网络流
模拟赛考了三道网络流，场上只看出来一道网络流……一点板子都不会写了，遂复习重学+补博客的坑
upd：2025.3.22 突然发现我的当前弧优化写的不对，必须写在判断条件的下面，否则有可能在回溯的时候往回跳
前置
网络流是一个有源点s和汇点t的有向图
容量限制： 对于每条边，都有一个 \(f(u,v)\) 表示它上的流，同有一个 \(c(u,v)\) 表示它的容量。\(f(u,v)\leq c(u,v)\) ，一条边的流不能超过它的容量。
斜对称性： \(w(u,v)=-w(v,u)\)
流守恒： 除非是源点或汇点，剩下所有节点流入和流出的流量相等。源点是产生流量的地方，汇点是流量流至的地方。
剩余流量： 边的剩余流量是 \(c_f(u,v)=c(u,v)-f(u,v)\) ，这定义了剩余网络，它显示可用的容量的多少。注意，即使元网络中 u->v 没有边，在剩余网络中仍可能有 u->v 的边。因为相反方向的流抵消，减少由 v->u 的流等于增加 u->v 的流。
增广路： 就是一条路径，它的起点是s，终点是t，且它经过的边的剩余流量均大于0，表示沿这条路径发送更多流是可能的。当且仅当剩余网络没有增广路时，达到最大流。
最大流
非常顾名思义，就是求s到t的最大可行流
首先，引入反向边。如果我们没有反向边，那么如果直接给流量，可能不会是整体最优决策。那么我们在给流量的时候，给当前边容量减掉流量，反向边加上流量，这样就可以在之后的操作中，通过走反向边，给程序“反悔”的机会。
dinic
dinic又称为“Dinic阻塞流算法”，该算法的关键就在于“阻塞流”
这里我们说的最短路是01最短路，即路径上的边数。我们考虑每次增广最短路上的边（这个跟时间复杂度证明有关）
这里我们引入“分层图”，大概就是对于每个点，按照s到它的最短路长度分组，最短路长度相等的为“一组”或“一层”。这个分层也可以理解为深度。
建图后我们发现，所有存在于分层图上的残余边都在一条残量网络的最短路上。因为不用担心在处理分层图时流被反向退回，我们放心地只用一遍dfs来增广就好了。（增广就是找到一条增广路，并让它流它上面能流的最大流量）
但这并不意味我们在边上处理流量的时候不用管反向边，反向边的残量变更还是要计算的。因为以后的dfs可能会把流再推回去。
我们发现，当把分层图上的最大流完全增广后，s和t在分层图上一定不连通，我们称其为阻塞增广，这样增广出来的流就是阻塞流。
dinic主要由一个bfs和一个dfs组成，其中bfs用于寻找最短路；dfs用于在可行增广路中寻找最小容量，即寻找增广路最多能流的流量。
当前弧优化
保证复杂度的一个东西
我们定义一个now数组，它最初就是h数组，即邻接表存图的头指针。我们在dfs时，从x到了第i条边，就说明前i-1条边已经被榨干了，那么不妨直接改now[x]=i，下次访问从x出发的节点时就可以直接到这里。
这个就是因为，前面所说的“阻塞流”。因为每次跑阻塞流都会把当前路径断开，即，不再能从s到达t，所以这些跑过的边是没用的。
\(O(n^2m)\) 但玄学上界，指复杂度很松，一般都能跑。。
还是贴一下时间复杂度证明吧：
void add(int u,int v,int val){
nxt[++cnt]=h[u],to[cnt]=v,h[u]=cnt,w[cnt]=val;
nxt[++cnt]=h[v],to[cnt]=u,h[v]=cnt,w[cnt]=0; //有向图！
}
int bfs(){
memset(dep,0,sizeof(dep));
queue<int>q;
q.push(s);
dep[s]=1;
now[s]=h[s];
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
int y=to[i];
if(w[i]>0&&dep[y]==0){//直接考虑能走的边
q.push(y);
now[y]=h[y];//当前弧优化
dep[y]=dep[x]+1;//分层图
if(y==t) return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int x,int sum){//这里，sum：整条路的最大贡献流量
if(x==t) return sum;
int k,res=0;
for(int i=now[x];i&∑i=nxt[i]){
int y=to[i];
if(w[i]>0&&(dep[y]==dep[x]+1)){//保证是最短路+能走
now[x]=i;//当前弧优化，走过的
k=dfs(y,min(sum,w[i]));//k流过的流量
if(k==0) dep[y]=0;//剪枝，增广完毕
w[i]-=k,w[i^1]+=k;//正反向边
res+=k;//经过该点的流量和
sum-=k;//经过该点当前剩余流量
}
}
return res;
}
void dinic(){
while(bfs()){
ans+=dfs(s,inf);
}
}
费用流
也叫最小费用最大流。保证解是最大流的情况下，费用最大/小。
怎么说，就是把bfs动点手脚，改成spfa，支持最长路最短路就行。
对EK或dinic的最短路改成spfa都行。dinic更快一点，而且和最大流差别不大，就是bfs的按01最短路分层改成了按SPFA最短/长路分层。然后后面为了处理0费用边必须写一个vis，否则会寄。
\(O(n^2m^2)\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e3+5,maxm=5e4+5,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,h[maxn],to[maxm<<1],nxt[maxm<<1],cnt=1,w[maxm<<1],f[maxm<<1];
int dis[maxn],vis[maxn],now[maxn],mcost,mflow,s,t;
void add(int u,int v,int val,int flow){
nxt[++cnt]=h[u],to[cnt]=v,h[u]=cnt,w[cnt]=val,f[cnt]=flow;
nxt[++cnt]=h[v],to[cnt]=u,h[v]=cnt,w[cnt]=-val,f[cnt]=0;
}
bool SPFA(){
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
queue<int>q; q.push(s);
dis[s]=0,vis[s]=1;
while(q.size()){
int x=q.front(); q.pop();
vis[x]=0,now[x]=h[x];
for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
int y=to[i];
if(f[i]>0&&dis[x]+w[i]<dis[y]){
dis[y]=dis[x]+w[i];
if(!vis[y]) q.push(y),vis[y]=1;
}
}
}
return dis[t]!=inf;
}
int dfs(int x,int sum){
if(x==t) return sum;
int k,res=0; vis[x]=1;//处理0费用边，因为后面有一个dis[y]==dis[x]+w[i]否则会来回跑
for(int i=now[x];i&∑i=nxt[i]){
int y=to[i];
if(!vis[y]&&f[i]>0&&dis[y]==dis[x]+w[i]){
now[x]=i;
k=dfs(y,min(sum,f[i]));
if(!k) dis[y]=0;
mcost+=k*w[i];
f[i]-=k,f[i^1]+=k;
sum-=k,res+=k;
}
}
vis[x]=0;
return res;
}
void dinic(){
while(SPFA()){
mflow+=dfs(s,inf);
}
}
int main(){
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
for(int i=1,u,v,val,flow;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&flow,&val);
add(u,v,val,flow);
}
dinic();
printf("%d %d",mflow,mcost);
return 0;
}
最小割
割： 将所有节点划分成S,T两个集合，源点属于S，汇点属于T。相当于一刀切。
割的径流量： 集合S和T间连接的边中，从S到T边的容量之和。最小割为容量最小的割。
定理：最大流=最小割
感性理解就行（
闲话：
第一眼看题，不一定能看出来是网络流，甚至可能是把一个数据类的抽象到图论上。总之很巧妙，像dp。就先看限制约束条件，可以先思考连边，然后考虑是最大流、最小割还是什么总体-局部的转换，最后建图。
有一个最大权闭合子图，套路性的正边-源点，负边-汇点，答案为正边权和-最小割。
求解一条边能否在最小割和是否一定在最小割中的问题时，考虑在最终的残量网络上用 tarjan 求解。
上下界网络流（可行、最大、最小、费用流）
主要思想就是先让它直接流下界的流量，然后如果是有源汇的就连汇点t到源点s（因为流量应该相等），多余或不足的流量从新的源点汇点S、T补（这里直接理解为“令”它的出/入流量为什么），然后跑最大流，如果把新源点汇点的边跑满，则可行。
最大流就是在残量网络上s-t跑最大流+可行流。
最小流就是删去和S、T连边以及t-s后跑最大流，w（t-s）-最大流。
费用流基本是可行费用流，套板子即可。
这个算法真的，不太用动脑（？只要能用的，按题意模拟即可。（算是网络流中最好想的吧。。）
一些tips：
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如果求类似最大值最小，考虑和二分答案相结合，用最大流、可行流check等等
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与源汇点、二分图有关三大套路：格子染色(用于仅与相邻有关的)、数学分奇偶性(包括二进制分组)、矩阵分横纵以点连线
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拆点，每个状态为一个点或入边->出边，中间是限制条件。点数太大了考虑动态加点。
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任意两边的交点都在顶点上的图称为平面图，如果我们把面作为点，相邻的边连线，可以得到对偶图，对于数据点过大的，平面图最小割=对偶图最短路。
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分数规划，其实就是把分母乘过去，然后二分验证。
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对于平方的处理：拆边，假设全一种情况，考虑增量；或根据2k+1来连。
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对于：最多x个满足什么条件，可转化为至少总数-x个满足非这个条件
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二分图上跑最大流的复杂度是 \(O(m\sqrt{n})\)
·如果不刻意卡，6e3-1e5的点数甚至都能过去！网络流就是要敢写！！！
模拟费用流
神秘算法，本质是贪心。大概就是如果数据范围比较大网络流跑不过去，且有一定特殊性质时可以使用。
如 [NOI2019] 序列
我们先考虑“自由流”，即这么流一定不会使答案更劣的流，流满它。然后考虑流其他流，注意模拟退流等等。用优先队列维护。
浙公网安备 33010602011771号