KMP学习笔记

问题

（字符串匹配问题）给出一个主串A和一个模式串（又叫匹配串）B，询问B在A中出现的次数

一般做法

枚举起点，逐位比较A和B
具体来说，假设枚举的起点为i，当前比较到第j位（指模式串中的第j位），那么我们只需要比较\(A[i+j-1]\)和\(B[j]\)就可以了。这个算法的最坏时间复杂度是\(O(nm)\)。（形如 A="aaaaaaaaaaaaab" B="aaaaaaaaab"的询问）

优化动机

\(O(nm)\)很多情况下是不能接受的一个时间复杂度，那么我们应该怎么优化呢？有很多博客上会举出一个例子，来证明很多起点是没有必要的。比如说：A="abcccccab" B="abcab" 中，当我们首先枚举起点\(i=1\)，发现当\(j=4\)时匹配失败，一般做法会枚举起点\(i=2\)，但在这个情况下，明显\(A[2]!=B[1]\)，这个枚举是没有必要的。我们可以从中学到什么呢？

KMP

KMP算法的核心在于一个精妙的Next[]数组。（C++的同学要注意，Next最好不要写成next，否则在有一些编译器上会RE。然后就会爆0/(ㄒoㄒ)/~~）Next[]数组的定义如下：

$ Next[i]=Max { k | B[1..k]=B[i-k+1..i] } $

假设我们已经处理出Next[]数组，KMP的其余部分可以总结为4个步骤：

1. 初始化i,j
2. 跳动j
3. 比较A[i+1]和B[j+1]
4. 判断并输出答案

至于Next数组的处理，那更像是B[]与自身的匹配。

代码

void getNext(){
    Next[1] = 0;
    int j = 0;
    for (int i = 1; i < m; ++i){
        while (j>0 && B[j+1]!=B[i+1]) j = Next[j];
        if (B[j+1] == B[i+1]) ++j;
        P[i+1] = j;
    }
}

void KMP(){
    int j = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i){
        while (j>0 && B[j+1]!=A[i+1]) j = Next[j];
        if (A[i+1]==B[j+1]) ++j;
        if (j==m){
            printf("%d\n", i+1-m+1);
            j = Next[j];
        }
    }
}