BZOJ3884: 上帝与集合的正确用法

BZOJ3884: 上帝与集合的正确用法

Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。

 

一句话题意：

Input

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

Sample Input

3
2
3
6

Sample Output

0
1
4

HINT

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

---

题解Here!

本蒟蒻$AFO$后第一篇题解。。。

$AFO$的感觉很不爽。。。

不过由于期末考试年级$26$，于是又可以来浪一浪啦！

不说了，写题解——

第一眼望去好不可做啊。。。

但是自从知道了这个东西就简单多了：

当$b>\varphi(p)$时，有：$$a^b\equiv a^{(b\mod \varphi(p)+\varphi(p))}(\mod p)$$

于是这个题就好做啦！

设$f(p)=2^{2^{2^{...}}}\mod p$，则有：$$f(p)=2^{(f(\varphi(p))+\varphi(p))}\mod p$$

然后递归下去即可。

但是，复杂度呢？

没事，还有个我也不知道怎么来的公式：$$\varphi(\varphi(p))\leq\frac{p}{2}$$

所以复杂度就是：$O(\log_2p)$

再加上线性筛$\varphi(p)$，总复杂度就是：$O(10^7+\log_2^2p)$

跑得飞快！

附带码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 10000010
using namespace std;
long long mod;
int k=0,prime[MAXN],phi[MAXN];
bool np[MAXN];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
long long mexp(long long a,long long b,long long c){
	long long s=1;
	while(b){
		if(b&1)s=s*a%c;
		a=a*a%c;
		b>>=1;
	}
	return s;
}
void make(){
	int m=MAXN-10;
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=m;i++){
		if(!np[i]){
			prime[++k]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=k&&prime[j]*i<=m;j++){
			np[prime[j]*i]=true;
			if(i%prime[j]==0){
				phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			phi[prime[j]*i]=phi[i]*phi[prime[j]];
		}
	}
}
long long solve(long long p){
	if(p==1)return 0;
	return mexp(2,solve(phi[p])+phi[p],p);
}
int main(){
	int t=read();
	make();
	while(t--){
		mod=read();
		printf("%lld\n",solve(mod));
	}
	return 0;
}