妙题集及数学证明整理

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本题数据范围五万 Link

试题分析

打表找出规律是\(f_n=n!\)，证明如下：
考虑什么东西能代表整张图，仔细想一想就是拓扑序。
为什么拓扑序能代表唯一的一张完全图呢？因为两两之间都有连边，也就是两两之间都有先后关系。
那么只要有拓扑序就可以代表一张完全图，所以答案就是拓扑序的种数也就是\(n!\)。

本题数据范围五千 Link

试题分析

对于 q = [1,2,3]，记 dpi,j 表示有多少个满足题目要求的 1,2,3,··· ,i 的排列使得 j 是最小的满足 j 前面有 < j 的数。 转移枚举末尾加一个 k，将前 i 个数中 ≤k 的数都 +1，可以得到 1,2,3,··· ,i+ 1 的排列。 对于 q = [2,1,3]，记 dpi,j 表示有多少个满足题目要求的 1,2,3,··· ,i 的排列使得 j 是最小的满足 j 后面有 < j 的数。 转移类似。 需要前缀和优化。
通过打表发现答案就是卡特兰数，与排列顺序无关。