BZOJ2671: Calc

BZOJ2671: Calc

Description

　　给出N，统计满足下面条件的数对(a,b)的个数：
　　1.1<=a<b<=N
　　2.a+b整除a*b

Input

　一行一个数N

Output

　一行一个数表示答案

Sample Input

15

Sample Output

4

HINT

数据规模和约定

Test N Test N 

1 <=10 11 <=5*10^7 

2 <=50 12 <=10^8 

3 <=10^3 13 <=2*10^8 

4 <=5*10^3 14 <=3*10^8 

5 <=2*10^4 15 <=5*10^8 

6 <=2*10^5 16 <=10^9 

7 <=2*10^6 17 <=10^9 

8 <=10^7 18 <=2^31-1 

9 <=2*10^7 19 <=2^31-1 

10 <=3*10^7 20 <=2^31-1

---

题解Here!

 

这是一道神题。。。

所以我不会做。。。

只能去抄题解。。。

厚颜无耻写文。。。

题目要求：$Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[(i+j)|(ij)]$

我们把那个$(i+j)|(ij)$单独提出来看。

这个推导的过程可能比较扯淡复杂。。。

设$d=gcd(i,j)$，那么原式即为$$d(\frac{i}{d}+\frac{j}{d})|(\frac{ij}{d^2})d^2$$

消去一个$d$：$$(\frac{i}{d}+\frac{j}{d})|(\frac{ij}{d^2})d$$

设$u=\frac{i}{d},v=\frac{j}{d}$，则：$$(u+v)|(uv)d$$

而我们知道这时$u+v$与$uv$已经没有公约数了，不能再消去了。

于是变成了：$$(u+v)|d$$

神奇吧。。。

我们注意到$(u+v)d<=n,u<=d,v<=d$，所以有：$$u,v \in [1,\sqrt n]$$

所以题目就转化为：求$$\sum_{u=1}^{\sqrt n}\sum_{v=1}^{u-1}\lfloor\frac{n}{u+v}\rfloor[gcd(u,v)==1]$$

我们看到了熟悉的东西：$[gcd(u,v)==1]$

莫比乌斯反演！

于是：$$\sum_{d=1}^{\sqrt n}\mu(d)\sum_{u=1}^{\lfloor\frac{\sqrt n}{d}\rfloor}\sum_{v=1}^{u-1}\lfloor\frac{n}{(u+v)d^2}\rfloor$$

然后就可以愉快地跑了！

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MAXN 100010
using namespace std;
long long n;
int k=0,prime[MAXN],mu[MAXN];
bool np[MAXN];
inline long long read(){
	long long date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
void make(){
	int m=MAXN-10;
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=m;i++){
		if(!np[i]){
			prime[++k]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=k&&prime[j]*i<=m;j++){
			np[prime[j]*i]=true;
			if(i%prime[j]==0)break;
			mu[prime[j]*i]=-mu[i];
		}
	}
}
long long calculate(int n,int m){
	long long s=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int t=n/i;
		for(int j=i+1,last;j<(i<<1)&&j<=t;j=last+1){
			last=min((i<<1)-1,t/(t/j));
			s+=1LL*(last-j+1)*(t/j);
		}
	}
	return s;
}
long long solve(long long n){
	long long ans=0,m=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=m;i++)ans+=1LL*mu[i]*calculate(n/i/i,m/i);
	return ans;
}
int main(){
	make();
	n=read();
	printf("%lld\n",solve(n));
    return 0;
}