向量内积运算律

交换律：
\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}\)

分配律：
\((\mathbf{a} + \mathbf{c}) \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{c} \cdot \mathbf{b}\)
\(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{d}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{d}\)

数乘结合律：
\((k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\)
\(\mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b}) = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\)
其中，\(k\) 是一个标量。

零向量与任意向量的内积为零：
\(\mathbf{0} \cdot \mathbf{a} = 0\)
\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{0} = 0\)

正交性：如果两个非零向量 a 和 b 正交（即垂直），则它们的内积为零：
\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\)

模长关系：向量 a 的模长的平方等于它与自身的内积：
\(|\mathbf{a}|^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}\)

余弦定理：对于任意两个向量 a 和 b，有：
\(\cos{\theta} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}\)
其中，\(\theta\) 是向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 之间的夹角。这个公式可以用来计算两向量之间的角度。