【模板整合计划】DP动态规划
【模板整合计划】DP动态规划
一：【背包】
1.【01背包】
#include<algorithm>
#include<cstdio>
int T,n,i,j,v[110],w[110],f[1010];
int main(){
scanf("%d%d",&T,&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=T;j>=v[i];j--)
f[j]=std::max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
printf("%d",f[T]);
}
2.【完全背包】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n,ans,a[105],dp[30005];
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
memset(dp,-127,sizeof(dp));
scanf("%d",&n);dp[0]=ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=a[i];j<=25000;j++)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+1);
for(int i=1;i<=n;++i)ans+=dp[a[i]]==1;
printf("%d\n",ans);
}
}
3.【多重背包（二进制优化）】
const int N=103,M=4e4+3;
int n,m,x,y,z,V,ans,v[N*17],w[N*17],dp[M];
int main(){
in(m),in(V);
memset(dp,-127,sizeof(dp));
dp[0]=0;
while(m--){
in(x),in(y),in(z);Re p=1;
while(z>=p)v[++n]=y*p,w[n]=x*p,z-=p,p<<=1;
if(z)v[++n]=y*z,w[n]=x*z;
}
for(Re i=1;i<=n;++i)
for(Re j=V;j>=v[i];--j)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
for(Re i=0;i<=V;++i)ans=max(ans,dp[i]);
printf("%d\n",ans);
}
4.【混合背包】
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int x,a,b,c,d,T,n,i,j,t,f[1010],v[100010],w[100010];
int main(){
scanf("%d:%d%d:%d%d",&a,&b,&c,&d,&n);
T=c*60+d-a*60-b;
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
if(!c){
for(j=a;j<=T;j++)
f[j]=max(f[j],f[j-a]+b);
continue;
}
int p=1;
while(c>=p){v[++t]=p*a,w[t]=p*b,c-=p,p<<=1;}
v[++t]=c*a,w[t]=c*b;
}
for(i=1;i<=t;i++)
for(j=T;j>=v[i];j--)
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
printf("%d",f[T]);
return 0;
}
5.【二维费用】
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int tmp,T1,T2,x,y,n,i,j,k,v1[105],v2[105],w[105],dp[105][105],ans[105][105];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d%d",&v1[i],&v2[i],&w[i]);
scanf("%d%d",&T1,&T2);
for(i=1;i<=n;++i)
for(j=T1;j>=v1[i];--j)
for(k=T2;k>=v2[i];--k)
if(dp[j][k]<(tmp=dp[j-v1[i]][k-v2[i]]+1)){
dp[j][k]=tmp;
ans[j][k]=ans[j-v1[i]][k-v2[i]]+w[i];
}
else if(dp[j][k]==tmp)ans[j][k]=min(ans[j][k],ans[j-v1[i]][k-v2[i]]+w[i]);
printf("%d",ans[T1][T2]);
}
6.【分组背包】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a,i,j,k,T,n,m,f[1010],w[1010],v[1010],id[105][1010];
int main(){
scanf("%d%d",&T,&n);
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&a);
id[a][++id[a][0]]=i;m=max(m,a);
}
for(k=1;k<=m;k++)
for(j=T;j>=0;j--)
for(i=1;i<=id[k][0];i++){
a=id[k][i];
if(j>=v[a])f[j]=max(f[j-v[a]]+w[a],f[j]);
}
printf("%d",f[T]);
return 0;
}
7.【依赖背包】
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int T,n,i,j,a[65],s,t,r1,r2,r[65][3],v[65],w[65],f[32010];
int main(){
scanf("%d%d",&T,&n);
v[0]=0xfffffff;
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d%d",&v[i],&s,&a[i]);
if(a[i])r[a[i]][++r[a[i]][0]]=i;w[i]=v[i]*s;
}
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=T;j>=v[i]&&(!a[i]);j--){
t=j-v[i],r1=r[i][1],r2=r[i][2];
f[j]=max(f[j],f[t]+w[i]);
if(v[r1]<=t)f[j]=max(f[j],f[t-v[r1]]+w[i]+w[r1]);
if(v[r2]<=t)f[j]=max(f[j],f[t-v[r2]]+w[i]+w[r2]);
if(v[r1]+v[r2]<=t)f[j]=max(f[j],f[t-v[r1]-v[r2]]+w[i]+w[r1]+w[r2]);
}
printf("%d",f[T]);
}
8.【多人背包】
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
int ans,T,n,i,j,k,K,a,b,t,re[45],v[210],w[210],f[5010][45];
int main(){
scanf("%d%d%d",&K,&T,&n);
memset(f,-127,sizeof(f));f[0][1]=0;
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=T;j>=v[i];j--){
a=b=1,t=0;
while(t<=K)
if(f[j][a]>=f[j-v[i]][b]+w[i])re[++t]=f[j][a++];
else re[++t]=f[j-v[i]][b++]+w[i];
for(k=1;k<=K;k++)f[j][k]=re[k];
}
for(i=1;i<=K;i++)ans+=f[T][i];
printf("%d",ans);
}
9.【泛化物品】
#define lg long long
lg ans,T,n,i,j,f[100010];
struct QAQ{lg a,b,v;}Q[55];
inline bool cmp(const QAQ &a,const QAQ &b){return a.v*b.b<b.v*a.b;}
int main(){
scanf("%lld%lld",&T,&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&Q[i].a);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&Q[i].b);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&Q[i].v);
std::sort(Q+1,Q+n+1,cmp);
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=T;j>=Q[i].v;j--)
f[j]=std::max(f[j],f[j-Q[i].v]+Q[i].a-j*Q[i].b);
for(i=0;i<=T;i++)ans=std::max(ans,f[i]);
printf("%lld",ans);
return 0;
}
二：【区间DP】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf=1e9;
int ans=inf,ans2=0,n,a[110],f[210][210],g[210][210],s[210];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),s[i]=s[i-1]+a[i];
for(int i=n+1;i<=2*n;i++)s[i]=s[i-1]+a[i-n];
memset(f,-127,sizeof(f)),memset(g,127,sizeof(g));
for(int i=1;i<=2*n;i++)f[i][i]=0,g[i][i]=0;
for(int len=2;len<=n;len++)//枚举区间长度
for(int l=1;l+len-1<=2*n;l++){//枚举区间左端点
int r=l+len-1;
for(int k=l;k<r;k++)//枚举中间点
f[l][r]=max(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]),
g[l][r]=min(g[l][r],g[l][k]+g[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
}
for(int i=1;i<=n;i++)ans=min(ans,g[i][i+n-1]),ans2=max(ans2,f[i][i+n-1]);
printf("%d\n%d\n",ans,ans2);
return 0;
}
三：【状压DP】
(1).放置问题
\(\text{Corn Fields G [P3052]}\)
const int N=15,M=4100,P=1e8;
int n,m,x,V,ans,A[N],dp[N][M];
inline int judge(Re i,Re j){//判断在第i行放j状态是否合法
return (A[i]&j)==j//j是A[i]的子集
&&!(j&j<<1)&&!(j&j>>1);//j里面没有左右相邻的
}
int main(){
in(n),in(m),V=(1<<m)-1;
for(Re i=1;i<=n;++i)
for(Re j=1;j<=m;++j)
in(x),A[i]|=(x<<j-1);
for(Re j=0;j<=V;++j)if(judge(1,j))dp[1][j]=1;
for(Re i=2;i<=n;++i)
for(Re j=0;j<=V;++j)if(judge(i,j))//枚举第i行的状态
for(Re k=0;k<=V;++k)if(judge(i-1,k)&&!(j&k))//枚举第i-1行的状态
(dp[i][j]+=dp[i-1][k])%=P;
for(Re j=0;j<=V;++j)(ans+=dp[n][j])%=P;
printf("%d\n",ans);
}
预处理合法状态：
const int N=15,M=4100,P=1e8;
int n,m,x,V,ans,A[N],zt[N][M],dp[N][M];
int main(){
in(n),in(m),V=(1<<m)-1;
for(Re i=1;i<=n;++i)
for(Re j=1;j<=m;++j)
in(x),A[i]|=(x<<j-1);
for(Re j=0;j<=V;++j)if(!(j&j<<1)&&!(j&j>>1)){//j里面没有左右相邻的
for(Re i=1;i<=n;++i)if((A[i]&j)==j)zt[i][++zt[i][0]]=j;//如果j是A[i]的子集
}
for(Re j=1;j<=zt[1][0];++j)dp[1][j]=1;
for(Re i=2;i<=n;++i)
for(Re j=1;j<=zt[i][0];++j)
for(Re k=1;k<=zt[i-1][0];++k)if(!(zt[i][j]&zt[i-1][k]))
(dp[i][j]+=dp[i-1][k])%=P;
for(Re j=1;j<=zt[n][0];++j)(ans+=dp[n][j])%=P;
printf("%d\n",ans);
}
(3).枚举子集
\(\text{Cows in a Skyscraper G [P3052]}\)
时间复杂度 \(O(3^n)\) 。
const int N=1003,M=262144;
int n,K,V,A[N],cnt[M],f[M];
int main(){
in(n),in(K),V=(1<<n)-1;
for(Re i=1;i<=n;++i)in(A[i]);
f[0]=0;
for(Re j=0;j<=V;++j)
for(Re i=1;i<=n;++i)
if(j&(1<<i-1))cnt[j]+=A[i];
for(Re j=1;j<=V;++j)
for(Re k=j;k;k=(k-1)&j)//枚举j的子集
if(cnt[k]<=K)//新的一组选了k状态
f[j]=min(f[j],f[j-k]+1);
、printf("%d\n",f[V]);
}
四：【树形DP】
(1).【简单树形 DP】
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define Re register int
using namespace std;
const int N=6003;
int x,y,o,n,A[N],fa[N],head[N],f[N][2];
struct QAQ{int next,to;}a[N];
inline void add(int x,int y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
inline void dfs(int x){
f[x][1]=A[x];//初始化
for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next){
dfs(to=a[i].to);
f[x][0]+=max(f[to][0],f[to][1]);
f[x][1]+=f[to][0];
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(Re i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&A[i]);
for(Re i=1;i<n;i++)scanf("%d%d",&x,&y),fa[x]=y,add(y,x);
for(Re i=1;i<=n;i++)
if(!fa[i]){
dfs(i);
printf("%d\n",max(f[i][0],f[i][1]));
return 0;
}
}
(2).【树形依赖背包】
选课 \(\text{[CTSC1997] [P2014]}\)
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=303;
int x,n,o,K,root=0,A[N],size[N],head[N],f[N][N];
struct QAQ{int to,next;}a[N];
inline void add(int x,int y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
inline void dfs(int x){
if(x!=root)f[x][1]=A[x];//非根节点必须选自己
else f[x][0]=0;//根节点自己不能选
size[x]=1;
for(int i=head[x],to;i;i=a[i].next){
dfs(to=a[i].to),size[x]+=size[to];
for(int j=size[x];j;j--)
for(int k=min(j,size[to]);k>=0;k--)
f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]+f[to][k]);
}
if(x!=root)f[x][0]=0;//整个子树都不选的情况
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&K);
memset(f,-63,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&x,&A[i]),add(x,i);
dfs(root);
printf("%d",f[root][K]);
return 0;
}
(3).【换根 DP】
\(\text{Great Cow Gathering G [P2986]}\)
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define Re register int
using namespace std;
const LL N=1e5+3,inf=1e18;
int n,m,x,y,z,o,A[N],S[N],dis[N],size[N],head[N];LL ans=inf,f[N],g[N];
struct QAQ{int w,to,next;}a[N<<1];
inline void add(Re x,Re y,Re z){a[++o].w=z,a[o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}
//dis[x]: x到fa[x]这条边的边权
//S[x]: x子树内（包含x）所有点的点权之和
//size[x]: x子树内（包含x）节点个数
//f[x]: x子树内（不包含x）所有点的 "到x的距离 乘以 自身点权" 之和
//g[x]: x子树外（不包含x）所有点的 "到x的距离 乘以 自身点权" 之和
inline void dfs1(Re x,Re fa){
size[x]=1,S[x]=A[x];
for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)if((to=a[i].to)!=fa)
dis[to]=a[i].w,dfs1(to,x),S[x]+=S[to],size[x]+=size[to],f[x]+=f[to]+(LL)S[to]*a[i].w;
}
inline void dfs2(Re x,Re fa){
if(fa)g[x]=g[fa]+f[fa]-f[x]-(LL)S[x]*dis[x]+(LL)(S[1]-S[x])*dis[x];
for(Re i=head[x],to;i;i=a[i].next)if((to=a[i].to)!=fa)dfs2(to,x);
ans=min(ans,f[x]+g[x]);
}
int main(){
in(n),m=n-1;
for(Re i=1;i<=n;++i)in(A[i]);
while(m--)in(x),in(y),in(z),add(x,y,z),add(y,x,z);
dfs1(1,0),dfs2(1,0),printf("%lld\n",ans);
}
- \(\text{STA-Station [POI2008] [P3478]}\)（更简单的的模板题）
五：【数位DP】
\(\text{Windy}\) 数 \(\text{[SCOI2009] [P2657]}\)
1.【dfs】
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define R register int
using namespace std;
int a,b,l,num[12],dp[12][10];
inline int dfs(int len,int up,int ok){
R i,ed,ans=0;
if(len<1)return 1;
if(!ok&&~dp[len][up]&&up!=-7)return dp[len][up];
ed=ok?num[len]:9;
for(i=0;i<=ed;i++)if(abs(i-up)>=2)
ans+=dfs(len-1,(!i&&up==-7)?up:i,ok&&(i==ed));
if(!ok&&up!=-7)dp[len][up]=ans;
return ans;
}
inline int sovle(int x){
l=0;
while(x)num[++l]=x%10,x/=10;
return dfs(l,-7,1);
}
int main(){
scanf("%d%d",&a,&b);
memset(dp,-1,sizeof(dp));
printf("%d",sovle(b)-sovle(a-1));
}
2.【dp】
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define R register int
using namespace std;
int i,j,k,a,b,l,ans,num[12],dp[12][10];
inline int dpp(int len){
ans=0;
for(i=1;i<len;i++)
for(j=1;j<10;j++)
ans+=dp[i][j];
for(j=1;j<num[len];j++)ans+=dp[len][j];
for(i=len-1;i>0;i--){
for(j=0;j<num[i];j++)
if(abs(num[i+1]-j)>=2)ans+=dp[i][j];
if(abs(num[i]-num[i+1])<2)break;
}
if(!i)ans++;
return ans;
}
inline int sovle(int x){
l=0;
while(x)num[++l]=x%10,x/=10;
return dpp(l);
}
inline int sakura(){
scanf("%d%d",&a,&b);
for(i=0;i<10;i++)dp[1][i]=1;
for(i=2;i<11;i++)
for(j=0;j<10;j++)
for(k=0;k<10;k++)
if(abs(j-k)>=2)
dp[i][j]+=dp[i-1][k];
printf("%d",sovle(b)-sovle(a-1));
}
int QAQWQ=sakura();
int main(){}
六：【DP 的优化】
1.【二分】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int pan[100010],b[100010],f[100010],n,i,a,len=1,l,r,mid;
inline int in(){
int x=0,fh=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();
return x*fh;
}
int main(){
n=in();
for(i=1;i<=n;i++)a=in(),pan[a]=i,f[i]=0xfffffff;
for(i=1;i<=n;i++)a=in(),b[i]=pan[a];
f[1]=b[1];
for(i=2;i<=n;i++){
l=0;r=len;
if(b[i]>f[len])f[++len]=b[i];
else{
while(l<r){
mid=(l+r)/2;
if(f[mid]<b[i])l=mid+1;
else r=mid;
}
f[l]=min(b[i],f[l]);
}
}
printf("%d",len);
}
2.【二进制优化多重背包】
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define Re register int
using namespace std;
const int N=103,M=4e4+3,logN=17;
int m,n,x,y,z,V,ans,v[N*logN],w[N*logN],dp[M];
inline void in(Re &x){
int f=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=f?-x:x;
}
int main(){
in(m),in(V);
for(Re i=1;i<=m;++i){
in(x),in(y),in(z);
for(Re j=1;j<=z;j<<=1)z-=j,w[++n]=x*j,v[n]=y*j;
if(z)w[++n]=x*z,v[n]=y*z;
}
for(Re i=1;i<=n;++i)
for(Re j=V;j>=v[i];--j)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
for(Re j=0;j<=V;++j)ans=max(ans,dp[j]);
printf("%d\n",ans);
}
3.【单调队列优化多重背包】
【模板】 多重背包 \(\text{[CodeVS5429]}\)
#include<cstdio>
#define Re register int
const int N=7003,M=7003;
int n,h,t,V,mp,tmp,v[N],w[N],c[N],Q[N],K[N],dp[M];
inline void in(Re &x){
Re fu=0;x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')fu|=ch=='-',ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
x=fu?-x:x;
}
inline int max(Re a,Re b){return a>b?a:b;}
inline int min(Re a,Re b){return a<b?a:b;}
int main(){
in(n),in(V);
for(Re i=1;i<=n;++i)in(v[i]),in(w[i]),in(c[i]);
for(Re i=1;i<=n;++i)
for(Re r=0;r<v[i];++r){
h=1,t=0,mp=(V-r)/v[i];
for(Re p=0;p<=mp;++p){
tmp=dp[p*v[i]+r]-w[i]*p;
while(h<=t&&Q[t]<=tmp)--t;
Q[++t]=tmp,K[t]=p;
while(h<=t&&p-K[h]>min(c[i],V/v[i]))++h;
dp[p*v[i]+r]=max(dp[p*v[i]+r],Q[h]+p*w[i]);
}
}
printf("%d",dp[V]);
}
4.【矩阵加速递推】
5.【四边形不等式优化】
【模板】 \(\text{Lightning Conductor [POI2011] [P3315]}\)
(1).【分治】
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define Re register int
using namespace std;
const int N=5e5+3;
int i,j,n,h,t,a[N],Q[N],Poi[N];
double tmp,p[N],sqr[N];
inline void in(Re &x){
int f=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=f?-x:x;
}
inline void sakura(Re l,Re r,Re L,Re R){
if(l>r)return;
Re mid=l+r>>1,j0;double mx=0;
for(Re j=L;j<=mid&&j<=R;++j)
//暴力找p[i]的最优决策点j0，而其决策点j必须满足j<=i，即此处的j<=mid
if((tmp=a[j]+sqr[mid-j])>mx)mx=tmp,j0=j;
p[mid]=max(p[mid],mx);
sakura(l,mid-1,L,j0),sakura(mid+1,r,j0,R);
}
int main(){
in(n);
for(Re i=1;i<=n;++i)in(a[i]),sqr[i]=sqrt(i);
sakura(1,n,1,n);
for(Re i=1;i<n-i+1;++i)swap(a[i],a[n-i+1]),swap(p[i],p[n-i+1]);
sakura(1,n,1,n);
for(Re i=n;i;--i)printf("%d\n",(int)ceil(p[i])-a[i]);
}
(2).【二分栈】
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define Re register int
using namespace std;
const int N=5e5+3;
int i,j,n,h,t,a[N],Q[N],Poi[N];
double p[N],sqr[N];
inline void in(Re &x){
int f=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=f?-x:x;
}
inline double Y(Re i,Re j){return a[j]+sqr[i-j];}
inline int find_Poi(int j1,int j2){//找到两个直线的交点i
Re l=j2,r=n,mid,ans=n+1;//为了处理两个直线没有交点的情况，用一个变量记录答案
while(l<=r){
mid=l+r>>1;
if(Y(mid,j1)<=Y(mid,j2))ans=mid,r=mid-1;
//当前这个位置i使得直线j1的纵坐标小于直线j2的纵坐标，说明这个点i在交点的右方，所以右边界要缩小
else l=mid+1;
}
return ans;
}
inline void sakura(){
h=1,t=0;
for(i=1;i<=n;++i){//由于i本身也是一个决策点，所以要先入队再取答案择优
while(h<t&&Poi[t-1]>=find_Poi(Q[t],i))--t;//如果出现了上述可踢的情况，出队
Poi[t]=find_Poi(Q[t],i),Q[++t]=i;
while(h<t&&Poi[h]<=i)++h;
//找到第一个位置j使得直线Q[j]与直线Q[j+1]的交点大于i，
//那么直线Q[j]就是i前面在最上面的直线，即答案，自己画个图模拟一下就懂了
p[i]=max(p[i],Y(i,Q[h]));
}
}
int main(){
in(n);
for(Re i=1;i<=n;++i)in(a[i]),sqr[i]=sqrt(i);
sakura();
for(Re i=1;i<n-i+1;++i)swap(a[i],a[n-i+1]),swap(p[i],p[n-i+1]);
sakura();
for(Re i=n;i;--i)printf("%d\n",(int)ceil(p[i])-a[i]);
}
6.【斜率优化】
(1).【单调队列（x 与 k 均单调）】
【模板】 玩具装箱 \(\text{toy}\) \(\text{[P3195]}\)
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define Re register LL
const int N=5e4+5;
LL i,j,n,L,h=1,t=0,Q[N],S[N],dp[N];
//S[n]=∑C[i]+1, dp[i]=min(dp[j]+(S[i]-(S[j]+L+1))^2)，++L
//dp[i]=S[i]^2-2*S[i]*L+dp[j]+(S[j]+L)^2-2S[i]*S[j]
//(2*S[i]) * S[j] + (dp[i]-S[i]^2+2S[i]L)=(dp[j]+(S[j]+L)^2)
// k * x + b = y
inline LL min(Re a,Re b){return a<b?a:b;}
inline LL X(Re j){return S[j];}
inline LL Y(Re j){return dp[j]+(S[j]+L)*(S[j]+L);}
inline long double slope(Re i,Re j){return (long double)(Y(j)-Y(i))/(X(j)-X(i));}//记得开long double
int main(){
scanf("%lld%lld",&n,&L);++L;
for(i=1;i<=n;S[i]+=S[i-1]+1,++i)scanf("%lld",&S[i]);
Q[++t]=0;//重中之重
for(i=1;i<=n;++i){
while(h<t&&slope(Q[h],Q[h+1])<=2*S[i])++h;//至少要有两个元素 h<t。出队判断时尽量加上等号
dp[i]=dp[j=Q[h]]+(S[i]-S[j]-L)*(S[i]-S[j]-L);
while(h<t&&slope(Q[t-1],Q[t])>=slope(Q[t-1],i))--t;//至少要有两个元素 h<t。入队判断时尽量加上等号
Q[++t]=i;
}
printf("%lld",dp[n]);
}
(2).【二分+单调队列（x 单调 k 不单调）】
【模板】 任务安排 \(\text{[SDOI2012]}\)
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define Re register LL
const int N=3e5+5;
LL i,j,n,h=1,t=0,S,Q[N],ST[N],SF[N],dp[N];
//dp[p][i]=min(dp[p-1][j]+(ST[i]+S*p)*(SF[i]-SF[j]));
//dp[i]=dp[j]+ST[i]*(SF[i]-SF[j])+S*(SF[n]-SF[j]);
//(S+ST[i]) * SF[j] + (dp[i]-ST[i]*SF[i]-S*SF[i]) = (dp[j])
// k * x + b = y
//ti可小于0，所以ST[i]非递增，只可二分
//fi可等于0，所以SF[i](X)非严格递增，因此需要特判X(i)==X(j)的情况
inline LL min(Re a,Re b){return a<b?a:b;}
inline LL X(Re j){return SF[j];}
inline LL Y(Re j){return dp[j];}
inline long double slope(Re i,Re j){return X(j)==X(i)?(Y(j)>=Y(i)?1e18:-1e18):(long double)(Y(j)-Y(i))/(X(j)-X(i));}
//由于需要二分查找，多了一些限制：队列里不能有在同一位置的点,返回inf还是-inf都影响着是否删除重点，平时不可不管，二分必须注意返回值
inline LL sakura(Re k){
if(h==t)return Q[h];
Re l=h,r=t;
while(l<r){
Re mid=l+r>>1,i=Q[mid],j=Q[mid+1];
if(slope(i,j)<k)l=mid+1;
// if( (Y(j) - Y(i)) < k * (X(j) - X(i)) )l=mid+1;//注意是(j)-(i)因为Q[mid+1]>Q[mid]s即j>i即SF[j]>SF[i]即X(j)>X(i)，如果是(i)-(j)的话乘过去要变号
else r=mid;
}
return Q[l];
}
int main(){
scanf("%lld%lld",&n,&S);
for(i=1;i<=n;ST[i]+=ST[i-1],SF[i]+=SF[i-1],++i)scanf("%lld%lld",&ST[i],&SF[i]);
Q[++t]=0;
for(i=1;i<=n;++i){
j=sakura(S+ST[i]);
dp[i]=dp[j]+ST[i]*(SF[i]-SF[j])+S*(SF[n]-SF[j]);
while(h<t&&slope(Q[t-1],Q[t])>=slope(Q[t-1],i))--t;//此处取等号作用出现，如果不取等会WA
Q[++t]=i;
}
printf("%lld",dp[n]);
}
(3).【CDQ（x 与 k 均不单调）】
【模板】 \(\text{Building Bridges [CEOI2017]}\)
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LD long double
#define LL long long
#define Re register int
#define S2(a) (1ll*(a)*(a))
using namespace std;
const LL N=1e5+3,inf=1e18;
int n,H[N],W[N],Q[N];LL S[N],dp[N];
inline void in(Re &x){
int f=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=f?-x:x;
}
//dp[i]=min(dp[i],dp[j]+(H[i]-H[j])*(H[i]-H[j])+S[i-1]-S[j]);
//dp[i]=dp[j]-2*H[i]*H[j]+H[j]*H[j]+H[i]*H[i]+S[i-1]-S[j]
//(2*H[i]) * H[j] + (dp[i]-S[i-1]-H[i]*H[i]) = (dp[j]+H[j]*H[j]-S[j])
// k * x + b = y
#define X(j) (a[j].x)
#define Y(j) (a[j].y)
struct QAQ{
int k,x,id;LL y;
inline bool operator<(const QAQ &O)const{return x!=O.x?x<O.x:y<O.y;}
}a[N],b[N];
inline bool cmp(QAQ A,QAQ B){return A.k<B.k;}
inline LD slope(Re i,Re j){return X(i)==X(j)?(Y(j)>Y(i)?inf:-inf):(LD)(Y(j)-Y(i))/(X(j)-X(i));}
inline void CDQ(Re L,Re R){
if(L==R){Re j=a[L].id;a[L].y=dp[j]+(LL)H[j]*H[j]-S[j];return;}
Re mid=L+R>>1,p1=L,p2=mid+1,h=1,t=0;
for(Re i=L;i<=R;++i)a[i].id<=mid?b[p1++]=a[i]:b[p2++]=a[i];
for(Re i=L;i<=R;++i)a[i]=b[i];
CDQ(L,mid);
for(Re i=L;i<=mid;++i){
while(h<t&&slope(Q[t-1],Q[t])>=slope(Q[t-1],i))--t;
Q[++t]=i;
}
for(Re i=mid+1,j,id;i<=R;++i){
while(h<t&&slope(Q[h],Q[h+1])<=a[i].k)++h;
if(h<=t)id=a[i].id,j=Q[h],dp[id]=min(dp[id],a[j].y-(LL)a[i].k*a[j].x+S[id-1]+(LL)H[id]*H[id]);
}
CDQ(mid+1,R);
Re w=L-1;p1=L,p2=mid+1;
while(p1<=mid&&p2<=R)b[++w]=a[p1]<a[p2]?a[p1++]:a[p2++];
while(p1<=mid)b[++w]=a[p1++];while(p2<=R)b[++w]=a[p2++];
for(Re i=L;i<=R;++i)a[i]=b[i];
}
int main(){
// freopen("123.txt","r",stdin);
in(n);
for(Re i=1;i<=n;++i)in(H[i]);
for(Re i=1;i<=n;++i)in(W[i]);
for(Re i=1;i<=n;++i)S[i]=S[i-1]+W[i],dp[i]=inf;
for(Re i=1;i<=n;++i)a[i].k=(H[i]<<1),a[i].x=H[i],a[i].id=i;
sort(a+1,a+n+1,cmp);
dp[1]=0,CDQ(1,n);
printf("%lld\n",dp[n]);
}
(4).【Splay 维护动态凸包（x 与 k 均不单调）】
七：【插头 DP】
1.【多回路插头 DP】
【模板】 \(\text{Eat the Trees [P5074]}\)
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define Re register int
using namespace std;
const int N=15,M=8192+3;
int n,m,o,V,T,A[N][N];LL dp[2][M];
inline void in(Re &x){
int f=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=f?-x:x;
}
int main(){
// freopen("123.txt","r",stdin);
in(T);
while(T--){
in(n),in(m),V=(1<<m+1)-1;
for(Re i=1;i<=n;++i)
for(Re j=1;j<=m;++j)
in(A[i][j]);
for(Re j=0;j<=V;++j)dp[0][j]=dp[1][j]=0;
dp[o][0]=1;
for(Re i=1;i<=n;++i){
o^=1;
for(Re s=0;s<=V;++s)dp[o][s]=(s&1)?0:dp[o^1][s>>1];//把线拉下来
for(Re j=1;j<=m;++j){
o^=1;
for(Re s=0;s<=V;++s)dp[o][s]=0;
for(Re s=0;s<=V;++s)if(dp[o^1][s]){
Re L=(s>>j-1)&1,U=(s>>j+1-1)&1;
if(A[i][j]){//可以铺线
dp[o][s^(1<<j-1)^(1<<j+1-1)]+=dp[o^1][s];//横和竖和左上拐和右下拐
if(L!=U)dp[o][s]+=dp[o^1][s];//左下拐和右上拐
}
else{//不可以铺线
if(!L&&!U)dp[o][s]+=dp[o^1][s];//无插头才可以转移
}
}
}
}
printf("%lld\n",dp[o][0]);
}
}
2.【单回路插头 DP】
(1).【 括号表示法】
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define Re register int
using namespace std;
const int N=14,M=1594323+3;
int n,m,o,V,edx,edy,Mi[N],A[N][N];LL ans,dp[2][M];char s[N];
inline void in(Re &x){
int f=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=f?-x:x;
}
int main(){
// freopen("123.txt","r",stdin);
in(n),in(m),Mi[0]=1;
for(Re i=1;i<=m+1;++i)Mi[i]=Mi[i-1]*3;V=Mi[m+1]-1;
for(Re i=1;i<=n;++i){
scanf("%s",s+1);
for(Re j=1;j<=m;++j)if(!(A[i][j]=(s[j]=='*')))edx=i,edy=j;
}
// printf("edx=%d, edy=%d\n",edx,edy);
dp[o][0]=1;
for(Re i=1;i<=n;++i){
o^=1;
for(Re s=0;s<=V;++s)dp[o][s]=s%3?0:dp[o^1][s/3];
for(Re j=1;j<=m;++j){
o^=1;
for(Re s=0;s<=V;++s)dp[o][s]=0;
for(Re s=0;s<=V;++s)if(dp[o^1][s]){
Re L=s/Mi[j-1]%3,U=s/Mi[j+1-1]%3;
if(A[i][j]){if(!L&&!U)dp[o][s]+=dp[o^1][s];}
else if(!L&&!U)dp[o][s+Mi[j-1]+2*Mi[j+1-1]]+=dp[o^1][s];
else if(!L&&U)dp[o][s]+=dp[o^1][s],dp[o][s+U*Mi[j-1]-U*Mi[j+1-1]]+=dp[o^1][s];
else if(L&&!U)dp[o][s]+=dp[o^1][s],dp[o][s-L*Mi[j-1]+L*Mi[j+1-1]]+=dp[o^1][s];
else if(L==1&&U==1){
Re cnt=1;
for(Re k=j+2;k<=m;++k){
if(s/Mi[k-1]%3==1)++cnt;
else if(s/Mi[k-1]%3==2)--cnt;
if(!cnt){dp[o][s-Mi[j-1]-Mi[j+1-1]-Mi[k-1]]+=dp[o^1][s];break;}//2变1
}
}
else if(L==2&&U==2){
Re cnt=1;
for(Re k=j-1;k>=1;--k){
if(s/Mi[k-1]%3==1)--cnt;
else if(s/Mi[k-1]%3==2)++cnt;
if(!cnt){dp[o][s-2*Mi[j-1]-2*Mi[j+1-1]+Mi[k-1]]+=dp[o^1][s];break;}//1变2
}
}
else if(L==2&&U==1)dp[o][s-2*Mi[j-1]-Mi[j+1-1]]+=dp[o^1][s];
else if(L==1&&U==2)if(i==edx&&j==edy&&!(s-Mi[j-1]-2*Mi[j+1-1]))ans+=dp[o^1][s];
}
}
}
printf("%lld\n",ans);
}
(2).【括号表示法+优化状态枚举】
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define Re register int
using namespace std;
const int N=14,M=1594323+3;
int n,m,o,V,edx,edy,Mi[N],A[N][N];LL ans,dp[2][M];char s[N];
inline void in(Re &x){
int f=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=f?-x:x;
}
int st[2][M];
inline void add(Re s,LL v){
if(!dp[o][s])st[o][++st[o][0]]=s;
dp[o][s]+=v;
}
inline void CL(){
for(Re i=1;i<=st[o][0];++i)dp[o][st[o][i]]=0;
st[o][0]=0;
}
int main(){
// freopen("123.txt","r",stdin);
in(n),in(m),Mi[0]=1;
for(Re i=1;i<=m+1;++i)Mi[i]=Mi[i-1]*3;V=Mi[m+1]-1;
for(Re i=1;i<=n;++i){
scanf("%s",s+1);
for(Re j=1;j<=m;++j)if(!(A[i][j]=(s[j]=='*')))edx=i,edy=j;
}
// printf("edx=%d, edy=%d\n",edx,edy);
dp[o][st[o][++st[o][0]]=0]=1;
for(Re i=1;i<=n;++i){
o^=1,CL();
for(Re I=1;I<=st[o^1][0];++I)if(st[o^1][I]*3<=V&&dp[o^1][st[o^1][I]])
dp[o][st[o][++st[o][0]]=st[o^1][I]*3]=dp[o^1][st[o^1][I]];
for(Re j=1;j<=m;++j){
o^=1,CL();
for(Re I=1;I<=st[o^1][0];++I)if(dp[o^1][st[o^1][I]]){
Re s=st[o^1][I];LL v=dp[o^1][s];
Re L=s/Mi[j-1]%3,U=s/Mi[j+1-1]%3;
if(A[i][j]){if(!L&&!U)add(s,v);}
else if(!L&&!U)add(s+Mi[j-1]+2*Mi[j+1-1],v);
else if(!L&&U)add(s,v),add(s+U*Mi[j-1]-U*Mi[j+1-1],v);
else if(L&&!U)add(s,v),add(s-L*Mi[j-1]+L*Mi[j+1-1],v);
else if(L==1&&U==1){
Re cnt=1;
for(Re k=j+2;k<=m;++k){
if(s/Mi[k-1]%3==1)++cnt;
else if(s/Mi[k-1]%3==2)--cnt;
if(!cnt){add(s-Mi[j-1]-Mi[j+1-1]-Mi[k-1],v);break;}//2变1
}
}
else if(L==2&&U==2){
Re cnt=1;
for(Re k=j-1;k>=1;--k){
if(s/Mi[k-1]%3==1)--cnt;
else if(s/Mi[k-1]%3==2)++cnt;
if(!cnt){add(s-2*Mi[j-1]-2*Mi[j+1-1]+Mi[k-1],v);break;}//1变2
}
}
else if(L==2&&U==1)add(s-2*Mi[j-1]-Mi[j+1-1],v);
else if(L==1&&U==2)if(i==edx&&j==edy&&!(s-Mi[j-1]-2*Mi[j+1-1]))ans+=v;
}
}
}
printf("%lld\n",ans);
}
