【学习笔记】字符串—广义后缀自动机
【学习笔记】字符串—广义后缀自动机
\(update\ 2021.11.27:\) 时隔多年回来补坑，有了额外的发现，并给出证明。
【离线写法再探】阐述离线 \(\text{dfs}\) 错误原因，证明离线 \(\text{bfs}\) 正确性；阐述在线写法特判 \(1\) 的本质以及离线在线写法的之间联系；修复手绘图的一个小失误。
\(update\ 2020.8.13:\) 这个蒟蒻发现自己傻得不行，明明很简单的东西一直没扯清楚，所以立马来补锅了，顺便思考了如何 \(\text{hack}\) 盗版。
更新更细致的复杂度讲解；添加卡掉盗版在线构造的方法，并对空节点性质进行深入研究；调整板块布局。
\(updata\ 2020.7.13:\) 迫于ezoixx130的淫威跑来修锅啦。
更新更侑秀的在线构造正确写法；增修文章细节；\(\text{Latex}\) 规范化；并添加两道例题。
\(update\ 2020.3.3:\) 发现题库里出现了模板，决定添加两道例题，并对文章细节进行修改。
一：【前言】
最近一段时间都在研究 惊(Ren)艳(Lei)无(Zhi)比(Hui)、美(Li)妙(Xing)绝(Yu)伦(Yue) 的自动机，这里引用 \(\text{bztMinamoto}\) 巨佬的一句话来表达此时的心情：
我感觉我整个人都自动机了…… ——\(bztMinamoto\)（回文自动机学习笔记）
在此过程中发现网上讲广义 \(\text{SAM}\) 的文章很少，而且很多都不正确，所以决定整理一下。
二：【引理】
众所周知，\(\text{SAM}\) 的一个经典应用是求一个字符串中本质不同子串数量，那么如果改为求一个 \(\text{Trie}\) 树呢？（\(\text{Trie}\) 中从上到下若干前缀串的本质不同子串）
大部分可以用后缀自动机处理的字符串的问题均可扩展到 \(Trie\) 树上。 ——刘研绎 (\(2015\) 国家队论文《后缀自动机在字典树上的拓展》)
我们将这种建立在 \(\text{Trie}\) 树上的 \(\text{SAM}\) 称为广义 \(\text{SAM}\) 。在学习之前，首先要确保对单串 \(\text{SAM}\) 足够熟悉。
其实我们通常需要解决的是多模式串问题，即给出多个串让你去统计各种各样的信息（将多个串插入到一棵 \(\text{Trie}\) 中，然后依靠这棵 \(\text{Trie}\) 构造广义 \(\text{SAM}\)）。
可能少部分题目会有直接给出一棵 \(\text{Trie}\) 树的情况，但不常见。
本文主要解决前一类问题，后者仅给出一种构造方法（即 \(bfs\) 版离线写法），不详述其应用。
注意这里两种类型题目中 \(\text{Trie}\) 树有不同的性质：
对于多模式串问题：\(G(T)=O(\sum len)=O(|T|)\)，
对于直接给出的 \(\text{Trie}\)：\(G(T)=O(|T|^2)\)（如果不理解这个 \(|T|^2\) 可以看下面那张嫖来的图片）。
（其中 \(G(T)\) 为 \(\text{Trie}\) 树 \(T\) 所有叶节点深度之和，\(|T|\) 为 \(\text{Trie}\) 树大小）
\(G(T)\) 这个东西看起来似乎没啥用处，但它会直接影响构造广义 \(\text{SAM}\) 的算法复杂度。
三：【算法实现】
1.【离线构造】
在用广义 \(\text{SAM}\) 处理多模式串问题时，网上流传着的主流写法有 \(3\) 种：
\((1).\) 用特殊符号将所有模式串连成一个大串放到一个 \(\text{SAM}\) 中，再加一些玄学判断来处理信息。
\((2).\) 每次插入一个模式串之前，都把 \(last\) 设为 \(1\)，按照普通 \(\text{SAM}\) 一样插入，即每个字符串都从起点 \(1\) 开始重新构造。
\((3).\) 用所有模式串建出一颗 \(\text{Trie}\) 树，对其进行 \(\text{dfs/bfs}\) 遍历构建 \(\text{SAM}\)，\(insert\) 时 使 \(last\) 为它在 \(\text{Trie}\) 树上的父亲，其余和普通 \(\text{SAM}\) 一样。
第一种实用性不高且复杂度危险。第二种机房大佬说是盗版，但因为复杂度依旧为线性、代码简单且在大部分题中都能保证正确性，所以很多人都用的这种（\(\text{SAM Drawer}\) 似乎就是依据这个做法绘的图）。但根据广义 \(\text{SAM}\) 的定义，只有第三种中才是正确写法。而且随便抛组数据就能立马发现构造出来的差异。
\(\text{dfs}\) 代码如下：
//Trie.tr[x]: Trie树的状态转移数组
//Trie.c[x]: Trie树上节点x的字符
//pos[x]:Trie上x节点的前缀字符串（路径 根->x 所表示的字符串）在SAM上的对应节点编号
inline void dfs(Re x){
for(Re i=0,to;i<26;++i)if(to=T1.tr[x][i])
pos[to]=insert(T1.c[to],pos[x]),dfs(to);
}
inline void build(){pos[1]=1,dfs(1);}//dfs遍历Trie树构造广义SAM(Tire树上的根1在SAM上的位置为根1)
\(bfs\) 代码如下：
//Trie.tr[x]: Trie树的状态转移数组
//Trie.fa[x]: Trie树上节点x的父节点
//Trie.c[x]: Trie树上节点x的字符
//pos[x]:Trie上x节点的前缀字符串（路径 根->x 所表示的字符串）在SAM上的对应节点编号
inline void build(){//bfs遍历Trie树构造广义SAM
for(Re i=0;i<C;++i)if(Trie.tr[1][i])Q.push(Trie.tr[1][i]);//插入第一层字符
pos[1]=1;//Tire树上的根1在SAM上的位置为根1
while(!Q.empty()){
Re x=Q.front();Q.pop();
pos[x]=insert(Trie.c[x],pos[Trie.fa[x]]);//注意是pos[Trie->fa[x]]
for(Re i=0;i<C;++i)if(Trie.tr[x][i])Q.push(Trie.tr[x][i]);
}
}
代码应该不难理解。
有人表示能理解多模式串插入，但难以想象直接爬 \(\text{Trie}\) 树构造自动机维护的到底是啥，其实也是一样的道理：
其实质是将 \(\text{Trie}\) 树上若干条从上到下的路径抽出来分别插入到 \(\text{SAM}\)（或者说从 \(\text{Trie}\) 树中还原出了若干待插入串）。而 \(\text{Trie}\) 本身就压缩了大量的 \(\text{lcp}\)，这些被压缩的部分不需要多次插入，故遍历 \(\text{Trie}\) 即可。
多模式串插入和直接爬 \(\text{Trie}\) 树构造本就是同样的原理，自动机也是一模一样的形态，只是复杂度不同罢了。（不理解这段话的可以先看后面）
注意：\(\text{dfs}\) 遍历的复杂度为 \(O(G(T))\)，\(\text{bfs}\) 为 \(O(|T|)\) 。
如果题目给的是若干个待插入串 \(S\)，那么 \(\text{dfs/bfs}\) 可以任选一种，因为此时 \(O(G(T))=O(\sum|S|)\)。
但要是直接给了一颗 \(\text{Trie}\)，\(\text{dfs}\) 就会被卡。
关于 \(G(T)=O(|T|^2)\) 的证明，这里嫖一张图： 【图片来源】
2.【在线构造】
仅针对于多模式串问题，我们还有另一种构造广义 \(\text{SAM}\) 的方法。
“离线”，顾名思义，对多个模式串离线构造出 \(\text{Trie}\) 树，然后依据 \(\text{Trie}\) 构造广义 \(\text{SAM}\) 。
而“在线”就是指不建立 \(\text{Trie}\)，直接把给出的多个模式串依次插入到广义 \(\text{SAM}\) 中（用在线做法写正确的人少得可怜）。
具体的说，每次插入一个模式串之前，都把 \(last\) 设为 \(1\)，\(insert\) 函数在普通 \(\text{SAM}\) 的基础上加入特判（注意前面说的盗版写法用的是不加特判的普通 \(insert\)）。
更改后的 \(insert\) 代码如下：
//link[i]: 后缀链接
//trans[i]: 状态转移数组
inline int insert(Re ch,Re last){//将ch[now]接到last后面
if(trans[last][ch]&&maxlen[last]+1==maxlen[trans[last][ch]])return trans[last][ch];
//已经存在需要的节点(特判1)
Re x,y,z=++O,p=last,flag=0;maxlen[z]=maxlen[last]+1;
while(p&&!trans[p][ch])trans[p][ch]=z,p=link[p];
if(!p)link[z]=1;
else{
x=trans[p][ch];
if(maxlen[p]+1==maxlen[x])link[z]=x;
else{//需要拆分x，将len<=maxlen[p]+1的部分复制一个y出来
if(maxlen[p]+1==maxlen[z]/*或者写：p==last*/)flag=1;(特判2)
y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
for(Re i=0;i<C;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
link[y]=link[x],link[z]=link[x]=y;
}
}
return flag?y:z;//注意返回值
//返回值为:ch[now]插入到SAM中的节点编号，
//如果now不是某个字符串的最后一个字符,
//那么这次返回值将作为下一次插入时的last
}
加入返回值是方便记录 \(last\) 。
接下来解释一下这两个特判的具体含义：
(特判1)
if(trans[last][ch]&&maxlen[last]+1==maxlen[trans[last][ch]])return trans[last][ch];
(特判2)
if(maxlen[p]+1==maxlen[z]/*或者写：p==last*/)flag=1;
（因为小括号反复嵌套看起来比较头疼，下面直接用方括号表示数组）
特判 \(1\) 比较好理解，我们想要在 \(last\) 后面插入一个节点 \(z\) 使得 \(maxlen[z]=maxlen[last]+1\)，而这个节点已经存在于\(\text{SAM}\) 中了，那么就可以直接返回。
注意：这里返回的这个节点保存了多个模式串的状态，即将多个不同模式串的相同子串信息压缩在了这一个节点内，如果要记录 \(\{endpos\}\) 大小的话，则需要给每个模式串都单独维护一个 \(siz\) 数组依次更新，而不能全部揉成一坨（具体见后面例题）。
特判 \(2\) 的实质是处理 \(trans[last][ch]\neq NULL\) 且 \(maxlen[last]+1\neq maxlen[trans[last][ch]]\) 的情况。
我们先来看看单串 \(\text{SAM}\) 的 \(insert\) 图示（来源于 \(\text{hihocoder}\)）：
在从 \(last\) 开始往前跳 \(link\) 时，单串 \(\text{SAM}\) 中必定存在着 \(trans[p][ch]=NULL\) 的一段（在图中表现为以 \(u\) 节点结尾的最右边那一段），但扩展到多串后可能就没有这一段了，即存在 \(trans[last][ch]=x\) 且 \(maxlen[last]+1\neq maxlen[x]\)（对于 \(maxlen[last]+1=maxlen[x]\) 的情况在特判 \(1\) 时就返回了）。
显然，此时 没有任何节点的转移函数 \(trans\) 或后缀链接 \(link\) 指向最初新建的 \(z\) 节点，同时 它没有记录任何信息，因为 新加入的信息全部储存在了 \(link[z]=y\) 节点上面（即从 \(x\) 中拆分出来的那个点）。也就是说，这个 \(z\) 节点是一个空节点。
（注：下面这段话的意义不大，而且可能会看得一脸懵逼，可以直接略过）
额外思考：其实上述内容并不是产生空节点 \(z\) 的唯一情况。
如果 \(\text{SAM}\) 已经被空节点污染，且对于前面 \(trans[p][ch]=NULL\) 的段 \(p\) 均为空节点，那么此时 \(z\) 也一定为空。
比如这个数据dcab ab，在插入串 \(ab\) 的第二个字符 \(b\) 时，\(last\) 为上一次 \(insert(a)\) 时产生的空节点 \(6\)，而 \(6\) 目前还不存在 \(trans\) 边（即\(trans[last=6][ch=b]=NULL\)），但此时新建的 \(z\)（即 \(8\) 号节点）仍为空，且之前的空节点 \(6\) 有一条指向 \(8\) 的 \(trans\) 边。具体可自行画图加深理解。
（请到下方例题处抱走std，然后使用代码输出自动机的边再画到纸上，最好把加/不加特判最终产生的各种形态都试一下看看。但不推荐自己模拟绘图，因为工作量大且极易出错）
回到空节点的问题，一般来讲，这个点不会对答案造成影响，但也有办法能卡掉，具体见下方【关于如何卡掉盗版在线写法】。
另外，我们也可以用 \(minlen,maxlen\) 的大小来推导出 \(z\) 为空：
\(z\) 的 \(link\) 会指向 \(x\) 的拆分节点 \(y\)，而 \(maxlen[y]=maxlen[last]+1\)，所以 \(minlen[z]=maxlen[link[z]=y]+1=maxlen[last]+2\)，又有 \(maxlen[z]=maxlen[last]+1<minlen[z]\)，而一个等价类维护的子串长度 \(\in [minlen,maxlen]\)，故 \(z\) 为空。
从另一个角度看，节点 \(y\) 满足 \(trans[last][ch]=y\) 且 \(maxlen[y]=maxlen[last]+1\)，这不正是我们想要的吗（同特判 \(1\)）？所以可以返回 \(y\)，并用 \(y\) 作为当前模式串下一次 \(insert\) 的 \(last\) 。
还剩下最后一个问题：前面说的这两个特判能正确地合并好等价类，但没有处理空节点 \(z\) 。为使构造出的自动机节点数与离线做法一致，我们还需进一步改进：当存在 \(trans[last][ch]\) 时就不新建 \(z\) 节点了，直接从拆分节点开始做（或者在拆分节点之前通过特判 \(1\) 返回）。
代码最终版如下（这次可以打包票说是标准写法了，因为测试了大量的数据，生成的自动机节点个数均与离线 \(\text{bfs}\) 做法相同）：
inline int insert(Re ch,Re last){
if(trans[last][ch]){
Re p=last,x=trans[p][ch];
if(maxlen[p]+1==maxlen[x])return x;//即最初的特判1
else{
Re y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
for(Re i=0;i<26;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
link[y]=link[x],link[x]=y;
return y;//即最初的特判2
}
}
Re z=++O,p=last;maxlen[z]=maxlen[last]+1;//从这里开始就与普通SAM一毛一样了
while(p&&!trans[p][ch])trans[p][ch]=z,p=link[p];
if(!p)link[z]=1;
else{
Re x=trans[p][ch];
if(maxlen[p]+1==maxlen[x])link[z]=x;
else{
Re y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
for(Re i=0;i<26;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
link[y]=link[x],link[z]=link[x]=y;
}
}
return z;
}
这里补充下图片，模拟最终版代码构造过程中特判 \(2\) 的运作：
（\(\text{SAM}\) 根为 \(1\)，转移函数 \(trans\) 为黑边，后缀链接 \(link\) 为灰边；图片上半部分为串 \(aab\) 构造结束后的形态，下半部分为插入串 \(ab\) 中第二个字符 \(b\) 时的形态变换过程）
如前面黑体字所说，一个节点可能会储存多个字符串的信息，比如节点 \(2\) ：虽然表示的子串都为 \(\{a\}\)，但 \(\{endpos\}\) 大小却不相同（\(siz_{aab}(2)=2,siz_{ab}(2)=1\)），需要对每个字符串分别记录。
疑问：在线写法和离线写法有什么不同呢？
见后文4.【离线写法再探】。
3.【关于如何卡掉盗版在线写法】
这里讨论不加特判的在线写法。
通常情况下，这种写法只是多了一些节点，多了一些 \(trans\) 边和 \(link\) 边，它仍是一只正确的自动姬，复杂度也依旧为线性（所以盗版写法才会横行啊......）。
但这样显然就不符合 \(\text{SAM}\) “用最少的节点储存所有串信息”这一性质了，具体地说，有以下两种情况：
-
一个等价类被拆成若干个节点，子串信息被分散。
-
出现空节点（即 \(z\)）。
已知后者会在某些情况下产生影响，前者还有待探讨。
截止 \(2020.8.13\)，我只找到了两种方案（没有写代码逐个测试，如果您认为分析有误，最好给一下代码和 \(\text{hack}\)数据说明）。
先来罗列一下空节点 \(z\) 的性质：
-
\((1)\) 其 \(trans\) 边指向的节点也一定是空节点（\(z\) 本身就为空了，继续加字符是没有意义的）。
-
\((2)\) 其 \(link\) 指向 \(y\)，且没有节点的 \(link\) 指向 \(z\)，故 \(z\) 在 \(parent\) 树上是叶子节点。
-
\((3)\) \(maxlen[z]=maxlen[last]+1=maxlen[y],\) \(minlen[z]=maxlen[z]+1\)（由 \(link\) 边的指向推导得到）。
-
\((4)\) 在新建节点时，\(z\) 比 \(y\) 先出现，所以节点编号 \(z<y\) 。
【方案 1】
【这里】 因为 \(pos\) 映射到了空节点导致查询 \(siz\) 出错。
这个很好理解，原本某个前缀串应该匹配到 \(y\) 节点处，查询 \(siz\) 也应查 \(y\)，但实际的 \(pos\) 却映射到了 \(z\) 处（\(insert\) 函数返回值是 \(z\)），而原本应统计的是 \(y\) 子树内 \(siz\) 之和，显然会出错。
如果加了特判 \(2\) 则会避免出现这种情况。或者建好自动机后再把所有串拿出来跑匹配记录 \(\text{pos}\) 。
【方案 2】
【这里】 提到了空节点影响基拍顺序。
这种方案应该是可行的（评论里 \(\text{alpha1022}\) 也曾提出过这个问题，但当时我没想清楚）。
具体地说，通常姬排是依靠 \(maxlen\) 来求出 \(parent\) 树的拓扑序，\(maxlen\) 较小的排在前面，然后依次从后往前扫并统计 \(siz\)，代码大概是酱紫的：
for(Re i=1;i<=O;i++)++cnt[maxlen[i]];
for(Re i=1;i<=O;i++)cnt[i]+=cnt[i-1];
for(Re i=1;i<=O;i++)Q[cnt[maxlen[i]]--]=i;
for(Re i=O;i>=1;--i)siz[link[Q[i]]]+=siz[Q[i]];
如果出现了空节点 \(z\)，由于 \(maxlen[z]=maxlen[y]\) 且 \(z<y\)，在稳定排序下 \(z\) 会排到 \(y\) 的前面。也就是说，\(z\) 的那个 \(siz\) 还没有统计到 \(y\) 头上时， \(y\) 就已经用自己的 \(siz\) 去更新别人了，这样的后果就是 \(y\) 在 \(parent\) 树上的祖先节点 \(siz\) 都会少 \(1\)（这些都是理论分析，不敢说自己完全正确，但有 \(\text{ICPC}\) 那题的例子，应该能实锤）。
4.【离线写法再探】
\(6\) 月 \(15\) 日，\(\text{ix35}\) 发布了一篇讨论：悲惨故事 长文警告 关于广义 \(\text{SAM}\) 的讨论，在文中提到我的离线写法的错误。当时的我刚高考完，实在是没有心情也没有实力去思考这个问题。
时至今日，受 \(\text{Prean}\) 提醒，我回过头来重拾研究，发现 \(\text{ix35}\) 说的是离线 \(\text{dfs}\) 写法有问题（评论区也有人提到）。
我用她给出的数据 iod od进行了测试，发现离线 \(\text{bfs}\) 的确是对的，离线 \(\text{dfs}\) 有误。
这里产生了两个问题：
1.为什么离线 \(\text{dfs}\) 有误。
2.为什么离线 \(\text{bfs}\) 没有问题？或者说，实际上有问题但我没有发现？
(1).【离线 dfs 为何有误】
注意到 iod 和 od 这两个串没有公共前缀，也就是说，\(\text{trie}\) 建了个寂寞，在 \(\text{dfs}\) 遍历 \(\text{trie}\) 树的时候，实际上和最开始提到的那个主流写法 \(\text{(2)}\) 是一样的（仅针对这种"建了个寂寞"的情况）。
于是，它看起来就像是一个没有特判 \(1\) 也没有特判 \(2\) 的在线写法。产生空节点 \(\text{z}\) 也就不难理解了（仅在这种"建了个寂寞"的情况）。
回顾前文，在讲空节点产生的时候，用的例子是 dcab ab，这个数据和iod od 本质一样。
（注：以下用“情况 \(2\)”代指前面在线写法中特判 \(2\) 所针对的特殊情况）
额外思考：
考虑这里iod od产生的“情况 \(2\)”的原因是：开始插入od的第一个字母'o'时，\(last\) 为根节点 \(1\)，此时产生了情况 \(2\)。
那么，如果有公共前缀呢？
举个例子：aiod aod，你会发现此时 \(\text{dfs}\) 是正确的（\(\text{SAM}\) 结构和离线 \(\text{bfs}\) 以及在线写法都一样），这是因为插入第二个串的字符'o'时，\(trans[last=pos[a]][o]=NULL\)（这里的 \(a\) 指的是字符'a'所对应的 \(\text{Trie}\) 点 ）。
由此自然提出一个猜想：
猜想 \(1\)：存在公共前缀的两个串在建 \(\text{SAM}\) 时不会在某个位置出现情况 \(2\)，此时 \(\text{dfs}\) 写法正确。
不过，该猜想随便写一个暴力对拍就能轻松 \(\text{hack}\)。
反例：ood od（与前面提到的aab ab本质一样）。
这个反例告诉我们一件事情：情况 \(2\) 在离线 \(\text{dfs}\) 写法中普遍存在。
【如何改进？】
显然我们可以把在线写法里的最终版 \(insert\) 直接搬过来。这样做当然是正确的，但是，由这里 “它看起来就像是个没有特判 \(1\)、特判 \(2\) 的在线写法” 得到启发，我们应该注意到一个很有意思的点：
猜想 \(2\)：在线写法中的特判 \(1\)，对应着离线写法中的 \(\text{Trie}\) 结构建造。也就是说，只加特判 \(1\) 的在线写法和不加任何特判的离线 \(\text{dfs}\) 写法类似。（事实上这一直觉是正确的，具体证明见后文）
注：换句话说，离线 \(\text{dfs}\) 其实是介于“离线 \(\text{bfs}\)/最终版在线”和“未加任何特判的在线”之间的一种折中写法，一种“特判不全的在线”，它解决了特判 \(1\) 的情况（实现 \(\text{Trie}\) 结构意义上的压缩节点），但没有解决特判 \(2\) 的情况（多串 \(\text{SAM}\) 结构中空节点的压缩）。
这样我们就理解了离线 \(\text{dfs}\) 的本质，只需要加特判 \(2\) 就可以了，特判 \(1\) 是没有意义的（\(\text{Trie}\) 结构已经预处理好了）。
（当然，这只是解决了正确性的问题，复杂度肯定还是不如 \(\text{bfs}\) 的）
离线 \(\text{dfs}\) 代码改进版如下：
inline int insert(Re ch,Re last){//普通SAM添加特判2
if(trans[last][ch]){//不存在特判1的情况
Re p=last,x=trans[p][ch];
Re y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
for(Re i=0;i<26;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
link[y]=link[x],link[x]=y;
return y;//即最初的特判2
}
Re x,y,z=++O,p=last;maxlen[z]=maxlen[last]+1;
while(p&&!trans[p][ch])trans[p][ch]=z,p=link[p];
if(!p)link[z]=1;
else{
x=trans[p][ch];
if(maxlen[p]+1==maxlen[x])link[z]=x;
else{
y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
for(Re i=0;i<26;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
link[y]=link[x],link[z]=link[x]=y;
}
}
return z;
}
(2).【bfs 为何正确】
\(\text{bfs}\) 代码也是使用的普通 \(insert\)，没加任何特判，为什么它就没有像 \(\text{dfs}\) 那样出问题呢？
关于特判 \(1\) 的情况，前面已经讨论过，由 \(\text{Trie}\) 结构所解决。
关于情况 \(2\)：
先说一下两个记号表达：
\(deep(a)\)：\(\text{Trie}\) 点 \(a\) 在 \(\text{Trie}\) 树上的深度。
\(S_{root_{Trie}->a}\)：从 \(\text{Trie}\) 树根 \(root_{Trie}\) 到 \(\text{Trie}\) 点 \(a\) 这一条长为 \(deep(a)\) 的路径所表示的字符串（即 \(a\) 在 \(\text{Trie}\) 上的前缀字符串）。
引理：对于任何 \(\text{Trie}\) 点 \(a\)，一定有 \(maxlen[pos[a]]=deep(a)\) 。
证明：
①\(maxlen[pos[a]]<deep(a)\) 显然不可能，因为 \(pos[a]\) 这个等价类一定包含 \(S_{root_{Trie}->a}\)，而 \(|S_{root_{Trie}->a}|=deep(a)\) 。
②假设 \(maxlen[pos[a]]>deep(a)\)，也就是说，有另一点 \(b\)，\(deep(b)>deep(a)\)，\(S_{root_{Trie}->b}\) 也在该等价类中，即 \(pos[b]=pos[a]\) 。
但是，我们使用的是普通 \(insert\) 代码，每一个 \(a\) 对应的 \(pos[a]\) 都是新建的点，所以 \(pos[a]\) 不可能等于 \(pos[b]\) 。
故假设不成立。
\(\text{bfs}\) 的特点是一层一层遍历，存在这样一个性质：当前 \(\text{Trie}\) 点 \(a\) 的深度 \(deep(a)=deep(fa_{Trie}(a))+1\) 为目前所遍历过的最深的深度。
在准备将 \(\text{Trie}\) 点 \(a\) 插入 \(\text{SAM}\) 的时，\(last\) 为 \(pos[fa_{Trie}(a)]\) 。
此时一定有如下结论：
结论：\(trans[last][ch]= NULL\)。
证明：假设存在 \(x=trans[last][ch]\neq NULL\)，则有 \(maxlen[x]> maxlen[last]\)（转移边指出去的点的长度不可能小于等于自身）。
又由引理得：\(maxlen[x]> maxlen[last]=deep(fa_{Trie}(a))\) ——①
在等价类 \(x\) 中取最长的那个字符串 \(s_{maxlen}(x)\) 在 \(\text{Trie}\) 上对应的末节点 \(a'\)（显然 \(s_{maxlen}(x)\) 就是 \(S_{root_{Trie}->a'}\)），有 \(pos[a']=x\)，
由引理及①得：\(deep(a')=maxlen[pos[a']]=maxlen[x]>deep(fa_{Trie}(a))\)，
则必满足 \(maxlen[x]=deep(a')=deep(fa_{Trie}(a))+1\) ——②（目前最深的点深度只能是这么大），
所以 \(deep(a')=deep(a)\) 。
注意我们是沿着 \(S_{root_{Trie}->fa_{Trie}(a)}\) 的每一个字符在自动机上一路走到 \(last\) 的，\(s_{maxlen}(last)\) 即为 \(S_{root_{Trie}->fa_{Trie}(a)}\)，且字符串 \(SS=s_{maxlen}(last)+ch\) 必定在等价类 \(x\) 中。
这里的 \(SS\) 实际上等于 \(S_{root_{Trie}->a}\)，所以 \(|SS|=deep(a)=deep(a')=|S_{root_{Trie}->a'}|\)，由于字符串 \(S_{root_{Trie}->a'}\) 也在该等价类中，所以 \(S_{root_{Trie}->a'}=SS=S_{root_{Trie}->a}\)（同一等价类里一种长度只对应一种字符串）。
由于此时 \(a\) 目前还在准备插入阶段，实际还没有对应的 \(\text{SAM}\) 的点，所以 \(a'\) 与 a 为不同的 \(\text{Trie}\) 点。也就是说，\(\text{Trie}\) 树上出现了两个不同的点对应着完全相同的前缀字符串，这是 \(\text{Trie}\) 结构所不允许的。
故假设不成立。
另外，由引理及②可得 \(maxlen[x]=deep(fa_{Trie}(a))+1=maxlen[last]+1\)，发现我们的假设其实就是特判 \(1\) 所判断的情况。
所以，前文所说的“特判 \(1\) 由 \(\text{Trie}\) 结构所解决”也得到了证明。
由此证明离线 \(\text{bfs}\) 不需要写上述两个特判。
四：【广义SAM的复杂度】
设 \(|T|\) 为 \(\text{Trie}\) 树大小，\(|A|\) 为字符集大小（可视为常数），\(G(T)\) 为 \(\text{Trie}\) 树所有叶节点深度之和。
-
状态数（节点数）为线性 \(O(2|T|)\) 。
-
转移函数（边数）上界为 \(O(|T||A|)\) 。
-
离线时间复杂度为 \(O(|T||A|+|T|)\) 。
-
在线时间复杂度为 \(O(|T||A|+G(T))\) 。
上述性质在刘研绎的论文都中有严谨证明，这里不赘述。
有趣的是，实际运行效率在线构造（即使是不够侑秀的写法）要比离线快得多。
五：【例题】
（由于代码较多，可能会显得较冗长，但广义 \(\text{SAM}\) 的写法具有争议，在各种题目中都能见到一些奇怪的做法，所以我还是把代码放出来供大家参考一下）
1.【广义 SAM 模板】
传送门：【模板】广义后缀自动机（广义 \(\text{SAM}\)） \(\text{[P6139]}\)
【题目描述】
求多个字符串的本质不同子串个数。
【分析】
随便选一种方式建好自动机，答案为：\(\sum maxlen[i]-maxlen[link[i]]\) 。
【Code (离线)】
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define Re register int
#define LL long long
using namespace std;
const int N=2e6+5,M=1e6+3;
int n,t;char ch[N];
inline void in(Re &x){
int fu=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')fu|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=fu?-x:x;
}
struct Trie{
int O,c[M],fa[M],tr[M][26];
//fa[x]: Trie树上x的父节点
//c[x]: Trie树上x的颜色
Trie(){O=1;}//根初始化为1
inline void insert(char ch[]){
Re p=1;
for(Re i=1;ch[i];++i){
Re a=ch[i]-'a';
if(!tr[p][a])tr[p][a]=++O,fa[O]=p,c[O]=a;
p=tr[p][a];
}
}
}T1;
struct Suffix_Automaton{
int O,pos[N],link[N],maxlen[N],trans[N][26];queue<int>Q;
//pos[x]:Trie上的x节点（路径1->x所表示的字符串）在SAM上的对应节点编号
//link[i]: 后缀链接
//trans[i]: 状态转移数组
Suffix_Automaton(){O=1;}//根初始化为1
inline int insert(Re ch,Re last){//和普通SAM一样
Re x,y,z=++O,p=last;maxlen[z]=maxlen[last]+1;
while(p&&!trans[p][ch])trans[p][ch]=z,p=link[p];
if(!p)link[z]=1;
else{
x=trans[p][ch];
if(maxlen[p]+1==maxlen[x])link[z]=x;
else{
y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
for(Re i=0;i<26;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
link[y]=link[x],link[z]=link[x]=y;
}
}
return z;
}
inline void build(){//bfs遍历Trie树构造广义SAM
for(Re i=0;i<26;++i)if(T1.tr[1][i])Q.push(T1.tr[1][i]);//插入第一层字符
pos[1]=1;//Tire树上的根1在SAM上的位置为根1
while(!Q.empty()){
Re x=Q.front();Q.pop();
pos[x]=insert(T1.c[x],pos[T1.fa[x]]);//注意是pos[Trie->fa[x]]
for(Re i=0;i<26;++i)if(T1.tr[x][i])Q.push(T1.tr[x][i]);
}
}
inline void sakura(){
LL ans=0;
for(Re i=2;i<=O;++i)ans+=maxlen[i]-maxlen[link[i]];
printf("%lld\n",ans);
}
}SAM;
int main(){
// freopen("123.txt","r",stdin);
in(n);
for(Re i=1;i<=n;++i)scanf("%s",ch+1),T1.insert(ch);
SAM.build(),SAM.sakura();
}
【Code (在线)】
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define Re register int
#define LL long long
using namespace std;
const int N=2e6+5;
int n;char ch[N];
inline void in(Re &x){
int fu=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')fu|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=fu?-x:x;
}
struct Suffix_Automaton{
int O,link[N],maxlen[N],trans[N][26];
//link[i]: 后缀链接
//trans[i]: 状态转移数组
Suffix_Automaton(){O=1;}//根初始化为1
inline int insert(Re ch,Re last){
if(trans[last][ch]){
Re p=last,x=trans[p][ch];
if(maxlen[p]+1==maxlen[x])return x;//即最初的特判1
else{
Re y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
for(Re i=0;i<26;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
link[y]=link[x],link[x]=y;
return y;//即最初的特判2
}
}
Re z=++O,p=last;maxlen[z]=maxlen[last]+1;
while(p&&!trans[p][ch])trans[p][ch]=z,p=link[p];
if(!p)link[z]=1;
else{
Re x=trans[p][ch];
if(maxlen[p]+1==maxlen[x])link[z]=x;
else{
Re y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
for(Re i=0;i<26;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
link[y]=link[x],link[z]=link[x]=y;
}
}
return z;
}
inline void sakura(){
LL ans=0;
for(Re i=2;i<=O;++i)ans+=maxlen[i]-maxlen[link[i]];
printf("%lld\n",ans);
}
}SAM;
int main(){
// freopen("123.txt","r",stdin);
in(n);
for(Re i=1;i<=n;++i){
scanf("%s",ch+1);Re last=1;
for(Re j=1;ch[j];++j)last=SAM.insert(ch[j]-'a',last);
}
SAM.sakura();
}
2.【分别维护不同串的 siz】
【题目描述】
求两个字符串的相同子串数量。
【分析】
如上黑体字所说，两个串的 \(|endpos|\) 要分开计算，可以开一个二维数组，用 \(siz[x][id]\) 表示节点 \(x\) 在串 \(id\) 上的 \(\{endpos\}\) 大小。
则答案为：\(\sum siz[i][0]\times siz[i][1]\times (maxlen[i]-maxlen[link[i]])\) 。
【Code (离线)】
求 \(siz\) 用离线做法貌似会麻烦一点，要在 \(\text{Trie}\) 树上记录不同字符串的信息，等啥时候心情好了有空了再回来填坑吧。
【Code (在线)】
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define Re register int
#define LL long long
using namespace std;
const int N=8e5+5;
char ch[200003];LL ans;
inline void in(Re &x){
int fu=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')fu|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=fu?-x:x;
}
struct Suffix_Automaton{
int O,ru[N],link[N],maxlen[N],siz[N][2],trans[N][26];queue<int>Q;
//siz[x]: |endpos[x]| 即节点x的endpos大小
Suffix_Automaton(){O=1;}
inline int insert(Re ch,Re last,Re id){
if(trans[last][ch]){
Re p=last,x=trans[p][ch];
if(maxlen[p]+1==maxlen[x]){siz[x][id]=1;return x;}
else{
Re y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
for(Re i=0;i<26;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
link[y]=link[x],link[x]=y;
siz[y][id]=1;return y;
}
}
Re z=++O,p=last;maxlen[z]=maxlen[last]+1;
while(p&&!trans[p][ch])trans[p][ch]=z,p=link[p];
if(!p)link[z]=1;
else{
Re x=trans[p][ch];
if(maxlen[p]+1==maxlen[x])link[z]=x;
else{
Re y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
for(Re i=0;i<26;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
link[y]=link[x],link[z]=link[x]=y;
}
}
siz[z][id]=1;
return z;
}
inline void sakura(){
for(Re i=2;i<=O;++i)++ru[link[i]];
for(Re i=1;i<=O;++i)if(!ru[i])Q.push(i);
while(!Q.empty()){
Re x=Q.front();Q.pop();
siz[link[x]][0]+=siz[x][0];//分开更新
siz[link[x]][1]+=siz[x][1];
if(!(--ru[link[x]]))Q.push(link[x]);
}
for(Re i=2;i<=O;++i)//统计答案
ans+=(LL)siz[i][0]*siz[i][1]*(maxlen[i]-maxlen[link[i]]);
printf("%lld\n",ans);
}
}SAM;
int main(){
// freopen("123.txt","r",stdin);
for(Re i=0;i<2;++i){
scanf("%s",ch+1);Re last=1;
for(Re j=1;ch[j];++j)last=SAM.insert(ch[j]-'a',last,i);
}
SAM.sakura();
}
3.【线段树合并维护 siz】
传送门：\(\text{Forensic Examination}\) \(\text{[CF666E]}\)
【题目描述】
给出主串 \(S\) 以及 \(m\) 个字符串 \(T[1..m]\) 。有若干次询问，每次查询 \(S\) 的子串 \(S[p_l..p_r]\) 在 \(T[l..r]\) 中的哪个串 \(T_{i}\) 里的出现次数最多，输出 \(i\) 以及出现次数，有多解则取最靠前的那一个。
【分析】
先把所有字符串都插入到广义 \(\text{SAM}\) 中，对于每个节点开一颗下标为 \([1,m]\) 的动态开点线段树维护 \(siz\)（注意插入 \(S\) 时就不要在线段树上进行修改操作了）。由于 \(siz\) 的维护是统计子树和，所以插入结束后要在 \(parent\) 树上跑一下线段树合并。
查询时先在 \(parent\) 树上倍增找到包含子串 \(S[p_l,p_r]\) 的等价类状态节点，然后在该点的线段树上查询区间 \([l,r]\) 中的最大值，顺便维护下最大值所处位置即可。
【Code (离线)】
同上，需要记录 \(siz\) 的离线做法先咕着。
【Code (在线)】
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<string>
#define LL long long
#define Re register int
using namespace std;
const int N=5e5+3,M=5e4+3,logN=21;
int n,m,x,y,l,r,T,pos[N];char s[N],ch[M];
inline void in(Re &x){
int f=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=f?-x:x;
}
struct QWQ{
int x,id;QWQ(Re X=0,Re ID=0){x=X,id=ID;}
inline bool operator>(const QWQ &O)const{return x!=O.x?x>O.x:id<O.id;}
};
inline QWQ max(QWQ A,QWQ B){return A>B?A:B;}
int pt[N+M<<1];
struct Segment_Tree{
#define pl (tr[p].lp)
#define pr (tr[p].rp)
#define mid ((L+R)>>1)
int O;
struct QAQ{int lp,rp;QWQ ans;}tr[(M<<1)*30];
inline void pushup(Re p){
tr[p].ans=max(tr[pl].ans,tr[pr].ans);
}
inline void change(Re &p,Re L,Re R,Re x){
if(!p)p=++O;
if(L==R){++tr[p].ans.x,tr[p].ans.id=L;return;}
if(x<=mid)change(pl,L,mid,x);
else change(pr,mid+1,R,x);
pushup(p);
}
inline int merge(Re p,Re q,Re L,Re R){
if(!p||!q)return p+q;
Re x=++O;
if(L==R){tr[x]=tr[p],tr[x].ans.x+=tr[q].ans.x;return x;}
tr[x].lp=merge(pl,tr[q].lp,L,mid);
tr[x].rp=merge(pr,tr[q].rp,mid+1,R);
pushup(x);return x;
}
inline QWQ ask(Re p,Re L,Re R,Re l,Re r){
if(!p)return QWQ(0,m+1);
if(l<=L&&R<=r)return tr[p].ans;
QWQ ans=QWQ(0,m+1);
if(l<=mid)ans=max(ans,ask(pl,L,mid,l,r));
if(r>mid)ans=max(ans,ask(pr,mid+1,R,l,r));
return ans;
}
}TR;
struct Suffix_Automaton{
int O,link[N+M<<1],maxlen[N+M<<1],trans[N+M<<1][26];
Suffix_Automaton(){O=1;}
inline int insert(Re ch,Re last,Re id){
if(trans[last][ch]){
Re p=last,x=trans[p][ch];
if(maxlen[p]+1==maxlen[x]){if(id)TR.change(pt[x],1,m,id);return x;}
else{
Re y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
for(Re i=0;i<26;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
link[y]=link[x],link[x]=y;
if(id)TR.change(pt[y],1,m,id);
return y;
}
}
Re z=++O,p=last;maxlen[z]=maxlen[p]+1;
while(p&&!trans[p][ch])trans[p][ch]=z,p=link[p];
if(!p)link[z]=1;
else{
Re x=trans[p][ch];
if(maxlen[x]==maxlen[p]+1)link[z]=x;
else{
Re y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
for(Re i=0;i<26;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
link[y]=link[x],link[x]=link[z]=y;
}
}
if(id)TR.change(pt[z],1,m,id);
return z;
}
int o,deep[N+M<<1],head[N+M<<1],ant[N+M<<1][23];
struct QAQ{int to,next;}a[N+M<<1];
inline void add(Re x,Re y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
inline void dfs(Re x,Re fa){
deep[x]=deep[ant[x][0]=fa]+1;
for(Re i=1;(1<<i)<=deep[x];++i)ant[x][i]=ant[ant[x][i-1]][i-1];
for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
dfs(to=a[i].to,x),pt[x]=TR.merge(pt[x],pt[to],1,m);
}
inline void build(){
for(Re i=2;i<=O;++i)add(link[i],i);dfs(1,0);
}
inline int get(Re x,Re len){
Re p=pos[x];
for(Re i=logN;i>=0;--i)if(ant[p][i]&&maxlen[ant[p][i]]>=len)p=ant[p][i];
return p;
}
inline void sakura(Re l,Re r,Re x,Re y){
QWQ ans=TR.ask(pt[get(y,y-x+1)],1,m,l,r);
if(ans.x==0)ans.id=l;
printf("%d %d\n",ans.id,ans.x);
}
}SAM;
int main(){
// freopen("123.txt","r",stdin);
scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1),in(m);
for(Re i=1;i<=m;++i){
scanf("%s",ch+1);Re last=1;
for(Re j=1;ch[j];++j)last=SAM.insert(ch[j]-'a',last,i);
}
for(Re i=1,last=1;i<=n;++i)pos[i]=last=SAM.insert(s[i]-'a',last,0);
SAM.build(),in(T);
while(T--)in(l),in(r),in(x),in(y),SAM.sakura(l,r,x,y);
}
4.【树上本质不同路径数】
传送门：诸神眷顾的幻想乡 \(\text{[ZJOI2015] [P3346]}\) \(\text{[Bzoj3926]}\)
【题目描述】
给出一颗叶子结点不超过 \(20\) 个的无根树，每个节点上都有一个不超过 \(10\) 的数字，求树上本质不同的路径个数（两条路径相同定义为：其路径上所有节点上的数字依次相连组成的字符串相同）。
【分析】
首先有一个很麻烦的地方是路径可以拐弯（即两端点分别在其 \(lca\) 两个不同儿子节点的子树中），而 \(\text{Trie}\) 树和各种自动机在“接受”字符串时都是以根为起点从上往下径直走到底（什么？跳 \(parent\) 树？你跳任你跳，跳完还是直的）
所以要想办法把路径捋直，瞎 \(yy\) 可能不太容易想出来，这里直接抛结论：
一颗无根树上任意一条路径必定可以在以某个叶节点为根时，变成一条从上到下的路径（利于广义 \(\text{SAM}\) 的使用）。
注意到题目中说叶节点不超过 \(20\) 个，这意味着什么？
暴力枚举每一个叶节点作为根节点遍历整棵树啊！
将一共 \(cnt_{leaf}\) 颗树中的所有前缀串都抽出来建立广义 \(\text{SAM}\)，然后直接求本质不同的子串个数。 其中前缀串定义为从根节点（无根树的某个叶子结点）到任意一个节点的路径所构成的字符串（实际上就是将 \(cnt_{leaf}\) 颗 \(\text{Trie}\) 树合在了一起跑广义 \(\text{SAM}\)）。
注意数组大小和空间限制。
【Code (离线)】
（本题 \(\text{Trie}\) 树的构造方法与其他相比较为特别）
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define Re register int
#define LL long long
using namespace std;
const int N=4e6+5,N20=2e6+3,Nn=1e5+3;
int n,m,o,x,y,t,C,du[Nn],co[Nn],head[Nn];LL ans;
struct QAQ{int to,next;}a[Nn<<1];
inline void add(Re x,Re y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
inline void in(Re &x){
int fu=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')fu|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=fu?-x:x;
}
struct Trie{
int O,c[N20],fa[N20],tr[N20][10];
Trie(){O=1;}
inline int insert(Re p,Re ch){//在p后面插入一个ch
if(!tr[p][ch])tr[p][ch]=++O,c[O]=ch,fa[O]=p;
return tr[p][ch];
}
}T1;
struct Suffix_Automaton{
int O,pos[N],link[N],trans[N][10],maxlen[N];queue<int>Q;
Suffix_Automaton(){O=1;}
inline int insert(Re ch,Re last){
Re x,y,z=++O,p=last;maxlen[z]=maxlen[last]+1;
while(p&&!trans[p][ch])trans[p][ch]=z,p=link[p];
if(!p)link[z]=1;
else{
x=trans[p][ch];
if(maxlen[p]+1==maxlen[x])link[z]=x;
else{
y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
for(Re i=0;i<C;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
link[y]=link[x],link[z]=link[x]=y;
}
}
return z;
}
inline void build(){
for(Re i=0;i<C;++i)if(T1.tr[1][i])Q.push(T1.tr[1][i]);
pos[1]=1;
while(!Q.empty()){
Re x=Q.front();Q.pop();
pos[x]=insert(T1.c[x],pos[T1.fa[x]]);
for(Re i=0;i<C;++i)if(T1.tr[x][i])Q.push(T1.tr[x][i]);
}
}
inline void sakura(){
for(Re i=2;i<=O;++i)ans+=maxlen[i]-maxlen[link[i]];
printf("%lld\n",ans);
}
}SAM;
inline void dfs(Re x,Re fa,Re fap){//遍历构造Trie树
Re xp=T1.insert(fap,co[x]);//记录在Trie树上的位置，方便下次直接使用
for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
if((to=a[i].to)!=fa)dfs(to,x,xp);
}
int main(){
// freopen("123.txt","r",stdin);
in(n),in(C),m=n-1;
for(Re i=1;i<=n;++i)in(co[i]);
while(m--)in(x),in(y),add(x,y),add(y,x),++du[x],++du[y];
for(Re i=1;i<=n;++i)if(du[i]==1)dfs(i,0,1);//依次把每个叶子节点作为根插入Trie树
SAM.build(),SAM.sakura();
}
【Code (在线)】
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define Re register int
#define LL long long
using namespace std;
const int N=4e6+5,N20=2e6+3,Nn=1e5+3;
int n,m,o,x,y,t,C,du[Nn],co[Nn],head[Nn];LL ans;
struct QAQ{int to,next;}a[Nn<<1];
inline void add(Re x,Re y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
inline void in(Re &x){
int fu=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')fu|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=fu?-x:x;
}
struct Suffix_Automaton{
int O,link[N],trans[N][10],maxlen[N];
Suffix_Automaton(){O=1;}
inline int insert(Re ch,Re last){
if(trans[last][ch]){
Re p=last,x=trans[p][ch];
if(maxlen[p]+1==maxlen[x])return x;
else{
Re y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
for(Re i=0;i<10;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
link[y]=link[x],link[x]=y;
return y;
}
}
Re z=++O,p=last;maxlen[z]=maxlen[last]+1;
while(p&&!trans[p][ch])trans[p][ch]=z,p=link[p];
if(!p)link[z]=1;
else{
Re x=trans[p][ch];
if(maxlen[p]+1==maxlen[x])link[z]=x;
else{
Re y=++O;maxlen[y]=maxlen[p]+1;
for(Re i=0;i<10;++i)trans[y][i]=trans[x][i];
while(p&&trans[p][ch]==x)trans[p][ch]=y,p=link[p];
link[y]=link[x],link[z]=link[x]=y;
}
}
return z;
}
inline void sakura(){
for(Re i=2;i<=O;++i)ans+=maxlen[i]-maxlen[link[i]];
printf("%lld\n",ans);
}
}SAM;
inline void dfs(Re x,Re fa,Re fap){//遍历在线构造SAM
Re xp=SAM.insert(co[x],fap);//记录x在SAM上的位置，方便下次直接使用
for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
if((to=a[i].to)!=fa)dfs(to,x,xp);
}
int main(){
// freopen("123.txt","r",stdin);
in(n),in(C),m=n-1;
for(Re i=1;i<=n;++i)in(co[i]);
while(m--)in(x),in(y),add(x,y),add(y,x),++du[x],++du[y];
for(Re i=1;i<=n;++i)if(du[i]==1)dfs(i,0,1);//依次把每个叶子节点作为根插入Trie树
SAM.sakura();
}
5.【卡空间常数的例子（减少无用节点）】
传送门：\(\text{Cyclical Quest}\) \(\text{[CF235C]}\)
给出主串 \(S\) 和 \(n\) 个询问串。对于每个询问串，求出它的所有循环同构在主串中的出现次数总和。
做法见 题解 \(\text{by asuldb}\) 。
由于是暴力非正解，需要疯狂卡空间，如果使用在线做法不加特判 \(1,2\)（即之前列举出来的盗版做法）会喜获 \(\text{MLE}\) 。加了特判但不处理无用节点 \(z\) 可以 以 \(476Mb\) 的好成绩 \(\text{AC}\)。使用最终版代码当然也可以过，但多用了一丢丢空间，或许是评测姬波动？可 \(\text{CF666E}\) 亦是如此。可能.....无用 \(z\) 的个数比较少吧.......
六：【后记】
初学时我在网上找了很久（当时傻乎乎的，看不懂论文），只发现了一篇细讲广义 \(\text{SAM}\) 复杂度和正确性的博客（也就是这个），所以无条件相信了里面写的所有东西，并凭借本篇博客又误导了许多其他初学者，深感惭愧。
我们嘤该学会独立思考，不要盲目相信别人博客里写的东西啊......（咳咳，本篇也不一定完全正确，若发现有误希望及时指正）
