爱德华差值法？（卡格朗日差值法）

前（che）言（dan）

拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。

所以我把拉格朗日插值法叫做爱德华插值法

那么这个东西可以做什么呢？
知道一个 \(N\) 次多项式函数上的 \(N+1\) 个不同的点就可以求得这个 \(N\) 次多项式。
或者说给出 \(N+1\) 个点 \((x_i, y_i)\)（保证 \(x_i\) 互不相同），要求找出一个过所有点的多项式函数 \(f(x)\) 。
这个过 \(N+1\) 个点的 \(N\) 次多项式是唯一的。N+1点确定一条直线
时间复杂度 \(O(n^2)\) 。

原理

拉格朗日插值法这个名字听起来很厉害。但是原理简单得让人吃惊。
对于每个点，我们尝试找出一个函数 \(f_i(x)\)，使得 \(f_i(x_i) = y_i\)，并且对于其他的所有横坐标 \(x_j(j\neq i)\) 有 \(f_i(x_j) = 0\)。那么把 \(n\) 个 \(f_i(x)\) 加起来就能得到要求的函数 \(f(x)\)。
那么如何找到函数 \(f_i(x)\) 呢？

\[f_i(x) = y_i∏_{j\neq i}\frac{x − x_j}{x_i − x_j} \]

发现当 \(x=x_i\) 的时候连乘的每一项都是1所以 \(∏_{j\neq i}\frac{x − x_j}{x_i − x_j}=1\)，当 \(x=x_j\) 的时候连乘至少有一项为0 \(∏_{j\neq i}\frac{x − x_j}{x_i − x_j}=0\)。
进而得出要求的函数 \(f(x)\) 为：

\[f(x) = \sum _{i=1}^{n}y_i ∏_{j\neq i}\frac{x − x_j}{x_i − x_j} \]

然后呢？就结束了呀！

时间复杂度

如果你要求函数某一个点的值，直接把 \(x\) 代进去算，复杂度 \(O(n^2)\) 。
如果要求多项式系数，直接暴力算是 \(O(n^3)\) 的。
但是考虑预处理出一个多项式 \(P(x) = ∏_{i=1}^{n}(x − x_i)\)，每次用 \(P(x)\) 除一下 \(x − x_i\) 就可以得到要求的乘积了。时间复杂度优化到了 \(O(n^2)\)。

板子

模板题

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int N=3000;;
const int mod=998244353;
int n,k,x[N],y[N],ans;
int ksm(int x,int b){
	int tmp=1;
	while(b){
		if(b&1)tmp=tmp*x%mod;
		b>>=1;
		x=x*x%mod;
	}
	return tmp;
}
int read(){
	int sum=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){sum=sum*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return sum*f;
}
signed main(){
	n=read(),k=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)x[i]=read()%mod,y[i]=read()%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int tmp=y[i];
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(i==j)continue;
			tmp=tmp*((k-x[j]+mod)%mod)%mod*ksm((x[i]-x[j]+mod)%mod,mod-2)%mod;
		}
		ans=(ans+tmp)%mod;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

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