基础算法学习--前缀和和差分

前缀和的简单学习

一维计算公式s[r] - s[l - 1]

简单模板运用（一维）

题目
输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n,l,r,m;
int a[N],s[N];

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i <= n ;i ++) cin>>a[i];
    for(int i = 1;i <= n ;i ++) s[i] = s[i - 1] + a[i];
    for(int i = 0; i < m ;i ++){
        cin >> l >> r;
        cout<<s[r] - s[l -1]<<endl;
    }
    return 0;
}

二维前缀和模板

思路

读入

计算公式s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j]

输出

计算公式(x1,y1)和(x2,y2)区间：s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 -1]

样例题目

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

题解代码

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m,q;
int a[N][N],s[N][N];
int x1,x2,y1,y2;

int main(){
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i = 1 ; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= m;j ++)
            cin>>a[i][j];
            
    for(int i = 1; i <= n ;i ++)
        for(int j = 1;j <= m;j ++)
            s[i][j] = s[i][j-1] + s[i-1][j] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
    
    while(q --){
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        cout<<s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]<<endl;
    }
    return 0;
}

差分

目的：使区间加减的时间复杂度降至o(1)

一维差分

int a[N]; //原数组
int b[N]; //差分数组
//关键就是在某个区间内加减一个数，初始化可以把数组分别插入长度为1的区间

//插入
void ins(int l,int r,int n){
    b[l] += n;
    b[r + 1] -= n;
}

//初始化
void init(){
    for(int i = 1;i <= n;i ++) cin >> a[i];
    for(int i = 1;i <= n;i ++) ins(i,i,a[i]);
}

//求差分
for(int i = 1;i <= n;i ++) b[i] += b[i - 1];

二维差分

//插入
void ins(int x1,int y1,int x2,int y2,int n){
    b[x1][y1] += n;
    b[x1][y2 + 1] -= n;
    b[x2 + 1][y1] -= n;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += n;
}

//初始化
void init(){
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        for(int j = 1;j <= m;j ++){
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        for(int j = 1;j <= m;j ++){
            ins(i,j,i,j,a[i][j]);
        }
    }
}

//求差分
for(int i = 1;i <= n;i ++){
    for(int j = 1;j <= m;j ++){
        b[i][j] += (b[i][j - 1] + b[i - 1][j] - b[i - 1][j - 1]);
    }
}