BZOJ1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

BZOJ1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

提示：给出两个定义：

1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。

2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

---

题解Here!

 

许久没有碰过的高斯消元。。。

感觉板子都忘了。。。

看题，$n$维空间，这这这。。。

不妨从$n==2$的情况入手。

设球心坐标为$(x,y)$，球的半径为$r$。

得到方程组：$$\left\{\begin{array}{rcl}(x_1-x)^2+(y_1-y)^2=r^2......(1)\\(x_2-x)^2+(y_2-y)^2=r^2......(2)\\(x_3-x)^2+(y_3-y)^2=r^2......(3)\end{array}\right.$$

$(2)-(1),(3)-(2)$得到：$$\left\{\begin{array}{rcl}2(x_2-x_1)x+2(y_2-y_1)y=x_2^2-x_1^2+y_2^2-y_1^2\\2(x_3-x_2)x+2(y_3-y_2)y=x_3^2-x_2^2+y_3^2-y_2^2\end{array}\right.$$

而$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$都是我们已知的。

这不就是二元一次方程组吗？

怎么解？套公式？

考虑到$n\in [1,10]$，我们有个解方程利器——高斯消元！

这个方程组对应这个矩阵：$$\left[\begin{array}{} 2(x_2-x_1)\quad 2(y_2-y_1)\quad x_2^2-x_1^2+y_2^2-y_1^2\\ 2(x_3-x_2)\quad 2(y_3-y_2)\quad x_3^2-x_2^2+y_3^2-y_2^2\end{array}\right]$$

当然，这只是$n==2$的情况。

$n$维空间的方程组应该长这样：$$\left[\begin{array}{} 2(x_2-x_1)\quad 2(y_2-y_1)\quad 2(z_2-z_1)\quad...\quad x_2^2-x_1^2+y_2^2-y_1^2+z_2^2-z_1^2+...\\ 2(x_3-x_2)\quad 2(y_3-y_2)\quad 2(z_3-z_2)\quad...\quad x_3^2-x_2^2+y_3^2-y_2^2+z_3^2-z_2^2+...\\......\\ 2(x_{n+1}-x_n)\quad 2(y_{n+1}-y_n)\quad 2(z_{n+1}-z_n)\quad...\quad x_{n+1}^2-x_n^2+y_{n+1}^2-y_n^2+z_{n+1}^2-z_n^2+...\end{array}\right]$$

于是就可以愉快地高斯消元了。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MAXN 20
using namespace std;
int n;
double a[MAXN][MAXN];
inline int read(){
    int date=0,w=1;char c=0;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
    return date*w;
}
void work(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int k=i;
        for(int j=i;j<=n;j++)if(fabs(a[j][i]-a[k][i])<=1e-8)k=j;
        for(int j=1;j<=n+1;j++)swap(a[i][j],a[k][j]);
        for(int j=i+1;j<=n+1;j++)a[i][j]/=a[i][i];
        for(int j=1;j<=n;j++)
        if(i!=j)
        for(int k=i+1;k<=n+1;k++)a[j][k]-=a[j][i]*a[i][k];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.3lf ",a[i][n+1]);
    printf("\n");
}
void init(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    scanf("%lf",&a[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i][n+1]=0.00;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            a[i][n+1]+=a[i+1][j]*a[i+1][j]-a[i][j]*a[i][j];
            a[i][j]=(a[i+1][j]-a[i][j])*2.00;
        }
    }
}
int main(){
    init();
    work();
    return 0;
}