CF 杂题选做 2月
1582C
Tag：线段树 贪心 2300
考虑到把一个 \(2\) 树的一个点 \(u\) 加进集合的时候
如果 \(u\) 的子树内已经有点 \(v\) 加进来，那么此时去除 \(v\) 加 \(u\) 绝对是不优的
因为可选点会减少，但是答案不会增加，所以我们对 \(1\) 树 dfs。
每次遇到一个点 \(x\)，如果他祖先有个点选进集合，就去掉祖先选为 \(x\)。
如果他的子树有点被选，那么就不能选这个点。
如果不是上述两种情况就选择 \(x\)。
然后可以用线段树 + dfn序维护上述过程，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
2069E
Tag：思维 贪心 2300
考虑到两个相邻的的相同字母之间必须分开
所以最后会被分成若干段 \(AB\) 交替的形状
一开始我们先默认 \(A\) 和 \(B\) 全部分开，然后在满足 \(AB\) 和 \(BA\) 限制的情况下去合并。
首先对于奇数长度的 \(ABA...BA\) 的，分成 \(AB\) 和 \(BA\) 是等效的，也就是能泛用。
那么对于长度为偶数 \(len\) 的话，可以进行 \(\frac{len}{2}-1\) 的泛用，也可以 \(\frac{len}{2}\) 的用其中一个。
那么我们要做的就是在满足限制的前提下尽量使 \(\frac{len}{2}\) 的使用尽量多。
我们对于每个偶数段都可以贡献 \(1\) 的消除，我们把偶数段排序，尽量取小的进行转化。
1004D
Tag：思维 暴力构造 2300
挺有意思的题，不是很难。
显而易见先枚举 \(t\) 的约数可以得到矩形的大小。
考虑到答案有对称性，所以我们可以钦定把 \(0\) 放在矩形的左上角，也就是第二象限。
那么我们根据最大值，可以得出 \(0\) 所在的轨迹是一个斜率为 \(1\) 的一次函数。
然后我们再考虑一个性质：如果矩形的大小是无限的，那么 \(0,1,2...t\) 各种值的出现次数是固定的
其中 \(0\) 出现次数是 1，其余的就是 \(4 \times i\)。所以我们找到一下最大 \(d\) 使得 \(cnt_{d} \neq 4d\)。
也即 \(\min(x,y) = d\)，通过上述两个方法叠加，我们可以知道此时 \(0\) 可能出现的位置最多只有两个地方，暴力 \(check\) 即可。
因为因数个数大概是 \(\log n\) 级别，所以时间复杂度是 \(O(t \log t)\)，加上一些剪枝能跑的更快。
1004E
Tag：结论 树的直径 2400
结论题，没猜出来。
结论就是把直径拉直后，就是直径的一个子段。
证明：考虑一个端点，另一端同理，如果有其他的点可以使得最大值增大，那么它又不是直径，此时直径就会发生变化，与树的直径大小的唯一的相矛盾。
那么就是个很简单的滑动窗口了。
2066B
Tag：结论 2000
首先有两个 \(0\) 就寄了，可以证明答案中要么没 \(0\) 要么 一个 \(0\) 。
所以我们只需要检验是否能有一个 \(0\) 塞进去即可。
然后最左边的 \(0\) 是最优的，考虑证明
我们考虑两个相邻的 \(0\) ，首先一个 \(0\) 后面的 \(i\) 都是满足条件的，如果不用左边而是用右边的，就会导致中间这一段可能会寄掉，然后对前对后都没有影响。
所以就是一个模拟题了。
2062D
Tag: 贪心 2200
不难发现只有两种本质不同的操作：子树 \(+1\)，全局 \(+1\) 然后子树 \(-1\)。
我们发现如果父亲节点 \(u\) 比子树都大，那么最后子树都会变成 \(a_u\)，我们只需要考虑 \(a_u\) 和儿子 \(a_v\) 的关系即可。
若 \(a_u<a_v\) 那么我们就第二种操作。
接下来我们考虑如何确定 \(a_u\)，\(a_v\) 即可。
首先叶子节点我们选择最小值 \(l_u\)，因为如果不够我们是可以随意加的。
再考虑其父亲，如果父亲刚好和儿子一样大就不需要任何操作，比儿子小，就会凭空造成全局 \(+1\) 的情况，所以不优。
那么也就是说，我们要尽量使得父亲比儿子大的情况下父亲越小，那么也就是说 \(a_u\) 选择 \(\max{a_v}\) 即可。
如果超出 \(r_u\)，就只能选 \(r_u\)，最后答案就是 \(a_1+cnt\)，其中 \(cnt\) 表示全局 \(+1\) 的次数。
2061E
Tag：状压 2000
考虑我们求出 \(t_{i,w}\) 表示 \(a_i\) 进行 \(w\) 次操作后得到的最小值。
那么我们只需要将 \(t_{i,1}-t_{i,0}\) 先全部装进堆，然后每次取出最大值，再把 \(t_{i,p_i} - t_{i,p_i+1}\) 装到堆里面即可。
然后 \(t_{i,w}\) 可以状压求出来，所以就非常简单了。
2056D
Tag：正难则反 中位数 2200
一直在想正向计数，感觉很难写，结果反向计数非常简单。
考虑到我们去统计不合法的偶数区间，也就是说 \(a_{mid} \neq a_{mid+1}\)。
我们枚举 \(x\) ，令 \(\leq x\) 的位置为 \(1\) ，\(> x\) 的位置为 \(-1\)，那么区间和为 \(0\) 的就是不合法区间，很显然可以用前缀和去做。
考虑会重复计数的问题，我们钦定在 \(a_{mid} = x\) 时才计数，也就是说区间必须包含 \(x\) 这个值，那么我们用双指针，保证区间一定有 \(x\) 即可。
2060F
Tag：计数 插板 2200
虚假的 div3 2200。
我们用 dp 求出 \(f_{i,j}\) 表示长度为 \(i\) 时不包含 \(1\) 且长度为 \(j\) 的数量。
很明显 \(i\) 是个 \(\log\) 级别的数。
然后我们枚举长度 \(t\)，剩下 \(n-t\) 个 \(1\)，等价于把 \(n-t\) 个无区别小球放入 \(t+1\) 个有区别盒子，并且盒子可以为空，球也可以不放完。
我们再新开一个盒子表示没有放的球，那么我们求解 \(g(n-t,t+2)\) 。
\(g(x,y)\) 表示 \(x\) 个小球要放完的方案数字，那么根据插板法，\(g(x,y)=C(x+y-1,y-1)\)。
所以方案就是 \(C(n+1,t+1)\) ，考虑到 \(n\) 较大 \(t\) 较小，所以我们暴力计算组合数即可。
2057C
Tag：线段树 2000
非常套路的题目，首先左右端点一个是 \(mn\) 一个是 \(mx\)。
证明也很容易，考虑如果端点既不是最大也不是最小，那么去掉端点答案就会更大。
我们不妨设 \(a_l = mn\)，\(a_r = mx\)，所以我们要维护 \((a_r-r)-(a_l-l)\) 的最大值，
涉及到单点改，那么就用线段树维护即可，\(a_l =mx ，a_r=mn\) 同理。
2043E
Tag：dfs找环 2300
不是什么很难的题，想出来后代码实现有一点问题，后来想了想改了一种写法。
首先每一位都是独立的，可以分开考虑，问题转化为：
给定两个 \(01\) 矩阵，可以把一行刷成 \(0\)，也可以把一列刷成 \(1\)，是否能将矩阵 \(A\) 变换成 \(B\)。
首先每一行每一列至多操作一次，非常显然。
那么我们讨论如下情况：
\(a_{i,j} = 1 , b_{i,j} = 0\)，那么第 \(i\) 行要被操作一次。
\(a_{i,j} = 0 , b_{i,j} = 1\)，那么第 \(j\) 列要被操作一次。
然后我们可以发现：
$b_{i,j} = 1 $，那么第 \(j\) 列的操作要在第 \(i\) 行之前。
$b_{i,j} = 0 $，那么第 \(i\) 行的操作要在第 \(j\) 列之前。
考虑根据以上的先后关系建出一张图，那么如果存在一个环并且这个环上有一个必须被执行的操作，那么就无解，
否则一定有解，自证不难，所以我们用 \(dfs\) 或者拓扑排序找环即可。
然后时间复杂度我算了以下是 \(O(T(n+m)^2\log A)\)，\(A\) 表示值域，乍看是过不了的，但是 \(dfs\) 会跑不满，可以通过。
。
submission
2048F
Tag：神奇构造题 2000
感觉很有思维含量。
我们考虑什么时候会出现单色环，也就是找到一个点集，左部点和右部点的数量相同。
同时每个点向另一边连了两条边，这些边颜色都相同。
问题转化为给定一个 \(m\times 2n\) 的矩阵，涂上颜色，使得对于每一个颜色，把任意几行为这个颜色的列并起来，数量大于所选行的数量。
所以有个直观想法就是使得每一行的重叠数量尽量少。
我们考虑第一行这么填 \(1,1,2,2 ..... n,n\)。
然后这个时候我灵机一动，忽然想到似乎可以做一个循环位移，这样每个颜色都会产生 \(1\) 的位置偏差增加。
所以循环位移 \(2n-1\) 次即可！
这个时候我就猜想一波 \(m\) 的上界应该就是 \(2n-1\)，交一发果然过了。
然后看题解发现是这样求出来的，考虑到总边数是 \(2nm\)，每个颜色至多形成一个点数为 \(2n+m\) 的森林，此时边数为 \(2n+m-1\)，所以 \((2n+m-1)n \leq 2nm\)，得出来 \(m \leq 2n-1\)。
误打误撞搞出来的，感觉赛时应该能过，不过这种构造题太妙了。
2040E
Tag：概率期望 2100
水的批爆。
考虑两个操作一组，\(\frac{1}{d}\) 概率跳到 \(fa_{fa_u}\)，\(\frac{d-1}{d}\) 在 \(u\) 或者 \(u\) 的兄弟中，\(d\) 是 \(fa_u\) 的度数。
显然 \(u\) 和其兄弟没有本质区别，那么显然一个几何分布，期望为 \(2d\)。
硬币的作用就是把 \(d\) 改成 \(1\)，所以直接挑 \(p\) 个最大的改即可，用 \(set\) 即可。
2034E
Tag：构造 2200
感觉赛时我应该做不出。
首先可以算出每一列的和是 \(\frac{(n+1)k}{2}\) 。
所以 \(n\) 为偶数时，\(k\) 不能为奇数。
当 \(k\) 为偶数时，排列可以进行两两配对。
所以最难的是解决同为奇数的情况。
难点就是可以手玩出一组三个配对的，剩下两两配对。
所以就做完了，感觉这个很难手玩，而且不是很好想。
2001D
Tag：线段树 1900
vp时被卡了的题目，但是最后15min过掉了，特意写题解说下几个教训。
首先做法很简单，答案为数字种类个数。
设我们选到第 \(i\) 个数，那么就是选 \([l,r]\) 中的 \(max\) 或者 \(min\)。
\(l\)表示上一个选的数的位置，\(r\) 表示最右端的元素使得 \([r,n]\) 中包含剩下的所有元素。
我们不难发现是可以用线段树，我用的也是这个，但是难写难调。
然后我还在一个地方不小心写成了暴力，警示以后写题要注意某些地方的复杂度。
转变一下思路，\(l\) 和 \(r\) 均是单调的，我们其实只需要用一个 \(multiset\) 即可。
导致最后 perf 只有 1930，如果不吃那么多罚时，perf 大概有 2050 左右，算是渡劫分了。
2072G
Tag：根号分治 整除分块 2200
首先考虑到 \(k\geq \sqrt n\) 时最多只有两位。
那我们就可以把式子写出来 \(\sum_{i=\sqrt n}^{n} \lfloor \frac {n}{i} \rfloor + n \% i \times i\)。
拆式子：\(n \% i = n - \lfloor \frac {n}{i} \rfloor \times i\)。
所以原式子变为 \(\sum_{k=\sqrt n}^{n} \lfloor \frac {n}{i} \rfloor + (n - \lfloor \frac {n}{i} \rfloor \times i) \times i\)
所以我们实际上只要求 \(\sum \lfloor \frac {n}{i} \rfloor \times i^2\) 即可。
很显然可以预处理 \(i^2\) 的前缀和后整除分块。
然后对于对于 \(k \leq \sqrt n\)，直接暴力计算即可。
时间复杂度 \(O(T\sqrt n \log n)\)。
2031E
Tag：树形dp 2200
\(f_u\) 表示以 \(u\) 为根时的最小深度。
我们考虑儿子数量大于 2 时，需要合并两个儿子，直到只有两个儿子。
设 \(u,v\) 合并成新点 \(w\)，\(f_w=\max(f_u,f_v)+1\) 。
显然是挑选两个 \(f\) 最小的点即可，用 \(multiset\) 实现。
2035E
Tag：根号分治 整除分块 2300
我们设 \(1\) 操作用过 \(a\) 次，\(2\) 操作用过 \(b\) 次。
所以答案就是 \(\min\{ax+by\}\)。
然后有一个结论：\(y\) 可能的值是根号级别的。
首先我们肯定是做 \(\lfloor \frac{a}{k} \rfloor\) k 加操作，中间夹杂 \(2\) 操作。
当 \(a\) 大于 \(\sqrt z\) 的时候，\(y\) 最多也是根号级别。
当 \(a\) 小于 \(\sqrt z\) 的时候，\(y\) 可能的值和 \(a\) 的范围相同。
所以我们把每一段的 \(y\) 值找出来，然后用最小的值就可以了。
2005D
Tag：数论 二分 2400
考虑到前缀 \(gcd\) 的数量只有 \(\log\) 个。
我们先枚举 \(l\) , 那么求出每一段的断点。
然后对于后缀也求一遍，那么我们把所有断点装进一个 \(set\) 。
然后整段的统计即可。
时间复杂度 \(O(n\log ^ 2 n)\)。
2005E2
Tag：DP 博弈 2500
我们设 \(f_{k,x,y}\) 表示在第 \(k\) 轮时在 \((x,y)\) 为左上角的矩形时，是否能取胜。
而取胜是的条件就是可以跳到一个必输点。
要么就是跳到边界，要么就是跳到数组用完，要么就是跳到 \(f_{k+1,x',y'}\) 使得 \(f_{k+1,x',y'} = 0\)。
不难发现如果 \(f_{k+1,x',y'} = 0\) 时，整个以 \({x',y'}\) 为左下角的矩形的对应的 \(f\) 的值都为 \(1\)。
经过推理我们可以发现这是一个上三角矩阵，我们不妨设 \(g_{k,i}\) 表示第 \(k\) 轮时 \(i\) 行最右边的 \(1\) 是哪个位置，然后转移即可。时间复杂度是 \(O(nl)\)，可以通过本题。
1988D
Tag：树形DP 2000
结论是游戏的轮数最多是 $\log n + 1 $ 轮。
我们会发现这个过程很像点分治，只是这是删除多个点。
我们讨论两种情况：重心被删除了，那么这次分裂没什么问题。
如果重心没有被删除，则重心的一个相邻节点一定会被删除，然后假设重心与其他子树断开，其他子树相当于是规模相同的子问题。
我们会发现一个共同点：如何删不删重心，我的每个子树都会自发的进行删除，所以重心的存在是不需要理会的。
所以我们考虑一个 dp：设 \(f_{i,j}\) 为以 \(i\) 为根节点，选择在 \(j\) 时刻删除的最小值。
所以 \(f_{i,j} = \sum_{k \in son_i} g_{k,j}\)，\(g_{i,j}\) 表示 \(i\) 不选择 \(j\) 时刻删除时的最小值。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
1988E
Tag：单调栈 二分 数据结构 2300
不是很难的数据结构，考虑把初始答案先求出来。
第一，如果以 \(i\) 为端点的区间，要减去，我们在做单调栈的时候可以动态考虑这一部分。
第二，求出 \(L_i\)，\(R_i\) 之后，要减去 \((i-L-i)\times(R_i-i)\times a_i\)。
第三，考虑在 \(a_i\) 被去掉后，有些 \(value\) 可以 "咸鱼翻身" ，我们把 \(R_i\) 和 \(L_i\) 相同的装进一个 \(vector\)。
我们还需要处理出 \(tor_i\) 表示 在跨过 \(r_i\) 后第一个比 \(i\) 小的数在哪里。
所以我们只需要加上 \((x-ls)\times(tor_i-i-1)\) 即可，\(ls\) 表示在 \(vector\) 的上一个位置是什么。
然后求出 \(tol_i\)，计算方法同理。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
1977D
Tag：hash 2300
不是很配2300，考虑每一列可以成为特殊序列的方案数级别是 \(O(n)\) 的。
那么总状态数是 \(O(nm)\)，开个 map 然后 hash 即可，弱智题。
1982E
Tag：计数dp 2300
设 \(f_{i,j}\) 表示位数小于等于 \(i\) 位时，\(1\) 的个数小于等于 \(j\) 的总区间个数。
很显然 $ f_{i,j} = f_{i-1,j-1} + f_{i-1,j} $ 。
然后 $f_{i,k} = $ \(i\) 以内所有的区间数，其中 \(k \geq i\)。
然后对于第 \(i\) 位和第 \(i-1\) 位的交界处，只有 \(f_{i,i-1}\) 会受影响，特殊计算一个即可。
那么 \(ans_{i,j} = f_{x-1,j} + ans_{i',j-1}\)，其中 \(x\) 表示 \(i\) 的位数。
\(i'\) 是 \(x\) 去掉最高位后的数。
然后把 \(ans_{i,j}\) 的求值过程写成一个 \(dfs\) 即可。
1174F
Tag：树链剖分 交互 2400
因为是往下拉一条链，可以联想到树链剖分。
首先如果 \(s\) \(u\) 得到的点不是 \(u\) 的重儿子，那么直接走。
查询重链上同深度的点与其的距离，就可以得出其 \(LCA\)，然后此时就一定会走轻儿子。
然后这题有个很坑的点就是，如果重链的深度很浅，那么就只能问链底了。
2049E
Tag：二分 交互 2300
我们先询问 \([1,n/4]\) 和 \([n/4+1,n/2]\)。
如果答案相同，证明 \(1\) 在右半边，否则 \(1\) 在左半边。
然后二分 \(k\) 即可。
浙公网安备 33010602011771号