国家候选队互测 2022 乱做

D1T1 毛估估就行

对于三个点 \(v,x,y\)，若 \(x,y\) 的最短路经过 \(v\) 或 \(v\) 的邻域，那么有 \(d(v,x)+d(v,y)-2\le d(x,y)\le d(v,x)+d(v,y)\)，可以直接给出答案。

于是可以每次找到度数最大的点，算出它到其它点的距离，然后删掉它和它的邻域，不断重复直到没有点为止。回答询问 \(x,y\) 时可以枚举 \(v\)，找到 \(d(v,x)+d(v,y)\) 的 \(\min\) 即可，单次复杂度 \(O(n)\)。

考虑分析预处理的复杂度，设第 \(i\) 次删除前有 \(m_i\) 条边，删除了当前度数最大的点 \(v_i\)，有 \(deg(v_i)\ge 2m_i/n\)。于是有 \(\sum2m_i/n\leq \sum (deg(v_i)+1)=n\)，所以复杂度为 \(O(n^2+\sum m_i)=O(n^2)\)。那么总复杂度为 \(O(n^2+qn)\)，无法接受。

考虑平衡复杂度，只删除 \(B\) 个点，那么回答单次询问复杂度 \(O(B)\)。但此外，还要计算未被删除的点两两之间的距离。注意到删除的是度数最大的 \(B\) 个点，于是剩下的点度数不超过 \(n/B\)，剩下的边数不超过 \(n^2/B\)，直接 bfs 即可做到 \(O(n^3/B)\)。总复杂度为 \(O(n^3/B+qB)\)，取 \(B=O(n^{1.5}q^{-0.5})\)，即可做到 \(O(n^{1.5}q^{0.5})\)。

https://uoj.ac/submission/527195

D1T2 理论复杂度

https://uoj.ac/submission/524975

D1T3 广为人知题

对 SAM 轻重链剖，记 \(f_u\)（\(g_u\)） 表示以 \(u\) 结尾（开头）的路径数，那么 \((u,v)\) 为重边当且仅当 \(2f_u>f_v\land2g_v>g_u\)。这样把剖出的链依然满足类似树剖的性质：每个点恰属于一条重链，以及每条路径至多切换 \(O(\log n)\) 条重链。

考虑如何快速地把一个询问串的路径拆成重链，可以对每条重链记录它对应的子串从哪开始，然后每次求 lcp 就能快速跳完一条重链了。

考虑如何计算答案。对于询问串长为 \(l\) 的前缀，若它在 SAM 上对应的节点是 \(v\)，那么以它结尾的模式串需要在 parent tree 中 \(v\) 到根的路径上且长度 \(\le l\) 。可以用这条路径上所有模式串减去长度 \(>l\) 的，发现后者只可能在 \(v\) 上。于是拆成重链后，前者可以预处理链上前缀和，后者可以转化为二维数点。

https://uoj.ac/submission/527372

D2T1 枪打出头鸟

线性基求交：对于两个维数 \(\leq W\) 的线性基 \(A,B\)，可以在 \(O(W^2)\) 的时间求出它们子空间的交的基。也就是选出尽量多的、线性无关的、能被 \(A,B\) 同时表示出的数。可以依次对每个 \(B_i\)，看它能否被 \(A\cup\{B_1,\ldots,B_{i-1}\}\) 的子集异或出来，若行，则将此方案中属于 \(A\) 的子集的异或和加进交的基里。容易证明这样是对的。

有了这个算法，就可以直接求出前缀线性基的交然后二分，单次询问复杂度 \(O(W\log n)\)。然后发现本质不同的前缀线性基至多 \(W\) 个，只用在其中二分即可做到 \(O(W\log W)\)。要更进一步，可以记录每一位主元在求交时被去掉的时间，然后回答时算出把 \(x\) 表示出的主元的最早去掉时间即可，这样是 \(O(W)\) 的。

https://uoj.ac/submission/525807 （单次询问 \(O(W\log W)\)）

D2T2 伟大 NIT 的贸易计划

一种和官方题解不一样的容斥做法。

设 \(a_i\) 为离开 \(i\) 号点时的载货量，那么需要满足 \(a_{i+1}\le a_i+k\)（其中 \(a_{n+1}=a_1\)）。考虑容斥，计算钦定 \(i\) 个 “\(\le\)” 改为 “\(>\)”，剩下的无限制的方案数。由于限制条件是一个环形结构，那么钦定出来的东西一定是若干条链，考虑计算每条链的生成函数（带上容斥系数）。这个容易用插板法得到，为 \(F(x)=\sum_{i\ge 0}(-1)^i{m-ik\choose i+1}x^{i+1}\)。于是将链拼成环后，最终答案就是 \([x^n]xF'(x)/(1-F(x))\)。

考虑用两种方法去求它：直接多项式求逆；或者发现 \(F\) 至多只有 \(m/k\) 项，然后线性递推。

https://uoj.ac/submission/526825

D2T3 可爱多的字符串

咕。