使用均摊分析证明Splay复杂度

使用均摊分析证明Splay复杂度

（PS：终于知道了二叉搜索树（\(binary search tree\)）为什么叫\(BST\)。）
平衡树的一种，靠着旋转来保证复杂度。

怎么旋转？这已经说烂了，我比较关心的是\(splay\)的复杂度怎么证明，和为什么一定要使用双旋操作。

（PS：\(Splay\)居然是\(Tarjan\)发明的)
本篇博客证明思路提供于Splay复杂度的证明
但是我看不懂然后借鉴了伸展树（Splay）复杂度证明
但是我看不懂然后借鉴了均摊分析 学习笔记
但是我看不懂然后借鉴了均摊分析简介
吐了
算法导论yyds

######以下证明并不严谨######

均摊分析

\(Splay\)证明的核心是均摊分析中的势能分析（其他分析方法见均摊分析简介）

设\(c_i\)为第i次操作的实际代价。\(\phi_i\)是第\(i\)次操作之后的势能。

设\(c_i+\phi_i-\phi_{i-1}\)是第\(i\)次操作的均摊代价。

则\(n\)次操作的均摊代价为\(a_i=\sum_{i=1}^n(c_i+\phi_i-\phi_{i-1})=\sum_{i=1}^nc_i+\phi_n-\phi_{0}\)

如果我们设的势能\(\phi_i\)都是不小于0的数，那么\(\phi_n-\phi_0>=0\)。特别地一般令\(\phi_0=0\)

如果我们算出了总均摊代价的上界，我们就可以得出真实代价的上界。

朴实地说：真实代价\(<\)均摊代价\(\leq\)均摊代价上界。

这样看均摊代价的上界一定是比真实代价的上界好求的，为什么加了势能之后反而好求了呢？带着问题思考。

Splay的均摊分析

设\(\mu_x=log_2(size(x))\)其中\(size(x)\)代表x子树的大小。

设\(\phi_x=\sum_{i=1}^n\mu(i)\)，任何时候\(\phi_x\)显然是小于\(nlogn\)的，这个上界十分宽松。

zig（zag）的分摊分析

因为两操作等价，这里只分析zig

显然均摊代价\(a(i)=1+\mu(x')+\mu(y')-\mu(x)-\mu(y)\)

这里的1并不是真的1，而是代表这一次旋转操作的真实代价，是一个常数。（下面证明中出现的1也是一样的）

\(\because \mu(y)=\mu(x') \ \therefore a(i)=1+\mu(y')-\mu(x)\)

\(\because \mu(y')<\mu(x') \ \therefore a(i)<1+\mu(x')-\mu(x)\)

zig-zig（zag-zag）的分摊分析

\(a(i)=\mu(x')+\mu(y')+\mu(z')-\mu(x)-\mu(y)-\mu(z)+1\)

\(\because \mu(z)=\mu(x') \ \therefore a(i)=\mu(y')+\mu(z')-\mu(x)-\mu(y)+1\)

\(\because \mu(y')<\mu(x') \ ,\ \mu(x)<\mu(y) \ \therefore a(i)<1+\mu(x')+\mu(z')-2\mu(x)\)

先把式子放在这里，转去证明\(\mu(x)+\mu(z')-2\mu(x')<-1\)

\(\mu(x)+\mu(z')-2\mu(x')=log(\frac{size(x)}{size(x')})+log(\frac{size(z')}{size(x')})=log(\frac{size(x)size(z')}{size(x')^2})\)

由上图可知\(size(x')=size(x)+size(z')+1\)即\(size(x')>size(x)+size(z')\)

\(\therefore\)原式\(<log(\frac{size(x)size(z')}{(size(x)+size(z'))^2})<log(\frac{size(x)size(z')}{2size(x)size(z')})=-1\)

\(\therefore -1+2\mu(x')-\mu(x)-\mu(z')>0\)

把\(a(i)\)加上这个正数显然有\(a(i)<1+\mu(x')+\mu(z')-2\mu(x)-1+2\mu(x')-\mu(x)-\mu(z')\)

这里注意了：式子中两个1不一样，第一个1是代表这个操作的真实代价是一个常数，第二个1就是实实在在的1，但是把这个1和势能的单位同时增大之后可以把前面的代表常数的1消掉。

故\(a(i)<3(\mu(x')-\mu(x))\)

zig-zag（zag-zig）的分摊分析

用跟上面几乎完全一样的方法可以得到：

\(a(i)<2(\mu(x')-\mu(x))\)

因为zig（zag）操作一个splay操作中只会用一遍这样整个一次splay操作地均摊复杂度为：
\(1+\sum^n (\mu(x'_i)-\mu(x_i))=1+\mu(root)-\mu(x)\)近似为\(logn\)

所以均摊复杂度为\(logn\)

这也解释了为什么不能一直单旋，因为那个常数1处理不掉，会使复杂度爆掉。

PS:我感觉这个证明大有问题，但又不知道哪里有问题