【模板整合计划】图论—树论

一：【Prufer 序列】

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define Re register int
using namespace std;
const int N=5e6+3;
int n,op,fa[N],pf[N],son[N];LL ans;
inline void in(Re &x){
    int f=0;x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    x=f?-x:x;
}
inline LL get_prufer(){
    for(Re i=1;i<=n-1;++i)in(fa[i]),++son[fa[i]];
    for(Re i=1,j=1;i<=n-2;++i,++j){
        while(son[j])++j;pf[i]=fa[j];
        while(i<=n-2&&!--son[pf[i]]&&pf[i]<j)pf[i+1]=fa[pf[i]],++i;
    }
//    printf("Prufer: ");for(Re i=1;i<=n-2;++i)printf("%d ",pf[i]);puts("");
    for(Re i=1;i<=n-2;++i)ans^=(LL)i*pf[i];
    return ans;
}
inline LL get_fa(){
    for(Re i=1;i<=n-2;++i)in(pf[i]),++son[pf[i]];pf[n-1]=n;
    for(Re i=1,j=1;i<=n-1;++i,++j){
        while(son[j])++j;fa[j]=pf[i];
        while(i<=n-1&&!--son[pf[i]]&&pf[i]<j)fa[pf[i]]=pf[i+1],++i;
    }
//    printf("fa: ");for(Re i=1;i<=n-1;++i)printf("%d ",fa[i]);puts("");
    for(Re i=1;i<=n-1;++i)ans^=(LL)i*fa[i];
    return ans;
}
int main(){
    in(n),in(op),printf("%lld\n",op<2?get_prufer():get_fa());
}

二：【树的遍历】

1.【树的直径】

【模板】 \(\text{Longest path in a tree}\) \(\text{[SP1437]}\)

(1).【DFS】

const int N=1e4+3,M=3e5+3;
int n,m,x,y,o,head[N];
struct QAQ{int w,to,next;}a[N<<1];
inline void add(Re x,Re y,Re z){a[++o].w=z,a[o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
struct Tree_Diam_DFS{
    int cur,dis[N];
    inline void dfs(Re x,Re fa){
        if(dis[x]>dis[cur])cur=x;
        for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
            if((to=a[i].to)!=fa)dis[to]=dis[x]+a[i].w,dfs(to,x);
    }
    inline int sakura(){
        dfs(1,0);
        memset(dis,0,sizeof(dis));
        dfs(cur,0);
        return dis[cur];
    }
}T1;
int main(){
    in(n),m=n-1;
    while(m--)in(x),in(y),add(x,y,1),add(y,x,1);
    printf("%d\n",T1.sakura());
}

(2).【DP】

const int N=1e4+3,M=3e5+3;
int n,m,x,y,o,head[N];
struct QAQ{int w,to,next;}a[N<<1];
inline void add(Re x,Re y,Re z){a[++o].w=z,a[o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
struct Tree_Diam_DP1{
    int ans,dis[N];
    inline void dfs(Re x,Re fa){
        for(Re i=head[x],to,tmp;i;i=a[i].next)
            if((to=a[i].to)!=fa){
                dfs(to,x);
                ans=max(ans,dis[x]+dis[to]+a[i].w);
                dis[x]=max(dis[x],dis[to]+a[i].w);
            }
    }
    inline int sakura(){dfs(1,0);return ans;}
}T1;
struct Tree_Diam_DP2{
    int ans,dis[N][2];
    inline void dfs(Re x,Re fa){
        for(Re i=head[x],to,tmp;i;i=a[i].next)
            if((to=a[i].to)!=fa){
                dfs(to,x);
                if(dis[x][0]<(tmp=dis[to][0]+a[i].w))dis[x][1]=dis[x][0],dis[x][0]=tmp;
                else dis[x][1]=max(dis[x][1],tmp);
            }
        ans=max(ans,dis[x][1]+dis[x][0]);
    }
    inline int sakura(){dfs(1,0);return ans;}
}T2;
int main(){
    in(n),m=n-1;
    while(m--)in(x),in(y),add(x,y,1),add(y,x,1);
    printf("%d\n",T1.sakura());
//  printf("%d\n",T2.sakura());
}

2.【树的重心】

【模板】 \(\text{Balancing Act}\) \(\text{[Poj1655]}\)

const int N=2e4+3,inf=2e9;
int n,m,x,y,o,T,head[N];
struct QAQ{int w,to,next;}a[N<<1];
inline void add(Re x,Re y,Re z){a[++o].w=z,a[o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
struct Tree_Diam_DP1{
    int ans,dp[N],size[N];
    inline void dfs(Re x,Re fa){
        size[x]=1,dp[x]=0;
        for(Re i=head[x],to,tmp;i;i=a[i].next)
            if((to=a[i].to)!=fa){
                dfs(to,x),size[x]+=size[to];
                dp[x]=max(dp[x],size[to]);
            }
        if(n-size[x])dp[x]=max(dp[x],n-size[x]);
    }
    inline void sakura(){
        dfs(1,0),dp[ans=0]=inf;
        for(Re i=1;i<=n;++i)if(dp[i]<dp[ans])ans=i;
    }
}T1;
int main(){
    in(T);
    while(T--){
        memset(head,0,sizeof(head));
        in(n),m=n-1,o=0;
        while(m--)in(x),in(y),add(x,y,1),add(y,x,1);
        T1.sakura();
        printf("%d %d\n",T1.ans,T1.dp[T1.ans]);
    }
}

三：【树链剖分】

1.【树链剖分（重链剖分）】

【模板】 树链剖分 \(\text{[P3384]}\)

const int N=1e5+3;
int n,m,x,y,z,T,P,op,root,A[N],AA[N];
struct Killed_Tree{
    struct QAQ{int to,next;}a[N<<1];
    int o,id_o,fa[N],id[N],idx[N],top[N],son[N],size[N],deep[N],head[N];
    inline void add(Re x,Re y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
    struct Segment_Tree{
        #define pl (p<<1)
        #define pr (p<<1|1)
        #define mid (L+R>>1)
        struct QAQ{int S,l,r,add;}tr[N<<2];
        inline void pushdown(Re p){
            Re v=tr[p].add;
            if(v){
                (tr[pl].S+=v*(tr[pl].r-tr[pl].l+1)%P)%=P,(tr[pl].add+=v)%=P;
                (tr[pr].S+=v*(tr[pr].r-tr[pr].l+1)%P)%=P,(tr[pr].add+=v)%=P;
                tr[p].add=0;
            }
        }
        inline void build(Re p,Re L,Re R){
            tr[p].l=L,tr[p].r=R;
            if(L==R){tr[p].S=AA[L]%P;return;}
            build(pl,L,mid),build(pr,mid+1,R);
            tr[p].S=(tr[pl].S+tr[pr].S)%P;
        }
        inline void change(Re p,Re l,Re r,Re v){
            Re L=tr[p].l,R=tr[p].r;
            if(l<=L&&R<=r){(tr[p].S+=v*(R-L+1)%P)%=P,(tr[p].add+=v)%=P;return;}
            pushdown(p);
            if(l<=mid)change(pl,l,r,v);
            if(r>mid)change(pr,l,r,v);
            tr[p].S=(tr[pl].S+tr[pr].S)%P;
        }
        inline int ask(Re p,Re l,Re r){
            Re L=tr[p].l,R=tr[p].r;
            if(l<=L&&R<=r)return tr[p].S;
            Re ans=0;pushdown(p);
            if(l<=mid)(ans+=ask(pl,l,r))%=P;
            if(r>mid)(ans+=ask(pr,l,r))%=P;
            return ans;
        }
    }TR;
    inline void dfs1(Re x,Re Fa){
        size[x]=1,deep[x]=deep[fa[x]=Fa]+1;
        for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
            if((to=a[i].to)!=Fa){
                dfs1(to,x);
                size[x]+=size[to];
                if(size[to]>size[son[x]])son[x]=to;
            }
    }
    inline void dfs2(Re x,Re rt){
        id[x]=++id_o,idx[id_o]=x,AA[id_o]=A[x],top[x]=rt;
        if(!son[x])return;//叶节点
        dfs2(son[x],rt);
        for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
            if((to=a[i].to)!=fa[x]&&to!=son[x])dfs2(to,to);
    }
    inline void kill(Re rt){dfs1(rt,0),dfs2(rt,rt),TR.build(1,1,n);}
    inline int ask_dis(Re x,Re y){//询问x到y的简单路径上权值之和
        Re ans=0;
        while(top[x]!=top[y]){
            if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y);
            (ans+=TR.ask(1,id[top[x]],id[x]))%=P;
            x=fa[top[x]];
        }
        if(deep[x]>deep[y])swap(x,y);
        (ans+=TR.ask(1,id[x],id[y]))%=P;
        return ans;
    }
    inline void change_dis(Re x,Re y,Re v){//x到y的简单路径上权值加上v
        while(top[x]!=top[y]){
            if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y);
            TR.change(1,id[top[x]],id[x],v);
            x=fa[top[x]];
        }
        if(deep[x]>deep[y])swap(x,y);
        TR.change(1,id[x],id[y],v);
    }
    inline int ask_son(Re x){//询问以x为根的子树权值之和
        return TR.ask(1,id[x],id[x]+size[x]-1);
    }
    inline void change_son(Re x,Re v){//以x为根的子树权值加上v
        TR.change(1,id[x],id[x]+size[x]-1,v);
    }
}T1;
int main(){
    in(n),in(T),in(root),in(P),m=n-1;
    for(Re i=1;i<=n;++i)in(A[i]);
    while(m--)in(x),in(y),T1.add(x,y),T1.add(y,x);
    T1.kill(root);
    while(T--){
        in(op);
        if(op<2)in(x),in(y),in(z),T1.change_dis(x,y,z%P);
        else if(op<3)in(x),in(y),printf("%d\n",T1.ask_dis(x,y));
        else if(op<4)in(x),in(z),T1.change_son(x,z%P);
        else in(x),printf("%d\n",T1.ask_son(x));
    }
}

2.【长链剖分】

【模板】 \(\text{Dominant Indices}\) \(\text{[CF1009F]}\)

const int N=1e6+3;
int n,m,x,y,o,Sz[N],son[N],Ans[N],dep[N],head[N];int *SZ=Sz,*dp[N];
struct QAQ{int to,next;}a[N<<1];
inline void add(Re x,Re y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
inline void dfs1(Re x,Re fa){
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if((to=a[i].to)!=fa){
            dfs1(to,x);
            if(dep[to]>dep[son[x]])son[x]=to;
        }
    dep[x]=dep[son[x]]+1;
}
inline void dfs2(Re x,Re fa){
    dp[x][0]=1;
    if(son[x])dp[son[x]]=dp[x]+1,dfs2(son[x],x),Ans[x]=Ans[son[x]]+1;
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if((to=a[i].to)!=fa&&to!=son[x]){
            dp[to]=SZ,SZ+=dep[to],dfs2(to,x);
            for(Re j=1;j<=dep[to];++j){
                dp[x][j]+=dp[to][j-1];
                if(dp[x][j]>dp[x][Ans[x]])Ans[x]=j;
                else if(dp[x][j]==dp[x][Ans[x]])Ans[x]=min(Ans[x],j);
            }
        }
    if(dp[x][Ans[x]]==1)Ans[x]=0;
}
int main(){
//    freopen("123.txt","r",stdin);
    in(n),m=n-1;
    while(m--)in(x),in(y),add(x,y),add(y,x);
    dfs1(1,0),dp[1]=SZ,SZ+=dep[1],dfs2(1,0);
    for(Re i=1;i<=n;++i)printf("%d\n",Ans[i]);
}

3.【动态树 (Link Cut Tree)】

(1).【Link Cut Tree】

【模板】 \(\text{Link Cut Tree}\)（动态树）\(\text{[P3690]}\)

const int N=1e5+3;
int n,x,y,T,op,a[N];
struct Link_Cut_Tree{
    #define pl tr[p].ps[0]
    #define pr tr[p].ps[1]
    #define pf tr[p].fa
    int Q[N];
    struct QAQ{int fa,ans,tag,ps[2];}tr[N];
    inline void pushup(Re p){
        tr[p].ans=a[p]^tr[pl].ans^tr[pr].ans;
    }
    inline void updata(Re p){swap(pl,pr),tr[p].tag^=1;}
    inline void pushdown(Re p){
        if(tr[p].tag){
            if(pl)updata(pl);
            if(pr)updata(pr);
            tr[p].tag=0;
        }
    }
    inline int nort(Re p){return tr[pf].ps[0]==p||tr[pf].ps[1]==p;}
    inline int which(Re p){return tr[pf].ps[1]==p;}
    inline void connect(Re p,Re fa,Re o){tr[pf=fa].ps[o]=p;}
    inline void rotate(Re p){
        Re fa=pf,fas=which(p);
        Re pa=tr[fa].fa,pas=which(fa);
        Re x=tr[p].ps[fas^1];
        if(nort(fa))tr[pa].ps[pas]=p;pf=pa;
        connect(x,fa,fas),connect(fa,p,fas^1);
        pushup(fa),pushup(p);
    }
    inline void splay(Re p){
        Re x=p,t=0;Q[++t]=x;
        while(nort(x))Q[++t]=x=tr[x].fa;
        while(t)pushdown(Q[t--]);
        for(Re fa;nort(p);rotate(p))
            if(nort(fa=pf))rotate(which(p)==which(fa)?fa:p);
    }
    inline void access(Re p){
        for(Re son=0;p;son=p,p=pf)
            splay(p),pr=son,pushup(p);
    }
    inline void makeroot(Re p){access(p),splay(p),updata(p);}
    inline int findroot(Re p){
        access(p),splay(p),pushdown(p);
        while(pl)pushdown(p=pl);
        return p;
    }
    inline void split(Re x,Re y){makeroot(x),access(y),splay(y);}
    inline void link(Re x,Re y){makeroot(x);if(findroot(y)!=x)tr[x].fa=y;}
    inline void cut(Re x,Re y){
        makeroot(x);
        if(findroot(y)==x&&tr[x].fa==y&&!tr[x].ps[1])
            tr[x].fa=tr[y].ps[0]=0,pushup(y);
    }
}LCT;
int main(){
    in(n),in(T);
    for(Re i=1;i<=n;++i)in(a[i]);
    while(T--){
        in(op),in(x),in(y);
        if(!op)LCT.split(x,y),printf("%d\n",LCT.tr[y].ans);
        else if(op<2)LCT.link(x,y);
        else if(op<3)LCT.cut(x,y);
        else LCT.splay(x),a[x]=y,LCT.pushup(x);
    }
}

(2).【LCT 维护虚子树信息】

大融合 \(\text{[BJOI2014] [P4219]}\)

const int N=1e5+3;
int n,x,y,T;char op;
struct Link_Cut_Tree{
    #define pl tr[p].ps[0]
    #define pr tr[p].ps[1]
    #define pf tr[p].fa
    int Q[N];
    struct QAQ{int fa,si,ans,tag,ps[2];}tr[N];
    inline void pushup(Re p){
        tr[p].ans=1+tr[p].si+tr[pl].ans+tr[pr].ans;
    }
    inline void updata(Re p){swap(pl,pr),tr[p].tag^=1;}
    inline void pushdown(Re p){
        if(tr[p].tag){
            if(pl)updata(pl);
            if(pr)updata(pr);
            tr[p].tag=0;
        }
    }
    inline int nort(Re p){return tr[pf].ps[0]==p||tr[pf].ps[1]==p;}
    inline int which(Re p){return tr[pf].ps[1]==p;}
    inline void connect(Re p,Re fa,Re o){tr[pf=fa].ps[o]=p;}
    inline void rotate(Re p){
        Re fa=pf,fas=which(p);
        Re pa=tr[fa].fa,pas=which(fa);
        Re x=tr[p].ps[fas^1];
        if(nort(fa))tr[pa].ps[pas]=p;pf=pa;
        connect(x,fa,fas),connect(fa,p,fas^1);
        pushup(fa),pushup(p);
    }
    inline void splay(Re p){
        Re x=p,t=0;Q[++t]=x;
        while(nort(x))Q[++t]=x=tr[x].fa;
        while(t)pushdown(Q[t--]);
        for(Re fa;nort(p);rotate(p))
            if(nort(fa=pf))rotate(which(p)==which(fa)?fa:p);
    }
    inline void access(Re p){
        for(Re son=0;p;son=p,p=pf)
            splay(p),tr[p].si+=tr[pr].ans,tr[p].si-=tr[pr=son].ans,pushup(p);
    }
    inline void makeroot(Re p){access(p),splay(p),updata(p);}
    inline int findroot(Re p){
        access(p),splay(p),pushdown(p);
        while(pl)pushdown(p=pl);
        return p;
    }
    inline void split(Re x,Re y){makeroot(x),access(y),splay(y);}
    inline void link(Re x,Re y){
        makeroot(x);
        if(findroot(y)!=x)tr[tr[x].fa=y].si+=tr[x].ans,pushup(y);
    }
    inline void cut(Re x,Re y){
        makeroot(x);
        if(findroot(y)==x&&tr[x].fa==y&&!tr[x].ps[1])
            tr[x].fa=tr[y].ps[0]=0,pushup(y);
    }
    inline int ask(Re x,Re y){split(x,y);return (tr[x].si+1)*(tr[y].si+1);}
}LCT;
int main(){
    in(n),in(T);
    while(T--){
        scanf(" %c",&op),in(x),in(y);
        if(op=='A')LCT.link(x,y);
        if(op=='Q')printf("%d\n",LCT.ask(x,y));
    }
}

(3).【LCT 维护原子树信息】

遥远的国度 \(\text{[P3979]}\)

const int N=1e5+3,inf=2e9;
int n,x,y,z,T,op,root,X[N],Y[N];
struct Link_Cut_Tree{
    #define pl tr[p].ps[0]
    #define pr tr[p].ps[1]
    #define pf tr[p].fa
    #define pv tr[p].v
    int Q[N];
    struct QAQ{int v,fa,si,shi,ans,add,tag,ans0,ps[2];multiset<int>SI;}tr[N];
    //shi: 所有实儿子(在该链上的v)
    //si: 子树内所有虚儿子(不在该链上的ans)
    inline void pushup(Re p){
        tr[p].shi=min(pv,min(tr[pl].shi,tr[pr].shi));//只要实的
        tr[p].si=min(*tr[p].SI.begin(),min(tr[pl].si,tr[pr].si));//只要虚的
        tr[p].ans=min(tr[p].shi,tr[p].si);
    }
    inline void updata(Re p){tr[p].tag^=1,swap(pl,pr);}
    inline void updata(Re p,Re v){tr[p].add=1,tr[p].shi=pv=v,tr[p].ans=min(tr[p].shi,tr[p].si);}//只修改实的，虚的不变
    inline void pushdown(Re p){
        if(tr[p].tag){
            if(pl)updata(pl);
            if(pr)updata(pr);
            tr[p].tag=0;
        }
        if(tr[p].add){
            if(pl)updata(pl,pv);
            if(pr)updata(pr,pv);
            tr[p].add=0;
        }
    }
    inline int which(Re p){return tr[pf].ps[1]==p;}
    inline int nort(Re p){return tr[pf].ps[0]==p||tr[pf].ps[1]==p;}
    inline void connect(Re p,Re fa,Re o){tr[pf=fa].ps[o]=p;}
    inline void rotate(Re p){
        Re fa=pf,fas=which(p);
        Re pa=tr[fa].fa,pas=which(fa);
        Re x=tr[p].ps[fas^1];
        if(nort(fa))tr[pa].ps[pas]=p;pf=pa;
        connect(x,fa,fas),connect(fa,p,fas^1);
        pushup(fa),pushup(p);
    }
    inline void splay(Re p){
        Re x=p,t=0;Q[++t]=x;
        while(nort(x))Q[++t]=x=tr[x].fa;
        while(t)pushdown(Q[t--]);
        for(Re fa;nort(p);rotate(p))
            if(nort(fa=pf))rotate(which(p)==which(fa)?fa:p);
    }
    inline void access(Re p){
        for(Re son=0;p;son=p,p=pf){
            splay(p);
            if(pr)tr[p].SI.insert(tr[pr].ans);
            pr=son;
            if(pr)tr[p].SI.erase(tr[p].SI.lower_bound(tr[pr].ans));
            pushup(p);
        }
    }
    inline void makeroot(Re p){access(p),splay(p),updata(p);}
    inline void link(Re x,Re y){makeroot(x),access(y),splay(y),tr[tr[x].fa=y].SI.insert(tr[x].ans);}
    inline void change(Re x,Re y,Re z){makeroot(x),access(y),splay(y),updata(y,z);}
    inline int ask_son(Re p){access(p),splay(p);return min(pv,*tr[p].SI.begin());}
}T1;
int main(){
    in(n),in(T),T1.tr[0].shi=T1.tr[0].si=inf;
    for(Re i=1;i<n;++i)in(X[i]),in(Y[i]);
    for(Re i=1;i<=n;++i)in(T1.tr[i].v),T1.tr[i].SI.insert(inf),T1.pushup(i);
    for(Re i=1;i<n;++i)T1.link(X[i],Y[i]);
    in(root),T1.makeroot(root);
    while(T--){
        in(op),in(x);
        if(op<2)T1.makeroot(root=x);
        else if(op<3)in(y),in(z),T1.change(x,y,z),T1.makeroot(root);
        else printf("%d\n",T1.ask_son(x));
    }
}

(4).【LCT 动态维护最小生成树】

水管局长 \(\text{[WC2006] [P4172]}\)

const int N=1003,M=1e5+3;
int n,m,x,y,z,T,op,id,id_O,v[N+M],vis[N+M],Ans[M],ID[N][N];
struct Query{int op,x,y;}Q[M];
struct Link_Cut_Tree{
    #define pl tr[p].ps[0]
    #define pr tr[p].ps[1]
    #define pf tr[p].fa
    int Q[N+M];
    struct QAQ{int mx,fa,tag,ps[2];}tr[N+M];
    inline void pushup(Re p){
        tr[p].mx=p;
        if(pl&&v[tr[pl].mx]>v[tr[p].mx])tr[p].mx=tr[pl].mx;
        if(pr&&v[tr[pr].mx]>v[tr[p].mx])tr[p].mx=tr[pr].mx;
    }
    inline void updata(Re p){swap(pl,pr),tr[p].tag^=1;}
    inline void pushdown(Re p){
        if(tr[p].tag){
            if(pl)updata(pl);
            if(pr)updata(pr);
            tr[p].tag=0;
        }
    }
    inline int which(Re p){return tr[pf].ps[1]==p;}
    inline int nort(Re p){return tr[pf].ps[0]==p||tr[pf].ps[1]==p;}
    inline void connect(Re p,Re fa,Re o){tr[pf=fa].ps[o]=p;}
    inline void rotate(Re p){
        Re fa=pf,fas=which(p);
        Re pa=tr[fa].fa,pas=which(fa);
        Re x=tr[p].ps[fas^1];
        if(nort(fa))tr[pa].ps[pas]=p;pf=pa;
        connect(x,fa,fas),connect(fa,p,fas^1);
        pushup(fa),pushup(p);
    }
    inline void splay(Re p){
        Re x=p,t=0;Q[++t]=x;
        while(nort(x))Q[++t]=x=tr[x].fa;
        while(t)pushdown(Q[t--]);
        for(Re fa;nort(p);rotate(p))
            if(nort(fa=pf))rotate(which(p)==which(fa)?fa:p);
    }
    inline void access(Re p){
        for(Re son=0;p;son=p,p=pf)
            splay(p),pr=son,pushup(p);
    }
    inline void makeroot(Re x){access(x),splay(x),updata(x);}
    inline int findroot(Re p){
        access(p),splay(p),pushdown(p);
        while(pl)pushdown(p=pl);
        return p;
    }
    inline void split(Re x,Re y){makeroot(x),access(y),splay(y);}
    inline void link(Re x,Re y){makeroot(x);if(findroot(y)!=x)tr[x].fa=y;}
    inline void cut(Re x,Re y){
        makeroot(x);
        if(findroot(y)==x&&tr[x].fa==y&&!tr[x].ps[1])
            tr[x].fa=tr[y].ps[0]=0,pushup(y);
    }
    inline void MST_link(Re x,Re y,Re id){
        makeroot(x);
        if(findroot(y)!=x)link(x,id),link(id,y);
        else{
            split(x,y);Re mx=tr[y].mx;
            if(v[id]<v[mx]){
                splay(mx);
                tr[tr[mx].ps[0]].fa=tr[tr[mx].ps[1]].fa=0;
                tr[mx].ps[0]=tr[mx].ps[1]=tr[mx].fa=0;
                link(x,id),link(id,y);
            }
        }
    }
    inline int MST_path(Re x,Re y){split(x,y);return v[tr[y].mx];}
}LCT;
struct Kruscal{
    int fa[N];
    struct QAQ{int x,y,z;inline bool operator<(const QAQ &O)const{return z<O.z;}}a[M];
    inline int find(Re x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}
    inline void sakura(){
        for(Re i=1;i<=n;++i)fa[i]=i;
        for(Re i=1;i<=m;++i)in(x),in(y),in(z),v[ID[x][y]=ID[y][x]=++id_O+n]=z,a[i]=(QAQ){x,y,z};
        for(Re i=1;i<=T;++i)in(op),in(x),in(y),vis[ID[x][y]]|=op>1,Q[i]=(Query){op,x,y};
        sort(a+1,a+m+1);
        for(Re i=1,t=0;t<n-1&&i<=m;++i)
            if(!vis[ID[x=a[i].x][y=a[i].y]]&&find(x)!=find(y))
                fa[find(x)]=find(y),++t,LCT.MST_link(x,y,ID[x][y]);
    }
}T1;
int main(){
    in(n),in(m),in(T),T1.sakura();
    for(Re i=T;i>=1;--i){
        Re op=Q[i].op,x=Q[i].x,y=Q[i].y;
        if(op&1)Ans[++Ans[0]]=LCT.MST_path(x,y);
        else LCT.MST_link(x,y,ID[x][y]);
    }
    for(Re i=Ans[0];i>=1;--i)printf("%d\n",Ans[i]);
}

4.【动态 DP (DDP)】

【模板】 动态 \(\text{DP [P4719]}\)

(1).【树链剖分】

#define Mat Matrix
const int N=1e5+3;
const LL inf=1e18;
int n,m,o,x,y,T,A[N],head[N];
struct QAQ{int to,next;}a[N<<1];
inline void add(Re x,Re y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
struct Matrix{
    LL a[3][3];Mat(){a[1][1]=a[1][2]=a[2][1]=a[2][2]=-inf;}
    inline Mat operator*(const Mat &O)const{
        Mat A;
        for(Re i=1;i<=2;++i)
            for(Re j=1;j<=2;++j)
                for(Re k=1;k<=2;++k)
                    A.a[i][j]=max(A.a[i][j],a[i][k]+O.a[k][j]);
        return A;
    }
}G[N];
int idx[N];
struct killed_Tree{
    struct Segment_Tree{
        #define pl (p<<1)
        #define pr (p<<1|1)
        #define mid ((L+R)>>1)
        Mat tr[N<<2];
        inline void pushup(Re p){tr[p]=tr[pl]*tr[pr];}
        inline void build(Re p,Re L,Re R){
            if(L==R){tr[p]=G[idx[L]];return;}
            build(pl,L,mid),build(pr,mid+1,R);
            pushup(p);
        }
        inline void change(Re p,Re L,Re R,Re x,Mat &v){
            if(L==R){tr[p]=v;return;}
            if(x<=mid)change(pl,L,mid,x,v);
            else change(pr,mid+1,R,x,v);
            pushup(p);
        }
        inline Mat ask(Re p,Re L,Re R,Re l,Re r){
            if(l<=L&&R<=r)return tr[p];
            if(r<=mid)return ask(pl,L,mid,l,r);
            else if(l>mid)return ask(pr,mid+1,R,l,r);
            else return ask(pl,L,mid,l,r)*ask(pr,mid+1,R,l,r);
        }
    }TR;
    int id_O,fa[N],st[N],ed[N],son[N],top[N],deep[N],size[N];LL f[N][2],g[N][2];
    inline void dfs1(Re x,Re Fa){
        deep[x]=deep[fa[x]=Fa]+1,size[x]=1;
        for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
            if((to=a[i].to)!=Fa){
                dfs1(to,x),size[x]+=size[to];
                if(size[to]>size[son[x]])son[x]=to;
            }
    }
    inline void dfs2(Re x,Re rt){//在剖树时顺手把初始的答案数组f,g求出来
        idx[st[x]=++id_O]=x,ed[rt]=max(ed[rt],id_O),top[x]=rt;
        f[x][0]=g[x][0]=0,f[x][1]=g[x][1]=A[x];//f:包含所有儿子的答案。g:只包含轻儿子的答案。
        if(son[x])dfs2(son[x],rt),f[x][0]+=max(f[son[x]][0],f[son[x]][1]),f[x][1]+=f[son[x]][0];
        for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
            if((to=a[i].to)!=fa[x]&&to!=son[x]){
                dfs2(to,to);
                f[x][0]+=max(f[to][0],f[to][1]),f[x][1]+=f[to][0];
                g[x][0]+=max(f[to][0],f[to][1]),g[x][1]+=f[to][0];
            }
        G[x].a[1][1]=G[x].a[1][2]=g[x][0];
        G[x].a[2][1]=g[x][1],G[x].a[2][2]=-inf;
    }
    inline LL ask(){Mat F=TR.ask(1,1,n,st[1],ed[1]);return max(F.a[1][1],F.a[2][1]);}//询问答案(注意这里取min时应该是看F中的情况而不是G，且注F的摆放位置应满足叶子节点处与G中对应值相同)
    inline void change(Re x,Re v){//修改x的点权
        G[x].a[2][1]+=v-A[x],A[x]=v;//修改G[x][1]
        while(x){
            Mat F1=TR.ask(1,1,n,st[top[x]],ed[top[x]]);//这条链修改之前的f数组
            TR.change(1,1,n,st[x],G[x]);//修改点x的G
            Mat F2=TR.ask(1,1,n,st[top[x]],ed[top[x]]);//这条链修改之后的f数组
            x=fa[top[x]];//跳到下一条链
            G[x].a[1][1]+=max(F2.a[1][1],F2.a[2][1])-max(F1.a[1][1],F1.a[2][1]),G[x].a[1][2]=G[x].a[1][1];
            G[x].a[2][1]+=F2.a[1][1]-F1.a[1][1];//根据转移方程进行更新
        }
    }
}T1;
int main(){
//    freopen("123.txt","r",stdin);
    in(n),in(T),m=n-1;
    for(Re i=1;i<=n;++i)in(A[i]);
    while(m--)in(x),in(y),add(x,y),add(y,x);
    T1.dfs1(1,0),T1.dfs2(1,1),T1.TR.build(1,1,n);
    while(T--)in(x),in(y),T1.change(x,y),printf("%lld\n",T1.ask());
}

(2).【LCT】

#define Mat Matrix
const int N=1e5+3;
const LL inf=1e18;
int n,m,o,x,y,T,A[N],head[N];
struct QAQ{int to,next;}a[N<<1];
inline void add(Re x,Re y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
struct Matrix{
    LL a[3][3];Mat(){a[1][1]=a[1][2]=a[2][1]=a[2][2]=-inf;}
    inline Mat operator*(const Mat &O)const{
        Mat A;
        for(Re i=1;i<=2;++i)
            for(Re j=1;j<=2;++j)
                for(Re k=1;k<=2;++k)
                    A.a[i][j]=max(A.a[i][j],a[i][k]+O.a[k][j]);
        return A;
    }
}G[N];
struct Link_Cut_Tree{
    #define pl tr[p].ps[0]
    #define pr tr[p].ps[1]
    #define pf tr[p].fa
    struct QAQ{int fa,ps[2];}tr[N];Mat TR[N];
    inline void pushup(Re p){
        TR[p]=G[p];
        if(pl)TR[p]=TR[pl]*TR[p];
        if(pr)TR[p]=TR[p]*TR[pr];
    }
    inline int which(Re p){return tr[pf].ps[1]==p;}
    inline int nort(Re p){return tr[pf].ps[0]==p||tr[pf].ps[1]==p;}
    inline void connect(Re p,Re fa,Re o){tr[pf=fa].ps[o]=p;}
    inline void rotate(Re p){
        Re fa=pf,fas=which(p);
        Re pa=tr[fa].fa,pas=which(fa);
        Re x=tr[p].ps[fas^1];
        if(nort(fa))tr[pa].ps[pas]=p;pf=pa;
        connect(x,fa,fas),connect(fa,p,fas^1);
        pushup(fa),pushup(p);
    }
    inline void splay(Re p){
        for(Re fa;nort(p);rotate(p))
            if(nort(fa=pf))rotate(which(p)==which(fa)?fa:p);
    }
    inline void access(Re p){
        for(Re son=0;p;son=p,p=pf){
            splay(p);
            if(pr)G[p].a[1][1]+=max(TR[pr].a[1][1],TR[pr].a[2][1]),G[p].a[1][2]=G[p].a[1][1],G[p].a[2][1]+=TR[pr].a[1][1];
            pr=son;
            if(pr)G[p].a[1][1]-=max(TR[pr].a[1][1],TR[pr].a[2][1]),G[p].a[1][2]=G[p].a[1][1],G[p].a[2][1]-=TR[pr].a[1][1];
            pushup(p);
        }
    }
    inline void change(Re x,Re v){access(x),splay(x),G[x].a[2][1]+=v-A[x],A[x]=v,pushup(x);}//修改x的点权(G[x][1])
    inline LL ask(){splay(1);return max(TR[1].a[1][1],TR[1].a[2][1]);}//询问答案(注意这里取min时应该是看F中的情况而不是G，且注F的摆放位置应满足无实儿子节点处与G中对应值相同)
}T1;
LL g[N][2];//初始时CLT上全为轻边,刚好可以直接求g
inline void dfs(Re x,Re fa){//在剖树时顺手把初始的答案数组g求出来
    g[x][1]=A[x],T1.tr[x].fa=fa;
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)if((to=a[i].to)!=fa)
        dfs(to,x),g[x][0]+=max(g[to][0],g[to][1]),g[x][1]+=g[to][0];
    G[x].a[1][1]=G[x].a[1][2]=g[x][0];
    G[x].a[2][1]=g[x][1],G[x].a[2][2]=-inf;
    T1.pushup(x);
}
int main(){
    in(n),in(T),m=n-1;
    for(Re i=1;i<=n;++i)in(A[i]);
    while(m--)in(x),in(y),add(x,y),add(y,x);
    dfs(1,0);
    while(T--)in(x),in(y),T1.change(x,y),printf("%lld\n",T1.ask());
}

(3).【全局平衡二叉树 (AVL)】

四：【最近公共祖先 (LCA)】

【模板】 最近公共祖先（\(\text{LCA}\)）\(\text{[P3379]}\)

1.【树上倍增】

const int N=5e5+3,M=5e5+3,logN=18;//注意考虑最多一次跳\floor(\log N)级
struct LCA{
	int deep[N],ant[N][logN+1];
	inline void dfs(Re x,Re fa){
		deep[x]=deep[ant[x][0]=fa]+1;
		for(Re i=1;(1<<i)<=deep[x];++i)ant[x][i]=ant[ant[x][i-1]][i-1];
		for(Re i=head[x];i;i=a[i].next)if(a[i].to!=fa)dfs(a[i].to,x);
	}
	inline int lca(Re x,Re y){
		if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);//先把x变为深度更大的点
		for(Re i=logN;i>=0;--i)if(deep[ant[x][i]]>=deep[y])x=ant[x][i];//x单独往上跳到深度与y相等的位置
		if(x==y)return x;//如果已经相遇了就返回
		for(Re i=logN;i>=0;--i)if(ant[x][i]!=ant[y][i])x=ant[x][i],y=ant[y][i];//如果往上跳2^i步都还没有相遇
		return ant[x][0];//最后一步到达
	}
}T1;

2.【欧拉序+ST 表】

const int N=5e5+3,logN=19;
struct LCA{
	int O,lg[N<<1],Qx[N<<1],Qd[N<<1],fir[N],deep[N],f[N<<1][logN+1],ans[N<<1][logN+1];
	inline void dfs(Re x,Re fa){
		Qx[fir[x]=++O]=x,Qd[O]=deep[x]=deep[fa]+1;//加x加入欧拉序列
		for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
			if((to=a[i].to)!=fa)dfs(to,x),Qx[++O]=x,Qd[O]=deep[x];//加x加入欧拉序列
	}
	inline void build(Re rt){
		dfs(rt,0),lg[0]=-1;
		for(Re i=1;i<=O;++i)f[i][0]=Qd[i],ans[i][0]=Qx[i],lg[i]=lg[i>>1]+1;
		for(Re j=1;j<=logN;++j)
			for(Re i=1;i+(1<<j)-1<=O;++i)
				if(f[i][j-1]<f[i+(1<<j-1)][j-1])f[i][j]=f[i][j-1],ans[i][j]=ans[i][j-1];
				else f[i][j]=f[i+(1<<j-1)][j-1],ans[i][j]=ans[i+(1<<j-1)][j-1];
	}
	inline int lca(Re x,Re y){
		Re L=fir[x],R=fir[y];
		if(L>R)swap(L,R);
		Re m=lg[R-L+1];
		return f[L][m]<f[R-(1<<m)+1][m]?ans[L][m]:ans[R-(1<<m)+1][m];
	}
}T1;

3.【Tarjan】

咕咕咕。

4.【树链剖分】

【模板】 最近公共祖先（\(\text{LCA}\)）\(\text{[P3379]}\)

const int N=5e5+3;
int n,m,x,y,T,root;
struct Killed_Tree{
    struct QAQ{int to,next;}a[N<<1];
    int o,head[N];
    inline void add(Re x,Re y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
    int id_o,id[N],fa[N],son[N],top[N],deep[N],size[N];
    inline void dfs1(Re x,Re Fa){
        size[x]=1,deep[x]=deep[fa[x]=Fa]+1;
        for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
            if((to=a[i].to)!=Fa){
                dfs1(to,x);
                size[x]+=size[to];
                if(size[to]>size[son[x]])son[x]=to;
            }
    }
    inline void dfs2(Re x,Re rt){
        id[x]=++id_o,top[x]=rt;
        if(!son[x])return;
        dfs2(son[x],rt);
        for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
            if((to=a[i].to)!=fa[x]&&to!=son[x])dfs2(to,to);
    }
    inline void kill(Re rt){dfs1(rt,0),dfs2(rt,rt);}
    inline int lca(Re x,Re y){
        while(top[x]!=top[y]){
            if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y);
            x=fa[top[x]];
        }
        if(deep[x]>deep[y])swap(x,y);
        return x;
    }
}T1;
int main(){
    in(n),in(T),in(root),m=n-1;
    while(m--)in(x),in(y),T1.add(x,y),T1.add(y,x);
    T1.kill(root);
    while(T--)in(x),in(y),printf("%d\n",T1.lca(x,y));
}

5.【LCT】

const int N=5e5+3;
int n,m,x,y,T,root;
struct Link_Cut_Tree{
    #define pl tr[p].ps[0]
    #define pr tr[p].ps[1]
    #define pf tr[p].fa
    int Q[N];
    struct QAQ{int fa,tag,ps[2];}tr[N];
    inline void pushup(Re p){}
    inline void updata(Re p){swap(pl,pr),tr[p].tag^=1;}
    inline void pushdown(Re p){
        if(tr[p].tag){
            if(pl)updata(pl);
            if(pr)updata(pr);
            tr[p].tag=0;
        }
    }
    inline int nort(Re p){return tr[pf].ps[0]==p||tr[pf].ps[1]==p;}
    inline int which(Re p){return tr[pf].ps[1]==p;}
    inline void connect(Re p,Re fa,Re o){tr[pf=fa].ps[o]=p;}
    inline void rotate(Re p){
        Re fa=pf,fas=which(p);
        Re pa=tr[fa].fa,pas=which(fa);
        Re x=tr[p].ps[fas^1];
        if(nort(fa))tr[pa].ps[pas]=p;pf=pa;
        connect(x,fa,fas),connect(fa,p,fas^1);
        pushup(fa),pushup(p);
    }
    inline void splay(Re p){
        Re x=p,t=0;Q[++t]=x;
        while(nort(x))Q[++t]=x=tr[x].fa;
        while(t)pushdown(Q[t--]);
        for(Re fa;nort(p);rotate(p))
            if(nort(fa=pf))rotate(which(p)==which(fa)?fa:p);
    }
    inline int access(Re p){
        Re son=0;
        for(;p;son=p,p=pf)
            splay(p),pr=son,pushup(p);
        return son;
    }
    inline void makeroot(Re p){access(p),splay(p),updata(p);}
    inline int findroot(Re p){
        access(p),splay(p),pushdown(p);
        while(pl)pushdown(p=pl);
        return p;
    }
    inline void split(Re x,Re y){makeroot(x),access(y),splay(y);}
    inline void link(Re x,Re y){makeroot(x),tr[x].fa=y;}
    inline void cut(Re x,Re y){
        makeroot(x);
        if(findroot(y)==x&&tr[x].fa==y&&!tr[x].ps[1])
            tr[x].fa=tr[y].ps[0]=0,pushup(y);
    }
    inline int lca(Re x,Re y){access(x);return access(y);}
}LCT;
int main(){
    in(n),in(T),in(root),m=n-1;
    while(m--)in(x),in(y),LCT.link(x,y);LCT.makeroot(root);
    while(T--)in(x),in(y),printf("%d\n",LCT.lca(x,y));
}

五：【树分治】

1.【点分治】

【模板】 点分治 \(1\) \(\text{[P3806]}\)

(1).【分各子树计算】

const int N=1e4+3,M=103,INF=1e7+3,inf=2e9;
int n,m,o,x,y,z,T,maxK,K[M],Ans[M],head[N];
struct QAQ{int w,to,next;}a[N<<1];
inline void add(Re x,Re y,Re z){a[++o].w=z,a[o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
inline void in(Re &x){
    int f=0;x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    x=f?-x:x;
}
int rt,sum,dd[N],vis[N],tmp[N],dis[N],maxp[N],size[N];bool judge[INF];
inline void getrt(Re x,Re fa){
    size[x]=1,maxp[x]=0;
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if(!vis[to=a[i].to]&&to!=fa)
            getrt(to,x),size[x]+=size[to],maxp[x]=max(maxp[x],size[to]);
    maxp[x]=max(maxp[x],sum-size[x]);
    if(maxp[x]<maxp[rt])rt=x;
}
inline void getdis(Re x,Re fa,Re w){
    if(dis[fa]+w>maxK)return;
    dd[++dd[0]]=dis[x]=dis[fa]+w;
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if(!vis[to=a[i].to]&&to!=fa)getdis(to,x,a[i].w);
}
inline void calc(Re x){
    tmp[0]=0,judge[tmp[++tmp[0]]=0]=1;
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if(!vis[to=a[i].to]){
            dis[x]=dd[0]=0,getdis(to,x,a[i].w);
            for(Re j=1;j<=dd[0];++j)
                for(Re k=1;k<=T;++k)
                    if(K[k]>=dd[j])Ans[k]|=judge[K[k]-dd[j]];
            for(Re j=1;j<=dd[0];++j)judge[tmp[++tmp[0]]=dd[j]]=1;
        }
    for(Re i=1;i<=tmp[0];++i)judge[tmp[i]]=0;
}
inline void sakura(Re x){
    Re now=sum;vis[x]=1,calc(x);//注意一定要开一个局部变量记录当前连通块大小
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if(!vis[to=a[i].to])
            sum=size[to]>size[x]?now-size[x]:size[to],maxp[rt=0]=inf,getrt(to,x),sakura(rt);//注意不能直接取size[to]
}
int main(){
    in(n),in(T),m=n-1;
    while(m--)in(x),in(y),in(z),add(x,y,z),add(y,x,z);
    for(Re i=1;i<=T;++i)in(K[i]),maxK=max(maxK,K[i]);
    sum=n,maxp[rt=0]=inf,getrt(1,0),sakura(rt);
    for(Re i=1;i<=T;++i)puts(Ans[i]?"AYE":"NAY");
}

(2).【容斥计算】

const int N=4e4+3,inf=2e9;
int n,m,o,x,y,z,K,head[N];LL Ans;
struct QAQ{int w,to,next;}a[N<<1];
inline void add(Re x,Re y,Re z){a[++o].w=z,a[o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
int rt,sum,cnt,tmp[N],dis[N],vis[N],maxp[N],size[N];
inline void getrt(Re x,Re fa){
    size[x]=1,maxp[x]=0;
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if(!vis[to=a[i].to]&&to!=fa)
            getrt(to,x),size[x]+=size[to],maxp[x]=max(maxp[x],size[to]);
    maxp[x]=max(maxp[x],sum-size[x]);
    if(maxp[x]<maxp[rt])rt=x;
}
inline void getdis(Re x,Re fa,Re w){
    if(dis[fa]+w>K)return;
    tmp[++cnt]=dis[x]=dis[fa]+w;
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if(!vis[to=a[i].to]&&to!=fa)getdis(to,x,a[i].w);
}
inline int calc(Re x,Re d){
    Re ans=0;cnt=0,tmp[++cnt]=dis[x]=d;
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if(!vis[to=a[i].to])getdis(to,x,a[i].w);
    sort(tmp+1,tmp+cnt+1);
    Re R=cnt;
    for(Re i=1;i<=cnt&&i<R;++i){
        while(i<R&tmp[i]+tmp[R]>K)--R;
        if(i<R)ans+=(R-(i+1)+1);
    }
    return ans;
}
inline void sakura(Re x){
    Re now=sum;vis[x]=1,Ans+=calc(x,0);
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if(!vis[to=a[i].to])
            Ans-=calc(to,a[i].w),sum=size[to]>size[x]?now-size[x]:size[to],maxp[rt=0]=inf,getrt(to,x),sakura(rt);
}
int main(){
    in(n),m=n-1;
    while(m--)in(x),in(y),in(z),add(x,y,z),add(y,x,z);
    in(K);
    sum=n,maxp[rt=0]=inf,getrt(1,0),sakura(rt);
    printf("%lld\n",Ans);
}

2.【链分治】

3.【点分树（动态点分治）】

【模板】 点分树 / 震波 \(\text{[P6329]}\) \(\text{[Bzoj3730]}\)

(1).【暴跳祖先、在线查询点距离】

const int N=1e5+3,inf=2e9,logN=17;
int n,m,o,x,y,T,op,lastans,A[N],deep[N],head[N];
struct QAQ{int to,next;}a[N<<1];
inline void add(Re x,Re y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
struct LCA{
    int fa[N],top[N],son[N],size[N];
    inline void dfs1(Re x,Re Fa){
        size[x]=1,deep[x]=deep[fa[x]=Fa]+1;
        for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
            if((to=a[i].to)!=Fa){
                dfs1(to,x),size[x]+=size[to];
                if(size[son[x]]<size[to])son[x]=to;
            }
    }
    inline void dfs2(Re x,Re rt){
        top[x]=rt;
        if(!son[x])return;
        dfs2(son[x],rt);
        for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
            if((to=a[i].to)!=fa[x]&&to!=son[x])dfs2(to,to);
    }
    inline void build(){dfs1(1,0),dfs2(1,1);}
    inline int lca(Re x,Re y){
        while(top[x]!=top[y]){
            if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y);
            x=fa[top[x]];
        }
        if(deep[x]>deep[y])swap(x,y);
        return x;
    }
}T1;
inline int Dis(Re x,Re y){return deep[x]+deep[y]-(deep[T1.lca(x,y)]<<1);}//查询原树中点x,y的距离
struct BIT{
    int n;vector<int>C;
    inline void build(Re N){C.resize((n=N)+1);}//使用到的上限为n,空间开n+1
    inline void add(Re x,Re v){++x;while(x<=n)C[x]+=v,x+=x&-x;}//由于dis可能为0,所以在BIT里面统计向后移一位，查询同理
    inline int ask(Re x){++x,x=min(x,n);Re ans=0;while(x)ans+=C[x],x-=x&-x;return ans;}//注意要和维护的上界取最小值，防止越界
}TR1[N],TR2[N];
int rt,sum,fa[N],vis[N],maxp[N],size[N];
inline void getrt(Re x,Re fa){//获取该连通块的重心
    size[x]=1,maxp[x]=0;
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if(!vis[to=a[i].to]&&to!=fa)
            getrt(to,x),size[x]+=size[to],maxp[x]=max(maxp[x],size[to]);
    maxp[x]=max(maxp[x],sum-size[x]);
    if(maxp[x]<maxp[rt])rt=x;
}
inline void sakura(Re x,Re Fa){//处理重心x所囊括的连通块
    Re now=sum;vis[x]=1,fa[x]=Fa;
    TR1[x].build(now/2+1),TR2[x].build(now+1);//由重心性质可知,TR1会使用[0,now/2],TR2会使用[1,now]，向后移一位变为[1,now/2+1]和[2,now+1]
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if(!vis[to=a[i].to])
            sum=size[to]>size[x]?now-size[x]:size[to],maxp[rt=0]=inf,getrt(to,0),sakura(rt,x);//注意子连通块大小不要直接用size[to]
}
inline void change(Re x,Re v){
    TR1[x].add(0,v);//subtree(x)
    for(Re i=x;fa[i];i=fa[i]){//在虚树上面跳父亲 
        Re tmp=Dis(x,fa[i]);
        TR1[fa[i]].add(tmp,v);
        TR2[i].add(tmp,v);
    }
}
inline int ask(Re x,Re K){
    Re ans=TR1[x].ask(K);//subtree(x)
    for(Re i=x;fa[i];i=fa[i]){//在虚树上面跳父亲 
        Re tmp=Dis(x,fa[i]);if(tmp>K)continue;
        ans+=TR1[fa[i]].ask(K-tmp);
        ans-=TR2[i].ask(K-tmp);
    }
    return ans;
}
int main(){
    in(n),in(T),m=n-1;
    for(Re i=1;i<=n;++i)in(A[i]);
    while(m--)in(x),in(y),add(x,y),add(y,x);
    T1.build(),sum=n,maxp[rt=0]=inf,getrt(1,0),sakura(rt,0);
    for(Re i=1;i<=n;++i)change(i,A[i]);
    while(T--){
        in(op),in(x),in(y),x^=lastans,y^=lastans;
        if(op)change(x,y-A[x]),A[x]=y;
        else printf("%d\n",lastans=ask(x,y));
    }
}

(2).【预处理祖先及距离】

const int N=1e5+3,inf=2e9,logN=17;
int n,m,o,x,y,T,op,lastans,A[N],head[N];
struct QAQ{int to,next;}a[N<<1];
inline void add(Re x,Re y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
struct BIT{
    int n;vector<int>C;
    inline void build(Re N){C.resize((n=N)+1);}//使用到的上限为n,空间开n+1
    inline void add(Re x,Re v){++x;while(x<=n)C[x]+=v,x+=x&-x;}//由于dis可能为0,所以在BIT里面统计向后移一位，查询同理
    inline int ask(Re x){++x,x=min(x,n);Re ans=0;while(x)ans+=C[x],x-=x&-x;return ans;}//注意要和维护的上界取最小值，防止越界
}TR1[N],TR2[N];
int rt,sum,gs[N],vis[N],maxp[N],size[N],frt[N][20],fdis[N][20];
inline void getrt(Re x,Re fa){//获取该连通块的重心
    size[x]=1,maxp[x]=0;
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if(!vis[to=a[i].to]&&to!=fa)
            getrt(to,x),size[x]+=size[to],maxp[x]=max(maxp[x],size[to]);
    maxp[x]=max(maxp[x],sum-size[x]);
    if(maxp[x]<maxp[rt])rt=x;
}
inline void getdis(Re x,Re rt,Re fa,Re d){//遍历该连通块预处理dis
    frt[x][++gs[x]]=rt,fdis[x][gs[x]]=d;//顺手把祖先也存下来，后面一起访问
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if(!vis[to=a[i].to]&&to!=fa)getdis(to,rt,x,d+1);
}
inline void sakura(Re x){//处理重心x所囊括的连通块
    Re now=sum;vis[x]=1,getdis(x,x,0,0);
    TR1[x].build(now/2+1),TR2[x].build(now+1);//由重心性质可知,TR1会使用[0,now/2],TR2会使用[1,now]，向后移一位变为[1,now/2+1]和[2,now+1]
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if(!vis[to=a[i].to])
            sum=size[to]>size[x]?now-size[x]:size[to],maxp[rt=0]=inf,getrt(to,0),sakura(rt);//注意子连通块大小不要直接用size[to]
}
inline void change(Re x,Re v){
    TR1[x].add(0,v);//subtree(x)
    for(Re i=gs[x];i>=2;--i){//注意要倒序枚举
        Re tmp=fdis[x][i-1];
        TR1[frt[x][i-1]].add(tmp,v);
        TR2[frt[x][i]].add(tmp,v);
    }
}
inline int ask(Re x,Re K){
    Re ans=TR1[x].ask(K);//subtree(x)
    for(Re i=gs[x];i>=2;--i){//注意要倒序枚举
        Re tmp=fdis[x][i-1];if(tmp>K)continue;
        ans+=TR1[frt[x][i-1]].ask(K-tmp);
        ans-=TR2[frt[x][i]].ask(K-tmp);
    }
    return ans;
}
int main(){
    in(n),in(T),m=n-1;
    for(Re i=1;i<=n;++i)in(A[i]);
    while(m--)in(x),in(y),add(x,y),add(y,x);
    sum=n,maxp[rt=0]=inf,getrt(1,0),sakura(rt);
    for(Re i=1;i<=n;++i)change(i,A[i]);
    while(T--){
        in(op),in(x),in(y),x^=lastans,y^=lastans;
        if(op)change(x,y-A[x]),A[x]=y;
        else printf("%d\n",lastans=ask(x,y));
    }
}

【学习笔记】树论—点分树（动态点分治）

六：【基环树】

1.【基环树森林求直径】

【模板】 \(\text{Island}\) \(\text{[P4381]}\)

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
const int N=1e6+3;
#define LL long long
int n,m,x,y,o=1,h,t,st,cnt,In[N],cir[N],pan[N],head[N];LL ans,tmp,Q[N<<1],S[N<<1],dp[N<<1],dis[N];
struct QAQ{int w,to,next;}a[N<<1];
inline void add(Re x,Re y,Re z){a[++o].w=z,a[o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
inline LL max(LL a,LL b){return a>b?a:b;}
inline int find_circle(Re x,Re p){
    if(In[x]){st=x,cir[++cnt]=x,pan[x]=1;return 1;}
    In[x]=1;
    for(Re i=head[x];i;i=a[i].next)
        if(i!=(p^1)&&find_circle(a[i].to,i)){
            pan[x]=1;
            if(x==st){S[0]=S[1]-a[i].w;return 0;}
            cir[++cnt]=x,S[cnt]=S[cnt-1]+a[i].w;
            return 1;
        }
    return 0;
}
inline void Tree_dp(Re x){
    pan[x]=1;
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if(!pan[to=a[i].to]){
            Tree_dp(to);
            tmp=max(tmp,dis[x]+a[i].w+dis[to]);
            dis[x]=max(dis[x],dis[to]+a[i].w);
        }
}
inline LL pp(Re j){return dp[j]-S[j];}
inline LL sakura(Re root){
    S[0]=cnt=st=0;find_circle(root,0);
    LL ans1=0,ans2=0;tmp=0;
    for(Re i=1;i<=cnt;++i){
        tmp=0,Tree_dp(cir[i]),ans1=max(ans1,tmp);
        dp[i+cnt]=dp[i]=dis[cir[i]];
        S[i+cnt]=S[i+cnt-1]+S[i]-S[i-1];
    }
    h=1,t=0,Q[++t]=1;//ans=max(dp[i]+dp[j]+S[i]-S[j]) i-j+1<=cnt i-cnt+1<=j<i
    for(Re i=2;i<=(cnt<<1);++i){
        while(h<=t&&Q[h]<i-cnt+1)++h;
        if(h<=t)ans2=max(ans2,dp[i]+S[i]+pp(Q[h]));
        while(h<=t&&pp(Q[t])<=pp(i))--t;
        Q[++t]=i;
    }
    return max(ans1,ans2);
}
int main(){
    in(n);
    for(Re i=1;i<=n;++i)in(x),in(y),add(i,x,y),add(x,i,y);
    for(Re i=1;i<=n;++i)if(!pan[i])ans+=sakura(i);
    printf("%lld",ans);
}

七：【虚树】

【模板】 \(\text{Kingdom and its Cities [CF613D]}\)

const int N=1e5+3,logN=17;
int n,m,x,y,o,T,dfn_o,dfn[N],deep[N],head[N];
struct QAQ{int to,next;}a[N<<1];
inline void add(Re x,Re y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
struct LCA{
    int ant[N][20];
    inline void dfs(Re x,Re fa){
        deep[x]=deep[ant[x][0]=fa]+1,dfn[x]=++dfn_o;
        for(Re j=1;(1<<j)<=deep[x];++j)ant[x][j]=ant[ant[x][j-1]][j-1];
        for(Re i=head[x];i;i=a[i].next)if(a[i].to!=fa)dfs(a[i].to,x);
    }
    inline int lca(Re x,Re y){
        if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);
        for(Re j=logN;j>=0;--j)if(deep[ant[x][j]]>=deep[y])x=ant[x][j];
        if(x==y)return x;
        for(Re j=logN;j>=0;--j)if(ant[x][j]!=ant[y][j])x=ant[x][j],y=ant[y][j];
        return ant[x][0];
    }
}T1;
inline bool cmp(Re x,Re y){return dfn[x]<dfn[y];}
struct Virtual_Tree{
    int t,o,ans,A[N],Q[N],key[N],head[N];
    struct QAQ{int to,next;}a[N<<1];
    inline void add(Re x,Re y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
    inline void insert(Re x){//虚树构造
        Re lca=T1.lca(Q[t],x);
        while(t>1&&deep[Q[t-1]]>deep[lca])add(Q[t-1],Q[t]),--t;
        if(t&&deep[Q[t]]>deep[lca])add(lca,Q[t--]);
        if(!t||Q[t]!=lca)Q[++t]=lca;
        Q[++t]=x;
    }
    inline void dfs(Re x){//遍历虚树
        if(key[x])//如果x是关键点
            for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next){
                dfs(to=a[i].to);
                if(key[to])key[to]=0,++ans;
            }
        else{//如果x不是关键点
            for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
                dfs(to=a[i].to),key[x]+=key[to],key[to]=0;
            if(key[x]>1)key[x]=0,++ans;
        }
        head[x]=0;
    }
    inline void sakura(){
        in(m);Re flag=1;ans=o=t=0;
        for(Re i=1;i<=m;++i)in(A[i]),key[A[i]]=1;
        for(Re i=1;i<=m&&flag;++i)flag&=(!key[T1.ant[A[i]][0]]);
        if(!flag){
            for(Re i=1;i<=m;++i)key[A[i]]=0;
            puts("-1");return;
        }
        sort(A+1,A+m+1,cmp),Q[++t]=1;
        for(Re i=1+(A[1]==1);i<=m;++i)insert(A[i]);
        while(t>1)add(Q[t-1],Q[t]),--t;
        dfs(1),key[1]=0;//根节点可能没有还清除
        printf("%d\n",ans);
    }
}T2;
int main(){
    in(n),m=n-1;
    while(m--)in(x),in(y),add(x,y),add(y,x);
    T1.dfs(1,0),in(T);
    while(T--)T2.sakura();
}

八：【树上启发式合并（Dsu on tree）】

【学习笔记】树论—\(\text{Dsu on tree}\)

【模板】 \(\text{Lomsat gelral [CF600E]}\)

const int N=1e5+3;
int o,n,m,x,y,t,K,tmp,A[N],Q[N],cnt[N],son[N],size[N],head[N];LL ans,Ans[N];
struct QAQ{int to,next;}a[N<<1];
inline void add(Re x,Re y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
inline void dfs(Re x,Re fa){//预处理重儿子
    size[x]=1;
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if((to=a[i].to)!=fa){
            dfs(to,x),size[x]+=size[to];
            if(size[to]>size[son[x]])son[x]=to;
        }
}
inline void CL(){//清空贡献，从zero开始
    while(t)cnt[Q[t--]]=0;ans=tmp=0;
}
inline void insert(Re x){//加入点x的贡献
    ++cnt[Q[++t]=A[x]];
    if(cnt[A[x]]>tmp)tmp=cnt[ans=A[x]];
    else if(cnt[A[x]]==tmp)ans+=A[x];
}
inline void addson(Re x,Re fa){//加入subtree(x)的贡献（以x为根的整棵子树）
    insert(x);
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if((to=a[i].to)!=fa)addson(to,x);
}
inline void sakura(Re x,Re fa){
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if((to=a[i].to)!=fa&&to!=son[x])sakura(to,x),CL();//计算轻儿子的答案并清空贡献
    if(son[x])sakura(son[x],x);//计算重儿子的答案并保留subtree(son[x])（以son[x]为根的整棵子树贡献）
    for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)
        if((to=a[i].to)!=fa&&to!=son[x])addson(to,x);//加入subtree(x)-subtree(son[x])-x（以x的所有轻儿子为根的子树贡献）
    insert(x),Ans[x]=ans;//注意还要把x的贡献也加进去
}
int main(){
    in(n),m=n-1;
    for(Re i=1;i<=n;++i)in(A[i]);
    while(m--)in(x),in(y),add(x,y),add(y,x);
    dfs(1,0),sakura(1,0);
    for(Re i=1;i<=n;++i)printf("%lld ",Ans[i]);
}

posted @ 2019-11-12 08:17 辰星凌阅读(872) 评论(0) 编辑收藏举报

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辰星凌的博客QAQ

时过而不知泪已落 ——散华礼弥

【模板整合计划】图论—树论

【模板整合计划】图论—树论

一：【Prufer 序列】

二：【树的遍历】

1.【树的直径】

(1).【DFS】

(2).【DP】

2.【树的重心】

三：【树链剖分】

1.【树链剖分（重链剖分）】

2.【长链剖分】

3.【动态树 (Link Cut Tree)】

(1).【Link Cut Tree】

(2).【LCT 维护虚子树信息】

(3).【LCT 维护原子树信息】

(4).【LCT 动态维护最小生成树】

4.【动态 DP (DDP)】

(1).【树链剖分】

(2).【LCT】

(3).【全局平衡二叉树 (AVL)】

四：【最近公共祖先 (LCA)】

1.【树上倍增】

2.【欧拉序+ST 表】

3.【Tarjan】

4.【树链剖分】

5.【LCT】

五：【树分治】

1.【点分治】

(1).【分各子树计算】

(2).【容斥计算】

2.【链分治】

3.【点分树（动态点分治）】

(1).【暴跳祖先、在线查询点距离】

(2).【预处理祖先及距离】

六：【基环树】

1.【基环树森林求直径】

七：【虚树】

八：【树上启发式合并（Dsu on tree）】

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