考试题目另解 2

跟上一期是同一场考试。

题面：数列 \(\{u_n\}\) 满足 \(u_1=2026,u_2=2027,u_{n+2}=c_nu_{n+1}-u_n(n\ge 1)\)，其中 \(c_n=1\) 当 \(n\) 为奇数，\(c_n=4\) 当 \(n\) 为偶数。求 \(u_{2026}\bmod 1000\)。

官解：每两项作为一组，可以求出转移矩阵，发现转移矩阵 \(M\) 可以分为 \(I+N\)，其中 \(N^2=O\)，所以容易写出幂次。

其实这个题依旧可以线性递推，和上上期方法相同，不需要矩阵。可以很容易得到 \(b_{n+1}=2b_n-b_{n-1}\) 的递推式，由此得出 \(b_n\) 等差。

官解做计算的时候甚至懒得先给 \(u_1,u_2\) 对 \(1000\) 取模，彰显 AI 优秀的计算能力说是。