来的石子堆中，那么有$x\mod i$堆会分到新的石子。
经过简单的计算，我们可以发现一个现象：
最后有$x\mod i$堆分到了$\lfloor\frac{x}{i}\rfloor+1$个石子，有$i-x\mod i$堆分到了$\lfloor\frac{x}{i}\rfloor$个石子。
这个时候要用到$SG$函数了。
先来介绍一下$SG$函数：
首先，我们定义$mex(minimal\ excludant)$运算：
这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。
例如：
$$mex\{0,1,2,4\}=3$$
$$mex\{2,3,5\}=0$$
$$mex\{\}=0$$
对于任意状态$x$，定义$SG(x)=mex(S)$，其中$S$是$x$后继状态的SG函数值的集合。
这样，集合$S$的终态必然是空集，所以$SG$函数的终态为$SG(x)=0$，此时$x$为必败点。
回归正题：
因为$SG(x)=mex{SG(y)|y是x的后继状态}$。
而根据我们上面的推导，$y$只有两种。
并且相同的数异或可以抵消。
于是我们可以通过判断$x\mod i$和$i-x\mid i$的奇偶性来缩小运算规模。
注意：求$mex$的时候直接比$x$就可以了，不需要每次都清空。
附代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 100010
using namespace std;
int n,F;
int sg[MAXN],mex[MAXN];
inline int read(){
int date=0,w=1;char c=0;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date*w;
}
int get_sg(int x){
if(sg[x]!=-1)return sg[x];
if(x<F){
sg[x]=0;
return 0;
}
sg[x]=0;
for(int i=2,last;i<=x;i=last+1){
last=x/(x/i);
for(int j=i;j<=min(i+1,x);j++){
int t=0;
if((x%j)&1)t^=get_sg(x/j+1);
if((j-x%j)&1)t^=get_sg(x/j);
mex[t]=x;
}
}
while(mex[sg[x]]==x)sg[x]++;
return sg[x];
}
int solve(int n){
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
int x=read();
ans^=get_sg(x);
}
return (ans?1:0);
}
int main(){
int t=read();F=read();
memset(sg,-1,sizeof(sg));
while(t--){
n=read();
printf("%d ",solve(n));
}
putchar('\n');
return 0;
}
