考场tips/记trick

又：奇怪挂分点 或 做题手法

1.调和级数O(n/1+n/2+n/3+...+n/n)=O(nlogn)

2.树上问题中边和点的相互转化，染色，多次查询树剖+线段树。

3.3221225477 (0xC0000005): 访问越界，一般是读或写了野指针指向的内存。
3221225725 (0xC00000FD): 堆栈溢出，一般是无穷递归造成的。
3221225620 (0xC0000094): 除0错误，一般发生在整型数据除了0的时候。

4.恰好与至少的相互转化，容斥原理或二项式反演。

5.用 vector().swap(v)可以释放v的内存。

6.根号分治的想法。主要在于观察题目条件，得到暴力美学的做法，经常和操作次数、操作方式和每次操作值域有关。比如 排列最小生成树 (pmst) ，想到 \(|i-j|*|p_i-p_j|\) 超过n是不优的，又有排列的条件，从而得到操作不超过根号n条边。又比如 CF1207F Remainder Problem ，经典应用吧，对于小于根n的位置维护 \(b_{i,j}\) 表示当前所有下标模i的结果为j的数的和，对于所有大于根n的位置，直接在询问答案时暴力枚举下标，均摊复杂度 \(O(q\sqrt{n})\) .

7.枚举子集的子集的时间复杂度是 \(O(3^n)\) ，可以把式子展开使用二项式定理证明。推广：枚举k次子集的时间复杂度是 \(O((k+1)^n)\) .

8.永远写不对的dijkstra……（和现在已经不会写的SPFA)要关注两个算法的适用范围，还有vis，以及加入队列的-dis。仔细检查最短路！还有如果在外面更新了dis，那么一定要把当前点入队，才能去更新别的！！！这是动态转移和floyd的区别之处。

9.读题读题读题，审题审题审题！！！题目条件一定要看清楚再写，可以把条件或者自己想到的东西先写到本子上，写代码的时候一定要关注。题面看不懂就多看几遍，一个词一个词的看，尤其是t1t2不能因为看不懂而不写。多读题多读题，题读百遍其义自见。

10.容斥原理，二项式反演，至少/至多和恰好的转化。还有写的时候注意组合数和快速幂的正确性。

11.一定要判无解！！！！

12.最短路问题，如果要考虑一些性质，可以建立最短路树，如果最短路不唯一，则是最短路图。

13.双指针，把O(n^2)等转换为O(n). 数据结构枚举左端点查询右端点，或者扫描线维护二维结构。

14.平面图和对偶图的相互转化。简单来说（可能不严谨），平面图是边将图划分成为若干个不相交的面（比如网格），对偶图是把平面图的每个面化为一个点，如果两面相邻，则对该两点连一条边。经典手法是求平面图的划分数等价于对偶图的路径数。

15.快排重载运算符的时候不能加等号，比如写<=就容易re，要写成<。本质上是由于快排的内部程序结构中while引起的。

16.关于质因数分解的常用结论：一个数所含质因数最多log级别。(质数>=2)

以及卡常小技巧，特判2，然后从3开始，i+=2，只考虑剩下的奇数

17.vector加sort比set快很多！

18.像存权值这种可能相等的东西，一定要用multiset！并且每次删除元素一定要按照地址删，如果按照权值删，会把所有当前权值的都删掉。

19.图的边权形如|i-j|的直接贪心走/连相邻标号节点！

20.一旦题目和什么gcd或者质因数分解有关，一定要注意其情况数上界很有可能是log级别的。甚至于有方法是枚举答案去check。

21.分解质因数和寻找因子的最坏复杂度都是根号。

22.优先队列重载运算符，注意要重载小于号。

struct node{
    int x;
    int y;
    bool operator<(const node &a) const
    {
        return x>a.x;//从小到大排序
    }
};

23.算空间！！一旦开大直接->0pts!!!

24.对于只有加操作并需要取模的dp，当时限很紧时，不要开longlong+手写取模+快读！！

25.对于只有三种不同颜色去排列的方案，dp时一定要记得设上一次出现的位置为i,j,k，再根据下一个放什么去转移！（同类型的题目见一次不会一次，真服了）

26.取模取模取模！！即使是部分分也要记得取模！

27.对于计算本质不同的子序列，可以 \(O(n^2)\) \(dp\)，设 \(dp_i\) 表示以i结尾的本质不同的子序列个数。转移时钦定只对它靠一侧的匹配转移。

可以优化到 \(O(n)\) ，即设 \(dp_i\) 表示以 \(\leq i\) 结尾的本质不同的子序列个数。但是两种写法一定要分清楚不要混了。

28.一定要加c++14编译环境，以及开大栈空间！-std=c++14 -Wl,--stack=100000000

29.关于异或运算的处理手法，问到大于小于的问题一定要想到一定是：前k位相等，第k+1位不等。而且很多异或的条件可能只是和相邻两项有关，这个细节也是很好用的。可以考虑01trie（当然能简单维护就不要复杂化）。

30.对于每个区间求方案数或者贡献的问题，套路性地把某个点i固定下来，然后对它求贡献，可以用数据结构维护。

31.大量访问时建议使用vector而非链式前向星，因为vector的下标连续，在常数上更优！否则会被卡常！！！

32.二维数组一定要把大的那一维放前面，小的放后面，会快很多。

33.对于求一个字符串满足某些区间内0和1数量相等，不防记0为-1，记1为1，求前缀和，则该区间前后sum相等。或者直接0当0,1当1，然后列出来题目限制的若干条件。

这东西叫 差分约束系统 。对于每个约束条件 \(x_i-x_j \leq c_k\) ，都可以变形成 \(x_i \leq x_j + c_k\) ，这和单源最短路中三角形不等式非常像。那么我们把每个变量 \(x_i\) 当作图中的一个节点，对每个约束条件，从节点j向节点i连一条长度为 \(c_k\) 的有向边。（带绝对值就是双向边，注意对于本题还要建立原本的 \(|d_i-d_{i-1}|=1\)）

注意到，对于一组解 \({a_1,a_2,...,a_n}\) ，对于任意常数d， \({a_1+d,a_2+d,...,a_n+d}\) 也成立，因为做差后d刚好抵消。

过程：设dis[0]=0并向每个点连一条权重为0的边，跑单源最短路。若图中存在负环，则给定的差分约束系统无解。

34.卡时的时候一定要写成(double)clock()/CLOCKS_PER_SEC转化成秒，因为本地和评测机的这个周期不一定一样！虽然也不是很理解这个为什么要加double，但是不加绝对会挂！

35.一定要看是否要开long long或者__int128 !!! c++14允许使用__int128了！注意手写输入输出。但是如果范围超过__int128就要写高精了。

36.场上一定要先看四道题，避免死磕一道把时间浪费完了。难度可能不是顺序。遇到简单的部分分也可以先写。（我就只有这一场不是开始先看全部的题，结果就今天不是顺序。。。）

37.看时限，看空限，即使是部分分也要看！有时候题目会给出很奇怪的时空限制！比如4000ms，16MiB之类。。甚至于会有非常小范围的n,k这种，直接暴力会比带值域log快！！注意卡时

38.能直接推导就不要过分转换，否则边界之类的分讨很麻烦。（一旦转换就要注意边界条件）

39.草稿上不要太凌乱，适时想想有没有脑中一闪而过又忘记的东西，注意把想到的都记下来。

40.checker 的使用方法。把所有东西放到同一个文件夹，在“此电脑”中打开，并在上方地址栏输入cmd，然后按照题目格式放入checker和in/out文件。

另外，构造题先研究样例输出，先试图瞪出规律。否则构造还是需要严谨。

41.启发式合并的想法，有时候有题目需要维护集合，并且合并顺序可以自定，那么把小的向大的合并，是O(nlogn)的。会很方便。理解上就是，每产生一次合并，集合大小至少翻倍，那么对于n个集合，每个集合最多参与log(n)次合并。

42.bitset奇妙函数：

for(int j=tmp._Find_first();j<=m;j=tmp._Find_next(j))
//可以遍历其中所有的1的位置

b.count();
//计算其中1的个数

43.能少取模就少取模，能不开longlong就不开longlong，小心t飞。但是别忘了可能越界的地方要*1ll，相减要+mod ！！！

44.一般遇到瓶颈，想不到算法或者怎么维护的时候，大概率是题目性质没发现完全。多读题多手算样例，挖掘题目本身。反正如果真是什么手法算法没想到，那肯定是我不会的东西啊，场上也不可能写出来

45.对于图上路径处理/找环的一个重要想法就是dfs树上，考虑树边、非树边（横插边、返祖边），打标记去判断。

46.经典手法，把排序或者比大小改成维护0,1，即比当前小的为0，比当前大的为1。（有时可以使用线段树维护01排序）

47.dfs中定义局部变量和参数都会占用内存！！如果dfs层数特别多，内存很可能爆炸！所以能不写dfs最好别写。（我终于明白了回文自动机的parent tree为什么要写成基数排序的形式去遍历。）

48.别相信时限，尽可能用空间换时间，空限在不超的情况下开满！（可以在任务管理器处查看程序空间使用情况）

49.同余最短路，在mod某个数的意义下，建边，跑最短路，可以 \(O(n^2logn)\) 求出达到加和与某数同余的最少次数或者价值。常用于解决，给定一个上界和一些数，求通过特定方式的加和能达到的不同数的个数。

50.一个字符串的所有border（最长公共前后缀）排序后，至少存在一种将序列划分为若干子序列的方案，使得所有子序列均为等差数列，且子序列个数为 \(O(log|s|)\)

引理1：s[0..k-1]为s的border，等价于|s]-k为s的周期（由定义得）

引理2：考虑两个|s|的border A,B (|A|<|B|)，则A也为B的border（由定义得）

则对于长度 \(\geq \frac{|s|}{2}\) 的border，它们的gcd为p，则p也为|s|的周期。构成等差数列。

考虑剩下的border，它们都是其中最长的border的子串。考虑递归处理，至多log|s|层。

51.并查集（没有路径压缩时）一定要写按深度合并！按秩合并中按siz合并复杂度要远大于按rank合并！会被卡！！

52.太典了！又是无向图建了个单向边？！

53.没逝的没逝的，只不过线段树合并又没写返回值罢了。

54.结论：求满足区间内每个数都小于端点的区间数，除了端点相邻的区间，不会超过n个。求的时候可以考虑求出每个点左右第一个大于它的位置l，r，则贡献区间就是[l,r]。再加上相邻区间即可。

55.数颜色问题的套路：

法一，记录颜色上一次出现的位置pre，即查询有多少 \(i\in[l,r]\)，满足 \(pre_i\in[0,l)\)。

法二，用扫描线和区间加法。从i转移到i+1时，区间 \((pre_{i+1},i+1]\) 这一段颜色数量会+1，我们可以计算当 \(i\) 为区间右端点的贡献，即维护后缀和，在 \(i+1\) 处+1，在 \(pre_{i+1}\) 处-1。

56.queue的swap函数是O(1)的！因为只需要交换指针。

57.mt19937 rnd(time(nullptr)); 生成32位无符号整型伪随机数，更随机，更快。rnd里面实际上是seed，可以取时间。

58.manacher的数组一定要开二倍！！注意细节和判断边界！！

59.按理来说点分治跑两遍getrt更严谨，但可能会被卡常！其实只跑一遍getrt的复杂度也是对的。。。（好像有证明

60.独特的推式子方法：\(\sum_{j=1}^{i-1}[gcd(i,j)=1]*j=\frac{\varphi (i)*i}{2}\)，可以枚举并感性理解，其中和i互质的数都能两两配对，使之和为i。

61.注意到，位运算的优先级低于算术运算符和比较运算符！！又是被位运算优先级弄死的一天。。。且注意到，如果可能炸int，就要写 1ll<<x ！

62.任意一个正整数可以被表示成形如\(\binom{n}{2}\)的三个组合数之和。奇妙引理，找不到证明。

63.神秘结论之，随机生成一棵有根树的期望树高是根n。按照某种特定方式，如，规定树边从小编号连到大编号，生成的随机树，期望树高是logn。

64.只有期望有线性性，所以不要在期望的题里很作的去用总方案搞，步骤间还是要用期望去做。

65.把数组定义在函数里会死，不仅是初始化的问题，它调用完函数之后那个内存不太会释放的样子，而且评测波动很大。我以后再也不写重载运算符的矩阵快速幂了！！一定要写在结构体里面直接更改。

66.我以后再多测不清空我就是狗！！（尤其是链式前向星不知道cnt=0！！！就因为这个连炸两题

67.unsigned int 和 int 比较的时候会把 int 强制转换为 unsigned int，所以如果调用vector等类型的size时，它会返回 unsigned int，如果比较符号另一边是负数了，也会给它强制转成uint！！所以有负数的时候一定要写(int)s.size()

68.double的有效数字约15位，long double约18位，感觉double快到炸精度的边界了就要用long double！！另外，浮点数一点点精度问题都可能引发堆积效应，尤其是在反复使用一个fft数组的时候，适时要把虚数部清零！！

69.二分判边界的时候，记得用原来的l,r，而不是当前l,r！！直接用l,r是当前的，不是边界！！！（一个坑掉n次

70.取模不完全！！！实在不行我也写成add/del/mul()的形式算了。。。。。。

71.最近一直在写数学专题所导致的：死活不记得写mu[1]=1！！！

72.很多时候在过程中会影响原来的变量，因此在判断条件的时候务必注意是过程中还是原来的！！！！

73.路径是不经过重复的点！！！

74.以后模拟赛先认真读题，再认真手玩样例。为什么每次题意和我看的都不一样？！

75.技巧：可删堆，用a,b两个堆，分别表示插入和删除的操作。当我们要取出堆顶元素时，可以比较两者的堆顶。若两者相同，则弹出两者。否则a的堆顶元素就是真正的堆顶元素。

76.trick：找到出现频率至少为 \(a%\) 的数，就是每次在区间中删掉 \(\lfloor \frac{1}{a%} \rfloor +1\) 个不同的数，这样，出现频率至少为 \(a%\) 的数一定被保留下来了。

77.猫树：很类似cdq分治的一种结构，具体就是从每个分治中心向两边预处理东西，查询的时候查找区间左右端点的lca处就可以前后拼接求得答案。

78.对于生成包含某串子串的字符串问题，可以直接状压可能为开头的位置。（启示是，dp设计的状态只要能保证不重不漏就行，或者说，对于每种转移不会产生歧义）

79.摩尔投票：一个用于寻找数组中出现次数超过一半的数的方法。每次设一个候选数并把它的cnt设为1，如果下一个遇到的数和当前数相同cnt++，不同cnt--，如果cnt=0，则设当前数为候选数。

80.可行性dp优化方式->去掉一维后改为数值dp。

81.转化补集/正难则反/时间倒流都是很好的手法。另外思考问题时不妨先减少限制条件，简化题意，从简到繁，一部分一部分去思考。

82.什么时候才能在考场上想起来 \(E(x)=\sum_i P(x\geq i)\) 的转化呢？

83.什么时候才能发现dp实际上需要记录的状态很少，从而想到哈希优化dp状态设计呢？

84.经典trick是，把n划分为若干正整数之和的方案数是 \(3^{\frac{n}{3}}\) 级别的。

85.我真的不是很理解为什么过一段时间就会把树上倍增写错，还几把每次都有新鲜的错法。

86.经典trick之我又想不起来——求积的形式可以转化为求满足某种条件的数组的个数。从而通过枚举这个数组的某些信息来统计答案。

87.驻波真的不会做构造/结论题。感觉大概是找到一个充分或必要条件，然后猜测它是充要条件（（（一定要把每一点思路都写到草稿纸上！！！相信打表的力量

88.与枚举子集相关的枚举超集，只需要略加改动。

for(int t=s;~t;t=(t-1)&s)->for(int s=t;s<(1<<n);s=(s+1)|t)

89.queue预留空间很大，很容易mle。

90.计算了空间没问题，但还是mle：考虑把dfs换成bfs或者循环之类的。

91.dilworth定理（最长反链=最小链覆盖）可以用来刻画LIS。或理解为LIS的分层。