【学习笔记】数论、数学—补充证明 (2)

【学习笔记】数论、数学—补充证明 (2)

\(\text{结论:}\)

\[\sum_{i=1}^{n}\mu^2(i)\sqrt{\frac{n}{i}}=n \]

\(\text{证明:}\)

\(\text{设}\ 1\ \text{至}\ n\ \text{内所有不含平方因子的数集合为}\{P\}\)

\(\text{则}\ 1\ \text{至}\ n\ \text{内所有数都可以表示为}\ xy^2(x\in\{P\},y\leqslant \sqrt{\frac{n}{x}})\ \text{的形式}\)

\(\text{由莫比乌斯函数性质可得:}\)

\(\text{原式左边}=\sum_{i\in\{P\}}\sqrt{\frac{n}{i}}\)

\(\text{发现其恰好把}1\ \text{至}\ n\ \text{内所有数取了个遍}\)

\(\text{即:}\ \text{原式左边}=n\)

\(\text{证毕。}\)

posted @ 2020-04-23 14:34  辰星凌  阅读(36)  评论(0编辑  收藏