考试题目另解

还是跟上期的同一家出品的数学考试题目。不过不是同一场。

题面：若对所有实数 \(x,y\) 都有 \((x^2+y^2)^2\ge kxy(x-y)^2\)，求整数 \(k\) 的最大可能值。

官解：设 \(x=r\sin \alpha,y=r\cos \alpha\)，消去 \(r\) 得到 \(1\ge k\sin \alpha \cos \alpha (\cos\alpha - \sin\alpha)^2=k(\frac{1}{2}\sin 2\alpha)(1-\sin 2\alpha)\)，可得 \(t(1-t)\) 在 \([-1,1]\) 上最大值为 \(\frac{1}{4}\)，得到 \(k\le 8\)。

但是带入三角函数还是太难想了！遇到这种题个人一般不会考虑极坐标系之类的。

个人解答：

注意到两侧齐次，若 \(xy\le 0\) 则不等式显然在 \(k\ge 0\) 时满足。设 \(t=\frac{x}{y}\)，不等式化为：

\[\frac{(t^2+1)^2}{t(t-1)^2} \ge k \]

问题变为求左式的最小值。

设左式为 \(f(t)\)，对 \(\ln f(t)\) 求导，有：

\[\frac{f'(t)}{f(t)}=\frac{4t}{t^2+1}-\frac{1}{t}-\frac{2}{t-1} \]

极值点必有 \(f'(t)=0\)，故右式为 \(0\)。对其通分可得 \(t^3-3t^2-3t+1=0\)，观察系数显然有 \(t=-1\) 为根，因式分解得 \((t+1)(t^2-4t+1)=0\)，正根为 \(t=2\pm\sqrt{3}\)，代入可知其最小值为 \(8\)。故 \(k_{\max}=8\)。