07 2020 档案
摘要：二项式反演： 形式一： $f(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i{n\choose i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i{n\choose i}f(i)$ 证明： 由多步容斥公式$|A_1\cup A_2\cu
阅读全文
摘要：点分治： 优雅地暴力解决一类不带修改的树上路径问题。 每次找原树的重心，以重心为根暴力枚举当前子树内的所有点算答案，然后继续递归子树。 这个东西最多会递归$\log{n}$层，所以复杂度是$O(n\log{n})$的。 #include<algorithm> #include<iostream> #
阅读全文
摘要：四边形不等式： 考虑形如$dp(i,j)=min\{dp(i,k)+dp(k,j)+w(i,j)\}$的dp。（若为max则把下文大小关系取反即可） 定义：若二元函数w满足$\forall a<b\leq c<d,w(a,c)+w(b,d)\leq w(b,c)+w(a,d)$，则称其满足四边形不等
阅读全文
摘要：题意： 有一个$n\times m$的方阵，方阵里的人从上到下，从左到右编号为$1-nm$。 有q次操作，每次操作分为如下步骤： 先将位置$(x,y)$的人拿出来； 然后让$(x,y)$右边的人整体左移补齐空位； 再让$(x,m)$下边的人整体上移补齐空位； 最后将一开始拿出来的人放到$(n,m)$
阅读全文
摘要：题意： 一个无穷大的网格图，初始时有n个黑点。每一个时刻，若点$(x,y)$满足： $\exist x1<x<x2$使得$(x1,y),(x2,y)$都是黑点。 $\exist y1<x<y2$使得$(x,y1),(x,y2)$都是黑点。 则点$(x,y)$也会变成黑点，求最终黑点数目，若一直变化输
阅读全文
摘要：题意： 给出两个只包含小写字母的字符串S,T，有q次询问，每次求$S_{l\cdots r}$和$T$的最长公共子串长度。 $|S|,|T|,q\leq 2\times 10^5$。 题解： 挺水的一道题，给两位Au水平的选手出这个是认真的么…… 首先考虑怎么求两个串a,b的最长公共子串：直接建出b
阅读全文
摘要：题意： 有一个字符序列，初始为空。输入一个长度为m的操作序列，有以下三种操作： 输入一个小写字母x，代表在序列末尾添加一个x。 输入'B'，代表删除序列末尾的一个字母。 输入'P'，代表输出此时的序列。（不影响序列的状态） 设操作序列中共有n个'P'，我们将输出的序列从1-n编号。 你需要回答q个询
阅读全文
摘要：题意： 对于一个字符串S，定义$num_i$表示满足$j\leq \frac{i}{2},S_{1\cdots j}=S_{i-j+1\cdots i}$的j的个数。 求$\prod \limits_{i=1}^{n}{(num_i +1)}$对$10^{9}+7$取模的值。T组数据。 $T\leq
阅读全文
摘要：题意： 给定一张n个点m条边的有向图，每条边代表一趟车，有发车时间$p_i$和到站时间$q_i$。 现在你要从点1坐车到点n，对于一次在点u的换乘，若你在时刻q到达u，在时刻p离开u，则会产生$A(p-q)^{2}+B(p-q)+C$的不满意度。 若你最后在时刻p到达点n还会产生p的不满意度，求从1
阅读全文
摘要：简介： 解决一类网格图上与连通性有关的二维状压dp问题。 例题1： 给定一个$n\times m$的网格图，有些格子不能铺线，其他格子可以。 求铺成若干个互不相交的闭合回路（哈密顿回路）的方案数。 $n,m\leq 12$。 题解： 一般的网格图状压dp都是整行整行的转移，本质上是一维的，而二维只能
阅读全文
摘要：题意： 有两人从$[2,n]$的正整数里分别选出两个集合，求这两个集合互质的方案数，对p取模。 定义集合$A,B$互质为$\forall a\in A,b\in B,(a,b)=1$。 $n\leq 500,p\leq 10^9$。 题解： 显然得状压dp，但是500以内有100个质数，不能直接做。
阅读全文
摘要：题意： 给定一棵n个点的树，每个点有$q_u$的概率亮，每条边有$p_{u,v}$的概率存在。 如果一个连通块里有亮的点那么这个连通块里所有点都变成亮的。 问期望有多少个点是亮的。 $n\leq 500000$。 题解： 一开始按照传统dp那样推了……其实树上期望的题一般都不是传统题。 用期望的线性
阅读全文
摘要：题意： 有一个$n\times n$的网格，初始时每个格子上有一个金币，行列编号为$[1,n]$。 然后发生了一次操作，原来位于$(x,y)$的金币移动到了$(f_x ,f_y )$，其中$f_x$为x在十进制下各位数字的乘积。 在操作之后你可以取K个格子里的金币，问最多能取多少个，对$10^{9}
阅读全文
摘要：题意： 有$10^{15}$个人，第i个人面前有$\lceil log_{k}{i}\rceil$堆石子，第j堆石子的数量为i写成k进制的第j位。 对于编号在$[L,R]$之间的人，你希望把每个人的石子合并成一堆。 移动一次石子的代价是$移动数量\times 移动距离$，请你求出最小移动代价之和。
阅读全文
摘要：简介： 在满足约束条件$\varphi(x_1 ,x_2 ,\cdots ,x_n )=0$时求$f(x_1 ,x_2 ,\cdots ,x_n )$的极值。 结论： 令$L(x_1 ,x_2 ,\cdots ,x_n )=f(x_1 ,x_2 ,\cdots ,x_n )+\lambda \var
阅读全文
摘要：题意： 有n个人，m门课，每个人在每门课的得分是一个$[1,u_i ]$之间的整数。 你知道自己在每门课的排名$r_i$，即有$r_i-1$个人得分高于你，$n-r_i$个人得分不高于你（不含自己）。 求你恰好碾压k个人的方案数，a碾压b的含义为a每门课的得分都不低于b的得分。 $n,m\leq 1
阅读全文
摘要：题意： 给定一棵n个点的树，每个点有点权$G_u$。 你需要回答q次询问，每次询问一条路径$(u,v)$上选一些点的最大异或和。 $n\leq 20000,q\leq 200000,G_u \leq 2^{60}$。 题解： 二合一板子题。写了个树剖发现$O(n\log^{3}{n})$能过，我也不
阅读全文
摘要：题意： 给定n，求$f(n)=\sum \limits_{i=0}^{n}{\sum \limits_{j=0}^{i}{S(i,j) 2^{j}{j!}}}$。 其中$S(i,j)$为第二类斯特林数。 $n\leq 10^5$。 题解： 挺水的一个题。 首先这种两个变量互相约束的东西不好化简，注意
阅读全文
摘要：题意： 定义幸运数为仅由数字6,8组成的数。 给定a,b，求$[a,b]$范围内有多少个幸运数的倍数。 $a,b\leq 10^{10}$。 题解： 首先暴力求一下幸运数，最多只有2000个左右。 然后容斥，但是发现复杂度是$2^{2000}$，希望不大。 我们考虑dfs式容斥，并添加如下三个剪枝：
阅读全文
摘要：题意： 给定一个长度为n的序列A，常数p和c。你需要支持m次操作，分为两种： 0 l r：将区间$[l,r]$中所有$a_{i}$替换成$c^{a_{i}}$。 1 l r：查询区间$[l,r]$中所有数的和，对p取模。 $n,m\leq 50000,c<p\leq 10^{8}$。 题解： 一般像
阅读全文
摘要：简介： 就是FWT加了一维个数。 例题： 给定长度为$2^n$的多项式a,b，求一个多项式c，使得$c_k = \sum \limits_{i\& j=0,i|j=k}{a_i b_j}$。 $n\leq 20$。 题解： 普通的FWT能够解决$c_k = \sum \limits_{i|j=k}{
阅读全文
摘要：题意： 给定一个集合S，里面的数都是小于m的非负整数。 求长度为n的数列个数，满足： 数列中所有数都属于S。 数列中所有数的乘积对m取模等于x。 称数列A和B不同当且仅当存在i使得$A_i \neq B_i$。 答案对1004535809取模。 $n\leq 10^{9},m\leq 8000,m是
阅读全文
摘要：题意： 在一个长度为n的只含a,b的字符串中选取一个子序列，使得： 位置和字符都关于某条对称轴对称。 不能是连续的一段。 求方案数对$10^{9}+7$取模的值。 $n\leq 10^5$。 题解： 首先答案可以用回文子序列个数减回文子串个数得到，回文子串可以Hash+二分求出。 考虑怎么求回文子序
阅读全文
摘要：题意： 定义$f_{d}(n)$为所有小于n且与n互质的正整数的d次方之和。 给定$d,n=\prod \limits_{i=1}^{w}{p_{i}^{a_{i}}}$，求$f_{d}(n)$对$10^{9}+7$取模的值。 $d\leq 100,w\leq 1000,p_{i},a_{i}\le
阅读全文
摘要：题意： 有n个点，你想修n-1条路将这n个点联通。有n-1家建筑公司，每家建筑公司可以修m条边。 你希望让每家建筑公司恰好修一条边。求修路方案数对$10^{9}+7$取模的值。 $n\leq 17,m\leq \frac{n(n-1)}{2}$。 题解： 挺水的一道题。看到“每家恰好修一条边”就想到
阅读全文
摘要：题意： 现有一个n行m列的棋盘，一只马欲从棋盘的左上角跳到右下角。 每一步它向右跳奇数列，且跳到本行或相邻行，但不能离开棋盘。 求跳的方案数，对30011取模。 $n\leq 50,m\leq 10^{9}$。 题解： 挺水的一道题。设$dp_{i,j}$为走到$(i,j)$的方案数，那么$dp_{
阅读全文
摘要：题意： 考虑一个博弈游戏：有n堆石子，每堆$a_{i}$个。 给定一个数F，每次你可以选择一堆个数$\geq F$的石子和一个数M，将这堆石子平分成M份（只有一种分法）。 最后不能操作的人输，问先手是否必胜。 $T,n\leq 100,F,a_i \leq 10^{5}$。 题解： 根据博弈论的常规
阅读全文
摘要：SG函数： 对于任何一个公平博弈游戏，我们都可以把每个局面看作一个顶点u，向它的子局面v连一条边，将整个游戏抽象成一张有向图。 对于一个非负整数集合S，我们定义$mex(S)$表示最小的不属于这个集合的非负整数。 对于一张有向无环图的每个顶点u，定义$SG(u)=mex(\{SG(v)\})$，那么
阅读全文
摘要：题意： 给定$a,b,p,x_1$，$\forall i>1,x_i = ax_{i-1} +b$。 求最小的$i$满足$x_i = t$，若无解则输出-1。 $0\leq a,b,x_1 , t<p\leq 10^{9},p是质数$。 题解： 挺水的一道题，展开之后BSGS即可。 但$a\leq
阅读全文
摘要：Big-Step-Giant-Step： 用于解形如$a^{x}\equiv b(mod\ p)$式的方程。 考虑分块，令$n=\lceil \sqrt{p} \rceil,x=rn-s$，则有 $a^{rn-s}\equiv b(mod\ p)$ $a^{rn}\equiv ba^{s}(mod\
阅读全文
摘要：题意： 称一个1-n的排列是Magic的，当且仅当$\forall i \in [2,n],p_i > p_{\lfloor \frac{i}{2} \rfloor}$。 求有多少排列是Magic的，答案对m取模。 $n\leq 10^{6},m\leq 10^{9}$。 题解： 容易发现这是一个完
阅读全文
摘要：题意： 一张无向图，从点1开始随机游走，走到点n时结束。每走一条边会得到等同于边权的收益。 （随机游走：每次等概率选择一条当前点的出边走过去） 请你给m条边分配边权（边权是1-m的排列），使得期望收益最小。 $n\leq 500$。 题解： 令期望收益为S，边$(u,v)$的边权为$w_{u,v}$
阅读全文
摘要：高斯消元： 解$n$元一次方程组的通用方法，大部分时候用于解决没有明显转移顺序的dp。 考虑将方程组列成一个$n\times (n+1)$的矩阵$A$，然后依次枚举每一个未知数$j$（第$j$列）： 从上往下找到第一个$i$，满足$i\geq j,A_{i,j}\neq 0$。 如果找不到则该方程组
阅读全文
摘要：题意： 有一张n个点m条边的有向图，走每条边需要花费时间$T_i$。每个点有一些商品，商品共有k种。 对于第i个点的第j种商品，有买入花费$B_{i,j}$和卖出花费$S_{i,j}$，若为-1则代表该点不支持买入/卖出该商品。 你是一个商人，现在你希望找到一条盈利效率最高的环路。 环路是指从某个点
阅读全文
摘要：题意： 有n个男生和n个女生参加舞会，一个男生和一个女生互为舞伴。 已知第i个男生与第j个女生跳舞会产生$a_{i,j}$的喜悦度和$b_i,j$的不协调度。 你希望最终配对方案的$\frac{\sum{a_{i,j} }}{\sum{b_{i,j} }}$最大，求这个最大值。 $n\leq 100
阅读全文
浙公网安备 33010602011771号