P1719 最大加权矩形

题目描述

为了更好的备战 NOIP2013，电脑组的几个女孩子 LYQ,ZSC,ZHQ 认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。

校长先给他们一个n*n 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩阵的每个元素属于 [-127,127],例如

 0 –2 –7  0 
 9  2 –6  2
-4  1 –4  1 
-1  8  0 –2

在左下角：

9  2
-4  1
-1  8

和为 15。

几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的 HZH，TZY 小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

输入格式

第一行：n，接下来是 n 行 n 列的矩阵。

输出格式

最大矩形（子矩阵）的和。

样例 #1

样例输入 #1

4
0 -2 -7 0
 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 
-1 8  0 -2

样例输出 #1

15

提示

1 <=n<=120

Kadane算法

这是一个经典的求解一维最大子数组和的算法，时间复杂度是 O(n)。
过程：我们遍历所有可能的左右边界（列），将这两列之间的所有行元素累加起来形成一个新的数组。
对于每一个累加的数组，应用 Kadane 算法来寻找这个一维数组的最大子数组和。

代码示例

#include <iostream>
#include <climits>
using namespace std;

// Kadane算法：求一维数组中连续子数组的最大和
int kadane(int arr[], int n) {
    int max_so_far = arr[0];
    int max_ending_here = 0;
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        max_ending_here += arr[i];
        if (max_ending_here > max_so_far) {
            max_so_far = max_ending_here;
        }
        if (max_ending_here < 0) {
            max_ending_here = 0;
        }
    }
    return max_so_far;
}

// 求最大加权矩形的和,这是主要的求解函数，它通过枚举所有的列对 (left, right)，并将这两列之间的元素累加到 temp 数组中。然后在 temp 数组上应用 Kadane 算法，计算该区域内最大加权矩形的和。
int maxSum(int matrix[][120], int n) {
    int max_sum = INT_MIN;

    // 遍历所有列对 (left, right)
    for (int left = 0; left < n; ++left) {
        int temp[120] = {0};  // 存储每列加和后的临时数组
        
        for (int right = left; right < n; ++right) {
            // 将从left列到right列的每行元素累加到temp数组
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                temp[i] += matrix[i][right];
            }
            
            // 在temp数组上应用Kadane算法，找出最大和
            int current_max = kadane(temp, n);
            max_sum = max(max_sum, current_max);  // 更新全局最大和
        }
    }
    
    return max_sum;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    int matrix[120][120];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            cin >> matrix[i][j];
        }
    }

    // 输出最大加权矩形的和
    cout << maxSum(matrix, n) << endl;

    return 0;
}