BZOJ3091: 城市旅行
Description
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Input
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Output
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Sample Input
4 5
1 3 2 5
1 2
1 3
2 4
4 2 4
1 2 4
2 3 4
3 1 4 1
4 1 4
1 3 2 5
1 2
1 3
2 4
4 2 4
1 2 4
2 3 4
3 1 4 1
4 1 4
Sample Output
16/3
6/1
6/1
HINT
对于所有数据满足 1<=N<=50,000 1<=M<=50,000 1<=Ai<=10^6 1<=D<=100 1<=U,V<=N
题解Here!
怎么$LCT$还套了一个数学期望啊。。。
$LCT$的大框架没争论。
然后看没有修改怎么办。
也就是那个期望值怎么求。
设每个点的权值为$val_i$。
对于一条路径：$1-2-3-\cdots-n$
子路径数为$C^2_{n+1}$。
也就是任选两个点，包括两个点重复。
然后对于每个点$i$，一定会被$i\times(n-i+1)$条路径覆盖。
即：从左边选择端点或从右边选择端点或选$i$为端点。
所以它的贡献就是$val_i\times i\times(n-i+1)$。
于是期望值就可以这么算：$$exp=\frac{\sum_{i=1}^n(val_i\times i\times (n-i+1))}{C^2_{n+1}}$$
但是这玩意怎么维护呢？
那个分母直接维护$size$即可，所以丢一边去不管它。
再画图：
对于一条树上路径：$1-2-3-\cdots-x-(x+1)-(x+2)-\cdots-n$
假设$x$为根节点。
那么左子树为：$1-2-3-\cdots-(x-1)$
其期望值为：$$exp_{lson}=\sum_{i=1}^{x-1}(val_i\times i\times (x-i))$$
但是实际要求的贡献为：$$exp_{lson}'=\sum_{i=1}^{x-1}(val_i\times i\times (n-i+1))$$
这个怎么办呢？
我们作个差试试：$$\left.\begin{array}{}exp_{lson}'-exp_{lson}&=&\sum_{i=1}^{x-1}(val_i\times i\times ((n-i+1)-(x-i)))\\&=&(n-x+1)\sum_{i=1}^{x-1}(val_i\times i)\end{array}\right.$$
额。。。好像没什么用啊。。。
等一下！
那个$(n-x+1)$很可疑啊！
没错！它就是右子树的$size+1$！（那个$1$是根节点）
设：$$lsum_n=\sum_{i=1}^n(val_i\times i)$$
所以：$$exp_{lson}'=exp_{lson}+lsum_{lson}\times(size_{rson}+1)$$
同理对于右子树：
$$rsum_n=\sum_{i=1}^n(val_i\times (n-i+1))$$
$$exp_{rson}'=exp_{rson}+rsum_{rson}\times(size_{lson}+1)$$
然后是根节点的贡献：$$exp_{rt}'=val_{rt}\times(size_{lson}+1)\times(size_{rson}+1)$$
整到一块去：$$\left.\begin{array}{}exp_{rt}&=&exp_{rt}'+exp_{lson}'+exp_{rson}'\\&=&exp_{lson}+lsum_{lson}\times(size_{rson}+1)+exp_{rson}+rsum_{rson}\times(size_{lson}+1)+val_{rt}\times(size_{lson}+1)\times(size_{rson}+1)\end{array}\right.$$
那，$lsum_{rt},rsum_{rt}$怎么维护呢？
也很简单：
设$$sum_{rt}=\sum_{i\in son_{rt}}val_i$$
则：$$lsum_{rt}=lsum_{lson}+lsum_{rson}+(val_{rt}+sum_{rson})\times(size_{lson}+1)$$
$$rsum_{rt}=rsum_{lson}+rsum_{rson}+(sum_{lson}+val_{rt})\times(size_{rson}+1)$$
终于把数学期望搞定了。。。
等一下！
好像还有修改？！
蒟蒻心里苦。。。
继续慢慢推式子。。。
假设在$rt$加上的值为$c$。
很显然：$$val_{rt}+=c$$
$$sum_{rt}+=c\times size_{rt}$$
那个$lsum_{rt},rsum_{rt}$推一推式子也能出来：
$$lsum_{rt}'=\sum_{i\in son_{rt}}((val_i+c)\times i)=\sum_{i\in son_{rt}}(val_i\times i)+c\times \frac{size_{rt}(size_{rt}+1)}{2}=lsum_{rt}+c\times \frac{size_{rt}(size_{rt}+1)}{2}$$
$$rsum_{rt}'=rsum_{rt}+c\times \frac{size_{rt}(size_{rt}+1)}{2}$$
但是$exp_{rt}$就很恶心了。。。
与$lsum_{rt}$的方法相同，我们可以得到：$$exp_{rt}'=exp_{rt}+c\times \sum_{i=1}^{size_{rt}}(i\times(size_{rt}-i+1))$$
后面那一堆看得很烦，于是挑出来搞事：$$S=\sum_{i=1}^{n}(i\times(n-i+1))=1\times n+2\times (n-1)+\cdots+n\times 1$$
补项成我们会的东东：$$S=(1+2+3+\cdots+n)\times n-(1\times 2+2\times 3+\cdots+(n-1)\times n)$$
前面一部分好说，继续把后面一部分挑出来搞事：
$$S=\frac{n^2(n+1)}{2}-W$$
$$W=(1\times 2+2\times 3+\cdots+(n-1)\times n)$$
拆项成我们会的东东：
$$\left.\begin{array}{}W&=&1\times 2+2\times 3+\cdots+(n-1)\times n\\&=&1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2+1+2+3+\cdots+(n-1)\end{array}\right.$$
根据小学奥数/高中必修，我们可以得到：$$W=\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}+\frac{n(n-1)}{2}$$
于是：$$S=\frac{n^2(n+1)}{2}-\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}-\frac{n(n-1)}{2}$$
然后疯狂展开，疯狂合并同类项，最后得到一个简单到难以想象的式子：$$S=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$
整个还回去：$$exp_{rt}'=exp_{rt}+c\times\frac{size_{rt}(size_{rt}+1)(size_{rt}+2)}{6}$$
修改也就完成了。
记得翻转的时候把$lsum_{rt},rsum_{rt}$也交换一下。
然后用一个$map$大力记录边。
记得开$long\ long$。
呼~~~
终于写完了。。。
累死我了。。。
鬼畜的神题。。。
其实我写的还不是很好，但是我已经尽力了。。。
看不懂的，就去找代码吧。。。
附代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<map>
#define MAXN 50010
using namespace std;
map<int,int> Edge[MAXN];
int n,m;
int top=0,stack[MAXN];
struct Link_Cut_Tree{
int f,size,flag,son[2];
long long val,sum,lsum,rsum,exp,c;//exp==expectation
}a[MAXN];
inline int read(){
int date=0,w=1;char c=0;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date*w;
}
long long gcd(long long x,long long y){
if(!y)return x;
return gcd(y,x%y);
}
inline bool isroot(int rt){
return a[a[rt].f].son[0]!=rt&&a[a[rt].f].son[1]!=rt;
}
inline void pushup(int rt){
if(!rt)return;
int lson=a[rt].son[0],rson=a[rt].son[1];
a[rt].sum=a[lson].sum+a[rson].sum+a[rt].val;
a[rt].size=a[lson].size+a[rson].size+1;
a[rt].lsum=a[lson].lsum+a[rson].lsum+(a[rt].val+a[rson].sum)*(a[lson].size+1);
a[rt].rsum=a[rson].rsum+a[lson].rsum+(a[lson].sum+a[rt].val)*(a[rson].size+1);
a[rt].exp=a[lson].exp+a[rson].exp+a[rt].val*(a[lson].size+1)*(a[rson].size+1)+a[lson].lsum*(a[rson].size+1)+a[rson].rsum*(a[lson].size+1);
}
inline void reverse(int rt){
if(!rt)return;
a[rt].flag^=1;
swap(a[rt].son[0],a[rt].son[1]);
swap(a[rt].lsum,a[rt].rsum);
}
inline void change(int rt,long long c){
if(!rt)return;
long long x=1LL*a[rt].size*(a[rt].size+1)/2,y=1LL*a[rt].size*(a[rt].size+1)*(a[rt].size+2)/6;
a[rt].val+=c;
a[rt].c+=c;
a[rt].sum+=c*a[rt].size;
a[rt].lsum+=x*c;
a[rt].rsum+=x*c;
a[rt].exp+=c*y;
}
inline void pushdown(int rt){
if(!rt)return;
if(a[rt].flag){
reverse(a[rt].son[0]);
reverse(a[rt].son[1]);
a[rt].flag=0;
}
if(a[rt].c){
change(a[rt].son[0],a[rt].c);
change(a[rt].son[1],a[rt].c);
a[rt].c=0;
}
}
inline void turn(int rt){
int x=a[rt].f,y=a[x].f,k=a[x].son[0]==rt?1:0;
if(!isroot(x)){
if(a[y].son[0]==x)a[y].son[0]=rt;
else a[y].son[1]=rt;
}
a[rt].f=y;a[x].f=rt;a[a[rt].son[k]].f=x;
a[x].son[k^1]=a[rt].son[k];a[rt].son[k]=x;
pushup(x);pushup(rt);
}
void splay(int rt){
top=0;
stack[++top]=rt;
for(int i=rt;!isroot(i);i=a[i].f)stack[++top]=a[i].f;
while(top)pushdown(stack[top--]);
while(!isroot(rt)){
int x=a[rt].f,y=a[x].f;
if(!isroot(x)){
if((a[y].son[0]==x)^(a[x].son[0]==rt))turn(rt);
else turn(x);
}
turn(rt);
}
}
void access(int rt){
for(int i=0;rt;i=rt,rt=a[rt].f){
splay(rt);
a[rt].son[1]=i;
pushup(rt);
}
}
inline void makeroot(int rt){access(rt);splay(rt);reverse(rt);}
int findroot(int rt){
access(rt);splay(rt);
while(a[rt].son[0])rt=a[rt].son[0];
return rt;
}
inline void split(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);}
inline void link(int x,int y){makeroot(x);a[x].f=y;}
inline void cut(int x,int y){
split(x,y);
if(a[y].son[0]==x&&a[x].f==y&&!a[x].son[1])a[x].f=a[y].son[0]=0;
pushup(y);
}
inline void update(int x,int y,int k){
split(x,y);
change(y,k);
}
inline void query(int x,int y){
long long on,down,t;
split(x,y);
on=a[y].exp;
down=1LL*a[y].size*(a[y].size+1)/2;
t=gcd(on,down);
printf("%lld/%lld\n",on/t,down/t);
}
void work(){
int f,x,y,k;
while(m--){
f=read();x=read();y=read();
switch(f){
case 1:{
if(Edge[x][y]){
cut(x,y);
Edge[x][y]=Edge[y][x]=0;
}
break;
}
case 2:{
if(findroot(x)!=findroot(y)){
link(x,y);
Edge[x][y]=Edge[y][x]=1;
}
break;
}
case 3:{
k=read();
if(findroot(x)!=findroot(y))break;
update(x,y,k);
break;
}
case 4:{
if(findroot(x)!=findroot(y))printf("-1\n");
else query(x,y);
break;
}
}
}
}
void init(){
int x,y;
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i].val=read();
pushup(i);
}
for(int i=1;i<n;i++){
x=read();y=read();
Edge[x][y]=Edge[y][x]=1;
link(x,y);
}
}
int main(){
init();
work();
return 0;
}
