P6765 [APIO2020] 交换城市

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很有意思的一个题！

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首先观察无解情况。很显然不连通是无解的，联通块是一条链也是无解的。
剩下的都有解。因为要么有环要么有点度数 \(>3\)，有环就随便转一圈，没环就随便找个度数 \(>3\) 的点当中转站，两辆车跑到不同分支上再往回返。

然后考虑一下二分答案的思想，保留对应的边用上面的方法判断有无解。但是二分答案显然是太慢了！
再观察一下，这就是一个瓶颈边问题，考虑 Kruskal 重构树。对于树上的每个点记录其最近的对应联通块有解的祖先，查询的时候在重构树上找两个点的 lca，再查询 lca 对应的答案就行。

But 这有个问题。怎么记录成环的情况？

考虑 Kruskal 进行的过程。如果扫到一条边，两个点都联通了，那查询一下联通块是不是一根链，如果是那就打标记表示不再是链，然后更新答案，不然无视掉；如果不连通，有一个联通块不是链子那合并完也不是，否则看这两个点是不是所在两个联通块的端点再判断。

然后因为要维护点所在的联通块，所以用启发式合并。总复杂度 \(O((n+q)\log n)\)，飞快。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct edge{
	int u,v,w;
	bool operator < (const edge & B) const {
		return w<B.w;
	}
};
bool ntl[500005];//not link
int n,st[500005],en[500005],rt[500005],fa[500005][20],dep[500005],ff[500005];
vector<int> nd[500005],tr[500005];
vector<edge> ed;
int find(int x){
	if(ff[x]==x)return x;
	return ff[x]=find(ff[x]);
}
void dfs(int u,int f){
	fa[u][0]=f;
	for(int i=1;i<20;i++)fa[u][i]=fa[u][i-1]==-1?-1:fa[fa[u][i-1]][i-1];
	rt[u]=f==-1?u:rt[f];
	dep[u]=f==-1?1:dep[f]+1;
	for(int i=0;i<tr[u].size();i++)dfs(tr[u][i],u);
}
int LCA(int x,int y){
	if(rt[x]!=rt[y])return -1;
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	for(int i=19;i>=0;i--)if(fa[x][i]!=-1&&dep[fa[x][i]]>=dep[y])x=fa[x][i];
	if(x==y)return x;
	for(int i=19;i>=0;i--)if(fa[x][i]!=fa[y][i])x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
void init(int N,int M,vector<int> U,vector<int> V,vector<int> W){
	n=N;
	for(int i=0;i<M;i++)ed.push_back({U[i],V[i],W[i]});
	sort(ed.begin(),ed.end());
	for(int i=0;i<N;i++)ff[i]=i;
	for(int i=0;i<N;i++)st[i]=en[i]=rt[i]=i,nd[i].push_back(i);
	for(int i=0;i<M;i++){
		int u=ed[i].u,v=ed[i].v;
		int fu=find(u),fv=find(v);
		if(nd[fu].size()<nd[fv].size()){swap(u,v),swap(fu,fv);}
		if(fu==fv){
			if(!ntl[fu]){
				ntl[fu]=1;
				for(int j=0;j<nd[fu].size();j++)tr[i+N].push_back(nd[fu][j]);
				rt[fu]=i+N;
			}
			continue;
		}
		if(ntl[fu]||ntl[fv]){
			if(ntl[fu])tr[i+N].push_back(rt[fu]);
			else for(int j=0;j<nd[fu].size();j++)tr[i+N].push_back(nd[fu][j]);
			if(ntl[fv])tr[i+N].push_back(rt[fv]);
			else for(int j=0;j<nd[fv].size();j++)tr[i+N].push_back(nd[fv][j]);
			ntl[fu]=1,rt[fu]=i+N;ff[fv]=fu;
		}
		else if((u==st[fu]||u==en[fu])&&(v==st[fv]||v==en[fv])){//link
			st[fu]=u^st[fu]^en[fu];
			en[fu]=v^st[fv]^en[fv];
			for(int j=0;j<nd[fv].size();j++)nd[fu].push_back(nd[fv][j]);
			ff[fv]=fu;
		}
		else{
			ntl[fu]=1;
			for(int j=0;j<nd[fu].size();j++)tr[i+N].push_back(nd[fu][j]);
			for(int j=0;j<nd[fv].size();j++)tr[i+N].push_back(nd[fv][j]);
			ff[fv]=fu;rt[fu]=i+N;
		}
	}
	for(int i=N+M-1;i>=0;i--)if(!dep[i])dfs(i,-1);
}
int getMinimumFuelCapacity(int X,int Y){
	int u=LCA(X,Y);
	if(u==-1)return -1;
	return ed[u-n].w;
}
int N,M,Q,X,Y;
vector<int>U,V,W;
signed main(){
	cin>>N>>M;
	U.resize(M),V.resize(M),W.resize(M);
	for(int i=0;i<M;i++)cin>>U[i]>>V[i]>>W[i];
	init(N,M,U,V,W);
	cin>>Q;
	while(Q--){
		cin>>X>>Y;
		cout<<getMinimumFuelCapacity(X,Y)<<endl;
	}
}