BZOJ2440: [中山市选2011]完全平方数

BZOJ2440: [中山市选2011]完全平方数

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。

他觉得这些数看起来很令人难受。

由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。

然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。 
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。

当然他不能送一个小X讨厌的数。

他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了小X。

小X很开心地收下了。 
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。

你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试数据的组数。 
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。 

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9,    T ≤ 50

---

题解Here!

 

题目要求第$k$个不是完全平方数倍数的数。

我们知道这个数一定没有平方因子！

没有平方因子？

如果一个数$x$没有平方因子，说明$\mu(x)!=0$。

$\mu(i)$直接线性筛出来就好了。

那，怎么找呢？

$k<=10^9$，这，这不是预处理就是二分答案啊。。。

预处理不好处理，就二分答案嘛。。。

二分出了一个$n$之后，就计算区间的答案。

根据容斥原理，满足要求的$Ans=n-\text{只有一个质数因子次数大于等于$2$的个数+只有2个质数因子大于等于2的个数-...}$。

这样的复杂度是$O(\sqrt n)$的。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 100010
#define MAX 2147483647
using namespace std;
int n;
int k=0,prime[MAXN],mu[MAXN];
bool np[MAXN];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
void make(){
    int m=MAXN-10;
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=m;i++){
        if(!np[i]){
            prime[++k]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=k&&prime[j]*i<=m;j++){
            np[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0)break;
            mu[prime[j]*i]=-mu[i];
        }
    }
}
bool check(long long x){
    int s=0;
    for(int i=1;i*i<=x;i++)s+=mu[i]*(x/i/i);
    if(s>=n)return true;
    return false;
}
long long solve(){
    long long l=1,r=MAX,mid,ans=MAX;
    while(l<=r){
        mid=l+r>>1;
        if(check(mid)){ans=mid;r=mid-1;}
        else l=mid+1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    int t=read();
    make();
    while(t--){
        n=read();
        printf("%lld\n",solve());
    }
    return 0;
}