高光谱气体浓度反演方法学习笔记

主要是是Total 和 Onera 这两个组织研发的 IMGSPEC算法，借助加拿大 Telops 公司的 Hyper-cam 仪器来完成。
来源于文章：Methane leak near real time quantification with a hyperspectral infrared camera ^[1]
作者：S. Doz, P.Y. Foucher, X. Watremez，法国

一、主要原理概介

估计重建气体不存在时的背景辐射。

\[L_{on}=\tau_{atm}[\tau_{gas}\cdot L_{B} + (1-\tau_{gas})\cdot L_{gas}] + (1-\tau_{atm})\cdot L_{atm} \]

\[L_{off}=\tau_{atm}\cdot L_{B} + (1-\tau_{atm})\cdot L_{atm} \]

化简得到：

\[\tau_{gas} = 1+ \frac{L_{on} - L_{off}}{\tau_{atm}(L_{B} - L_{gas})} \]

将 \(L_B\) 用 \(L_{off}\) 表示，假设目标气体温度与气温一致（\(T_{gas}=T_{atm}\)，气体温度扩散很快），可以进一步化简上式：

\[\tau_{gas} = exp(-\alpha(\lambda)\cdot CL)=\frac{L_{on} - B(\lambda, T_{atm})}{L_{off}-B(\lambda, T_{atm})} \]

也就是说，目标气体的透射率 \(\tau_{gas}\) 与 \(L_{on}\)、\(L_{off}\)、\(T_{atm}\) 有关。其中，\(L_{on}\) 就是传感器入瞳处接受到的辐亮度，\(T_{atm}\) 就是大气温度，可以通过测量获取。问题的重点在于 \(L_{off}\) 的测量或者估算。按照如下思路在估计背景温度的时候需要大气透射率 \(\tau_{atm}\).

估计 \(\mathbf{L_{off}}\) 的的思路：
见国外一篇硕士论文：Performance evaluation of chemical plume detection and quantification algorithms^[2]

首先我们可以将背景当作黑体， 那么获取到背景黑体的温度就可以计算出其分谱辐射
目标气体（例如\(SF_{6}\)）在波长范围内有吸收系数为 0 的部分，在对应波长处，有\(L_{on}(\lambda)=\tau_{atm}\cdot B(\lambda, T_{B})+(1-\tau_{atm})\cdot B(\lambda, T_{atm})\)，气温 \(T_{atm}\) 和大气透射率 \(\tau_{atm}\) 已知，那么可以估计出来背景黑体的温度。

进一步地，对于某种气体而言，透射率为 1 的部分不仅限于某一个波长位置点，那么对于所有透射率几乎为 1 的部分而言，可以用最小二乘估计等方法来拟合背景温度，这样得到的背景黑体温度应该更准确。

二、 基于正交子空间的背景重建方法

主要目的： 模拟\(L_{off}\)

见另一篇论文：Background Radiance Estimation for Gas Plume Quantification for Airborne Hyperspectral Thermal Imaging^[3]

主要是用波段选择方法来重构背景辐射, 选择的波段处目标气体的吸收系数几乎为0。

备注： 该论文中探测气体时使用了杂波匹配滤波器(CMF)，说明如下：
其假设某像素值 \(\mathbf{\overrightarrow{x}} \sim N(\mathbf{\overrightarrow{\eta_{k}}}, \sum_{v})\) ，即像素值服从独立多维高斯分布，这里的维度数为波段数。

使用聚类-波段选择-PCA-法对 \(\mathbf{L_{off}}\) 进行估算的过程如下：

在气体探测结束后，将区域分为气体区域和非气体区域进行考虑：

1. 在非气体区域: \(\mathbf{L_{off}}=\mathbf{L_{on}}\)，首先进行主成分分析，\(\mathbf{P}\) 来源于主成分分析：

\[\mathbf{L_{off}}=\mathbf{U_{off}}\cdot\mathbf{P^T}+\mathbf{E_{off}} \]

其中，\(\mathbf{L_{off}}\) 大小是 \(N_{non}\times N_{B}\)，\(N_{non}\) 表示非气体区域的像素数目, \(\mathbf{U_{off}}\) 的大小是 \(N_{non}\times N_{p}\)， \(N_p\) 通常取 10 就足够了，\(N_p\) 表示背景辐射曲线主成分数量。\(\mathbf{P}\) 的大小是 \(N_{B}\times N_{p}\)，\(\mathbf{E_{off}}\) 是残差矩阵。

2. 在气体区域: \(\mathbf{L_{off}^{sb}} = \mathbf{L_{on}^{sb}}\)，首先进行主成分分析，\(\mathbf{P^{sb}}\) 来源于主成分分析：
   其中 sb 表示被选择的波段，在这些波段位置处，目标气体（已知气体）的透射率为 1 。

\[\mathbf{L_{off}^{sb}} = \mathbf{L_{on}^{sb}}=\mathbf{U_{on}}\cdot\mathbf{{P^{sb}}^T}+\mathbf{E_{on}} \]

其中，\(\mathbf{L_{on}^{sb}}\) 的大小是 \(N_{gas}\times N_{SB}\), \(N_{gas}\)表示气体区域的像素数目，\(\mathbf{U_{on}}\) 的大小是 \(N_{gas}\times N_{p}\) , \(\mathbf{P_{sb}}\) 的大小是 \(N_{SB}\times N_{p}\) , \(\mathbf{E_{on}}\) 表示残差矩阵。
目前只有 sb 波段处的 \(\mathbf{L_{off}}\) 被观测到，要想获取所有波段的 \(\mathbf{L_{off}}\)，需要计算出 \(\mathbf{U_{on}}\) :

\[\mathbf{U_{on}}=\mathbf{L_{on}^{sb}}\cdot\mathbf{{{P^sb}^*}^T} \]

其中，\(\mathbf{{P^{sb}}^*}\) 表示 \(\mathbf{P^{sb}}\) 的伪逆矩阵（严格来说只有方阵才有逆）。

\[\mathbf{{P^{sb}}^*}=(\mathbf{P^{sb}}^T\mathbf{{P^{sb}}})^{-1}\mathbf{P^{sb}}^T \]

然后，对于气体区域全波段而言：

\[\mathbf{L_{on}}=\mathbf{L_{on}^{sb}}\cdot\mathbf{{{P^sb}^*}^T}\cdot\mathbf{P^{T}} \]

本文对上述的波段选择方法进行改进之处在于：先进行图像K均值聚类。所以本文的方法称为 Clustering-Based Selected-Band Method（CSB Method）。

热红外高光谱可以获得气体的柱浓度信息，有广阔的应用场景^[4]。

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参考文献：

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1. Methane leak near real time quantification with a hyperspectral infrared camera ↩︎

2. Performance Evaluation of Chemical Plume Detection and Quantification Algorithms ↩︎

3. Background Radiance Estimation for Gas Plume Quantification for Airborne Hyperspectral Thermal Imaging ↩︎

4. 题图来源于Making methane visible, Nature Climate Change ↩︎