连续信号与系统的频域分析
跟随着笔记罗列一下重点的概念，以及推导一下公式，等到假期我再捡回来详细补充吧...
周期信号的傅里叶级数
准备工作
- 向量正交：\(\boldsymbol{A_1}\cdot\boldsymbol{A_2}=0\)，形成平面空间上的完备正交向量集\(\left\{ \boldsymbol{A_1},\boldsymbol{A_2} \right\}\)，高维向量正交同理可推。
- 在信号空间中找到完备的、相互正交的信号——基本信号，使得信号空间中的任意信号均可以表示成正交基本信号的线性组合。
- 内积：\(\def\d{\mathrm{d}}\)
\[<\varphi_1,\varphi_2>=\int_{t_1}^{t_2}\varphi_1(t)\varphi_2^*(t)\d t
\]
其中\(\varphi_2^*(t)\)为共轭复变函数。
\[<\varphi_i,\varphi_j>=
\begin{cases}
\displaystyle{\int_{t_1}^{t_2}}\varphi_i(t)\varphi_j^*(t)\d t=0,\quad i\neq j\\
常数,\quad i =j
\end{cases}
\]
常用的完备正交函数集
- 三角函数集：在区间\((t_0,t_0+T_0)\)内周期为\(T_0\)的三角函数集\(\left\{ \sin m\omega_0t,\cos n\omega_0t \right\},\,\,(m,n=0,1,2,\cdots)\)
\[\int_{t_0}^{t_0+T_0}\sin m\omega_0t\sin n\omega_0t\d t=
\begin{cases}
0,\quad &m\neq n,m=n=0\\
\displaystyle{\frac{T_0}{2}}\quad &m=n\neq 0
\end{cases}
\]
\[\int_{t_0}^{t_0+T_0}\cos m\omega_0t\cos n\omega_0t\d t=
\begin{cases}
0,\quad &m\neq n\\
\displaystyle{\frac{T_0}{2}},\quad &m=n\neq 0\\
T_0\quad &m=n=0
\end{cases}
\]
\[\int_{t_0}^{t_0+T_0}\sin m\omega_0t\cos n\omega_0 t\d t=0
\]
- 虚指数函数集：在区间\((t_0,t_0+T_0)\)内，虚指数函数集\(\left\{ \mathrm{e}^{jn\omega_0t} \right\},(n=0,\pm1,\pm2,\cdots)\)
\[\int_{t_0}^{t_0+T_0}\mathrm{e}^{jm\omega_0t}(\mathrm{e}^{jn\omega_0t})^*\d t=\int_{t_0}^{t_0+T_0}\mathrm{e}^{jm\omega_0t}\mathrm{e}^{-jn\omega_0t}=
\begin{cases}
0,\quad&m\neq n\\
T_0\quad&m=n
\end{cases}
\]
周期信号的傅里叶级数
- 三角形式的傅里叶级数：定义在区间\((t_0,t_0+T_0)\)上的周期信号\(x(t)=x(t+mt_0)\)，当满足狄利克雷条件时，可以在\((t_0,t_0+T_0)\)区间用完备正交三角函数集的线性组合精确描述。
\[x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos n\omega_0t+b_n\sin n\omega_0t),\quad n\in N_+
\]
其中
\[a_0=\frac{1}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)\d t
\]
\[a_n=\frac{2}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)\cos n\omega_0t\d t
\]
\[b_n=\frac{2}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)\sin n\omega_0t\d t
\]
这里补充一下狄利克雷条件，在一个周期内满足：
(1) 有有限个间断点；
(2) 有有限个极值点
(3) 信号是有界的，即信号函数绝对可积。
- 余弦函数形式：将三角形式的傅里叶级数进行进一步整合
\[\begin{align*}
x(t)&=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos n\omega_0t+b_n\sin n\omega_0t)\\
&=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{a_n^2+b_n^2}(\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}\cos n\omega_0t+\frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}\sin n\omega_0t)\\
&=C_0+\sum_{n=1}^{\infty}C_n\cos(n\omega_0+\varphi_n)
\end{align*}
\]
其中
\[C_0=a_0,\quad C_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},\quad \varphi_n=-\mathrm{arctan}\frac{b_n}{a_n}
\]
还有
\[a_n=C_n\cos\varphi_n,\quad b_n=C_n\sin\varphi_n
\]
- 指数形式的傅里叶级数：在区间\((t_0,t_0+T_0)\)内用完备正交指数函数集的线性组合精确表示：
\[x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\mathrm{e}^{jn\omega_0t}
\]
正交投影系数：
\[F_0=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)\d t
\]
\[F_n=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)\mathrm{e}^{-jn\omega_0t}\d t
\]
借助欧拉公式，\(\cos n\omega_0t=\displaystyle{\frac{\mathrm{e}^{jn\omega_0t}+\mathrm{e}^{-jn\omega_0t}}{2}}\)，\(\sin n\omega_0t=\displaystyle{\frac{\mathrm{e}^{jn\omega_0t}-\mathrm{e}^{-jn\omega_0t}}{2}}\)
\[\begin{align*}
x(t)&=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos n\omega_0t+b_n\sin n\omega_0t)\\
&=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\displaystyle{\frac{\mathrm{e}^{jn\omega_0t}+\mathrm{e}^{-jn\omega_0t}}{2}}+b_n\displaystyle{\frac{\mathrm{e}^{jn\omega_0t}-\mathrm{e}^{-jn\omega_0t}}{2}})\\
&=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle{\frac{a_n-jb_n}{2}\mathrm{e}^{jn\omega_0t}+\frac{a_n+jb_n}{2}\mathrm{e}^{-jn\omega_0t}}
\end{align*}
\]
令\(F_n=\displaystyle{\frac{a_n-jb_n}{2}}\)，则根据奇偶性，\(F_{-n}=\displaystyle{\frac{a_n+jb_n}{2}}\)
\[\begin{align*}
x(t)&=F_0+\sum_{n=1}^{\infty}(F_n\mathrm{e}^{jn\omega_0t}+F_{-n}\mathrm{e}^{j(-n)\omega_0t})\\
&=\sum_{-\infty}^{+\infty}F_n\mathrm{e}^{jn\omega_0t}
\end{align*}
\]
变形欧拉公式，\(\mathrm{e}^{jn\omega_0t}=\cos n\omega_0t+j\sin n\omega_0t\)，\(\mathrm{e}^{-jn\omega_0t}=\cos n\omega_0t-j\sin n\omega_0t\)，有
\[\begin{align*}
F_n=\displaystyle{\frac{a_n-jb_n}{2}}&=\frac{1}{2}[\frac{2}{T_0}\int_{T_0}x(t)(\cos n\omega_0t-j\sin n\omega_0t)\d t]\\
&=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)\mathrm{e}^{-jn\omega_0t}\d t
\end{align*}
\]
(当\(n=0\)，有\(F_0=\displaystyle{\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)\d t=a_0}\))
一般情况下\(F_n\)为复数，相应的频谱亦称为复数频谱，可以用极坐标来表示：
\[F_n=|F_n|\mathrm{e}^{j\varphi_n}
\]
将\(a_n=C_n\cos\varphi_n\)，\(b_n=-C_n\sin\varphi_n\)代入\(F_n=\displaystyle{\frac{a_n-jb_n}{2}}\)得
\[F_n=\frac{1}{2}C_n(\cos\varphi_n+j\sin\varphi_n)=\frac{1}{2}C_n\mathrm{e}^{j\varphi_n}
\]
所以
\[|F_n|=\frac{1}{2}C_n=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2},\quad(n\neq0)
\]
即除直流分量\(F_0=a_n\)外，双边幅度谱各次谐波的谱线长度\(|F_n|\)是单边幅度谱对应次谐波长度的一半！
我们也能发现
\[\varphi_n=-\mathrm{arctan}\frac{b_n}{a_n}=\mathrm{arctan}\frac{b_{-n}}{a_{-n}}=-\varphi_{-n}
\]
即\(|F_n|\)是谐波次数为\(n\)的偶函数，\(\varphi_n\)是谐波次数为\(n\)的奇函数。
我们把这种时域与频域的对应关系，记作
\[x(t) \leftrightarrow F_n
\]
信号的对称性与傅里叶级数之间的关系
如果信号中包含直流分量，可以单独先计算信号的直流分量，去掉直流分量之后，再考虑信号的奇偶性（和对称性）。
- 偶函数：若\(x(t)=x(-t)\)，由偶函数的性质可求得傅里叶系数的计算公式：
\[a_n=\frac{4}{T_0}\int_{0}^{\frac{T_0}{2}}x(t)\cos n\omega_0t\d t
\]
\[b_n=0
\]
\[F_n=\frac{a_n}{2}
\]
-
若\(x(-t)=-x(t)\)，由奇函数的性质可求得：
\[a_n=0
\]
\[b_n=\frac{4}{T_0}\int_{0}^{\frac{T_0}{2}}x(t)\sin n\omega_0t\d t
\]
\[F_n=\frac{jb_n}{2}
\]
-
奇谐函数：若沿横轴平移半个周期后，与后半周期原波形关于横轴对称（半周期一反向），即
\[x(t)=-x(t\pm \frac{T_0}{2})
\]
有：奇谐函数的偶次谐波分量系数为零。
- 偶谐函数
偶谐函数的周期为\(\frac{T_0}{2}\)，直接是一个新周期的函数啊喂...
偶谐函数的奇次谐波系数为零。
傅里叶级数的性质
- 线性性质：
\[ax_1(t)+bx_2(t) \leftrightarrow aF_{1n}+bF_{2n}
\]
- 时移性质：
\[x(t-t_0)\leftrightarrow F_ne^{-jn\omega_0t_0}
\]
即信号时移\(t_0\)，其频谱的相位增加\(n\omega_0t_0\)位移。
证明：设\(x(t-t_0)\leftrightarrow F_{nn}\)，则
\[F_{nn}=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t-t_0)\mathrm{e}^{-jn\omega_0t}\d t
\]
设\(s=t-t_0\)
\[F_{nn}=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(s)\mathrm{e}^{-jn\omega_0(s+t_0)}\d t=\mathrm{e}^{-jn\omega_0t_0}F_n
\]
证毕。
- 微分性质：
\[x^{\prime}(t) \leftrightarrow jn\omega_0F_n
\]
证明：
因为
\[x(t)=\sum_{n=1}^{\infty}F_{n}\mathrm{e}^{jn\omega_0t}
\]
对上式两边求导，得到
\[x^{\prime}(t)=jn\omega_0\sum_{n=1}^{\infty}F_{n}\mathrm{e}^{jn\omega_0t}
\]
证毕。
-
卷积性质
- 时域卷积定理：如果\(x_1(t)\)、\(x_2(t)\)为周期\(T_0\)相同的周期信号，则
\[x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow T_0F_{1n}F_{2n}
\]
即时域卷积，频域相乘。
证明：
\[\begin{align*}
x_1(t)*x_2(t)&=\int_{T_0}x_1(\tau)x_2(t-\tau)\d \tau=\int_{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{1n}\mathrm{e}^{jn\omega_0\tau}x_2(t-\tau)\d\tau\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\mathrm{jn\omega_0t}T_0\cdot\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x_2(t-\tau)\mathrm{e}^{-jn\omega_0(t-\tau)}\d\tau\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}T_0F_{1n}F_{2n}\mathrm{e}^{jn\omega_ot}
\end{align*}
\]
证毕。
- 频域卷积定理：如果\(x_1(t)\)、\(x_2(t)\)为周期\(T_0\)相同的周期信号，则
\[x_1(t)x_2(t)\leftrightarrow F_{1n}*F_{2n}
\]
即时域相乘，频域卷积。
-
周期信号的平均功率（帕塞瓦尔定理）：将周期信号在单位电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率，有
\[\begin{align*}
P=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2\d t&=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}[C_0+\sum_{n=1}^{\infty}C_n\cos n\omega_0t]\d t\\
&=C_0^2+\frac{1}{T_0}C_n^2\frac{T_0}{2}\\
&=C_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{C_n}{\sqrt{2}})^2\\
&=a_0^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|F_n|^2
\end{align*}
\]
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
已知周期信号的傅里叶级数展开式和周期信号的频谱为：
\[x_{T_0}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\mathrm{e}^{jn\omega_0t}
\]
\[F_n=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}x_{\frac{T_0}{2}}(t)\mathrm{e}^{-jn\omega_0t}\d t
\]
复数频谱\(F_n\)是离散谱，谱线间隔为\(\omega_0\).当周期信号的周期\(T_0\)增大时，谱线间隔\(\omega_0\)减少，离散谱线变得更加稠密，同时振幅\(F_n\)减少。
而非周期信号可以看作是周期为\(T_0\)趋于无穷大时的周期信号。即
\[x(t)=\lim_{T_0\to\infty}x_{T_0}(t)
\]
当周期为\(T_0\)趋于无穷大时，谱线间隔\(\omega_0\)趋于无穷小，周期信号当离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱，各频率的分量的幅度\(F_n\)趋于无穷小。
\[X(\omega)=\lim_{T_0\to\infty}\frac{F_n}{\frac{1}{T_0}}=\lim_{T_0\to\infty}\frac{F_n}{f_0}
\]
表示单位频率上的振幅大小。
\[\begin{align*}
X(\omega)&=\lim_{T_0\to\infty}\frac{F_n}{\frac{1}{T_0}}=\lim_{T_0\to\infty}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}x(t)\mathrm{e}^{-jn\omega_0t}\d t\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\mathrm{e}^{-j\omega t}\d t
\end{align*}
\]
既然非周期信号可以看作是周期为\(T_0\)趋于无穷大时的周期信号，那么
\[\lim_{T_0\to\infty}x_{T_0}(t)=\lim_{T_0\to\infty}F_n\mathrm{e}^{jn\omega_0t}=\lim_{T_0\to\infty}\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{F_n}{\frac{1}{T_0}}\mathrm{e}^{jn\omega_0t}
\]
由于\(\displaystyle{\frac{1}{T_0}=\frac{\omega}{2\pi}}\)，当\(T_0\to\infty\)时，\(\omega_0\)趋于无穷小，用\(\d \omega\)表示，离散频率\(n\omega_0\)变为连续频率\(\omega\)，累加和趋于积分，得到
\[x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\mathrm{e}^{j\omega t}\d \omega
\]
典型非周期信号频谱
- 单位冲激信号：
\[\begin{align*}
\mathscr{F}[\delta(t)]&=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\mathrm{e}^{-j\omega t}\d t\\
&=\mathrm{e}^{-j\omega t}|_{t=0}\\
&=1
\end{align*}
\]
即
\[\delta(t)\leftrightarrow1
\]
冲激信号的带宽无限大。
- 门函数：
\[G_{\tau}(t)=
\begin{cases}
1,\quad&|t|<\frac{\tau}{2}\\
0,\quad&|t|>\frac{\tau}{2}
\end{cases}
\]
\[\begin{align*}
\mathscr{F}[G_\tau(t)]&=\int_{-\infty}^{\infty}G_{\tau}(t)\mathrm{e}^{-j\omega t}\d t\\
&=\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\mathrm{e}^{-j\omega t}\d t\\
&=\frac{1}{j\omega}(\mathrm{e}^{\frac{j\omega\tau}{2}}-\mathrm{e}^{-\frac{j\omega\tau}{2}})\\
&=\frac{2}{\omega}\sin\frac{\omega\tau}{2}\\
&=\tau\mathrm{Sa}(\frac{\omega\tau}{2})
\end{align*}
\]
即
\[G_\tau(t)\leftrightarrow\tau\mathrm{Sa}(\frac{\omega\tau}{2})
\]
- 单边指数信号：
\[x(t)=\begin{cases}
\displaystyle{\mathrm{e}^{-\alpha t}},\quad &t>0,\alpha>0\\
0,& t<0
\end{cases}
\quad=\mathrm{e}^{-\alpha t}\mathrm{u}(t)
\]
\[\begin{align*}
X(\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\mathrm{e}^{-j\omega t}\d t\\
&=\int_{0}^\infty \mathrm{e}^{-\alpha t}\mathrm{e}^{-j\omega t}\d t\\
&=\frac{1}{\alpha+j\omega}
\end{align*}
\]
即
\[\mathrm{e}^{-\alpha t}\mathrm{u}(t)\leftrightarrow\frac{1}{\alpha+j\omega}
\]
- 双边指数信号：
\[x(t)=\mathrm{e}^{-\alpha|t|},\quad(-\infty<t<\infty,\alpha>0)
\]
\[\begin{align*}
\mathscr{F}[\mathrm{e}^{-\alpha|t|}]&=\mathscr{F}[\mathrm{e}^{-\alpha t}\mathrm{u}(t)+\mathrm{e}^{\alpha t}\mathrm{u}(-t)]\\
&=\frac{1}{\alpha+j\omega}+\int_{-\infty}^{0}\mathrm{e}^{\alpha t}\mathrm{e}^{-j\omega t}\d t\\
&=\frac{1}{\alpha+j\omega}+\frac{1}{\alpha-j\omega}\\
&=\frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2}
\end{align*}
\]
即
\[\mathrm{e}^{-\alpha|t|}\leftrightarrow\frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2}=\frac{1}{\alpha+j\omega}+\frac{1}{\alpha-j\omega}
\]
- 符号函数：
\[\mathrm{sgn}(t)=\begin{cases}
1,\quad &t>0\\
-1,\quad &t<0
\end{cases}
\]
显然此信号不满足绝对可积德条件，但其实仍然存在傅里叶变换。这是因为满足绝对可积是傅里叶变换存在的充分条件而不是必要条件，可用构造函数求极限的方法来求得符号函数的傅里叶变换。
\[\mathrm{sgn}(t)=\lim_{\alpha\to0}[\mathrm{e}^{-\alpha t}\mathrm{u}(t)-\mathrm{e}^{\alpha t}\mathrm{u}(-t)],\quad \alpha>0
\]
\[\begin{align*}
\mathscr{F}\left\{ \lim_{\alpha\to0}[\mathrm{e}^{-\alpha t}\mathrm{u}(t)-\mathrm{e}^{\alpha t}\mathrm{u}(-t)] \right\}&=\lim_{\alpha\to\infty}(\frac{1}{\alpha+j\omega}-\frac{1}{\alpha-j\omega}) \\
&=\frac{2}{j\omega}
\end{align*}
\]
即
\[\mathrm{sgn}(t)\leftrightarrow\frac{2}{j\omega}
\]
- 直流信号：
\[x(t)=1,\quad-\infty<t<\infty
\]
不满足绝对可积德条件，可引入参变量，再用求极限的方式求得其傅里叶变换。
\[\begin{align*}
\mathscr{F}[1]&=\lim_{\tau\to\infty}\mathrm{e}^{-j\omega t}\d t\\
&=\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{j\omega}(\mathrm{e}^{j\omega \tau}-\mathrm{e}^{-j\omega \tau})\\
&=\lim_{\tau\to\infty}\frac{2}{\omega}\sin(\omega\tau)\\
&=2\pi\lim_{\tau\to\infty}\frac{\tau}{\pi}\mathrm{Sa}(\omega \tau)
\end{align*}
\]
即
\[1\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)
\]
- 冲激偶函数：
\[\begin{align*}
\mathscr{F}[\delta^{\prime}(t)]&=\int_{-\infty}^{\infty}\delta^{\prime}(t)\mathrm{e}^{-j\omega t}\d t\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}-(\mathrm{e}^{-j\omega t})^{\prime}|_{t=0}\d t\\
&=j\omega
\end{align*}
\]
即
\[\delta^{\prime}(t)\leftrightarrow j\omega
\]
可推广至\(n\)阶:
\[\delta^{(n)}(t)\leftrightarrow(j\omega)^{n}
\]
\[t^n\leftrightarrow j^n 2\pi\delta^{(n)}(\omega)
\]
- 单位阶跃信号：
\[\mathrm{u}(t)=\begin{cases}
1,\quad&t>0\\
0,\quad&t<0
\end{cases}
\]
单位阶跃信号\(\mathrm{u}(t)\)是非奇非偶函数，且不满足绝对可积条件，我们可以利用信号的奇偶分量分解：
\[\mathrm{u}_e(t)=\frac{\mathrm{u}(t)+\mathrm{u}(-t)}{2}=\frac{1}{2}
\]
\[\mathrm{u}_{o}(t)=\frac{\mathrm{u}(t)-\mathrm{u}(-t)}{2}=\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(t)
\]
\[\mathrm{u}(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(t)
\]
所以
\[\mathscr{F}[\mathrm{u}(t)]=\mathscr{F}[\frac{1}{2}]+\mathscr{F}[\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(t)]=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}
\]
即
\[\mathrm{u}(t)\leftrightarrow\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}
\]
傅里叶变换的性质
- 线性性质：若\(x_i(t)\leftrightarrow X_i(\omega)\)，则\(\mathscr{F}[\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_ix_i(n)]=\sum_{i=1}^{n}a_iX_i(\omega)}\)
- 对称性：若\(x(t)\leftrightarrow X(\omega)\)，则\(X(t)\leftrightarrow 2\pi x(-\omega)\)
- 尺度变换：若\(x(t)\leftrightarrow X(\omega)\)，则\(x(\alpha t)=\displaystyle{\frac{1}{|\alpha|}X(\frac{\omega}{\alpha})}\)
证明：
\[\mathscr{F}[x(\alpha t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x(\alpha t)\mathrm{e}^{-j\omega t}\d t
\]
令\(s=\alpha t\)，当\(\alpha>0\)时
\[\mathscr{F}[x(\alpha t)]=\frac{1}{\alpha}\int_{-\infty}^{\infty}x(s)\mathrm{e}^{-j\frac{s}{\alpha}\omega}\d s=\frac{1}{\alpha}X(\frac{\omega}{s})
\]
当\(\alpha<0\)时
\[\mathscr{F}[x(\alpha t)]=\frac{1}{\alpha}\int_{-\infty}^{\infty}x(s)\mathrm{e}^{-j\frac{s}{\alpha}\omega}\d s=-\frac{1}{\alpha}\int_{-\infty}^{\infty}x(s)\mathrm{e}^{-j\omega\frac{s}{\alpha}\d s}=-\frac{1}{\alpha}X(\frac{\omega}{\alpha})
\]
因此
\[\mathscr{F}[x(\alpha t)]=\frac{1}{|\alpha|}X(\frac{\omega}{\alpha})
\]
特别的，当\(\alpha=-1\)时
\[\mathscr{F}[x(-t)]=X(-\omega)
\]
- 奇偶虚实性：
\(x(t)\)实偶函数\(\leftrightarrow\)\(X(\omega)\)实偶函数
\(x(t)\)实奇函数\(\leftrightarrow\)\(X(\omega)\)虚奇函数
\(x(t)\)虚偶函数\(\leftrightarrow\)\(X(\omega)\)虚偶函数
\(x(t)\)虚奇函数\(\leftrightarrow\)\(X(\omega)\)实奇函数
- 时移：若\(x(t)\leftrightarrow X(\omega)\)，则\(x(t-t_0)\leftrightarrow X(\omega)\mathrm{e}^{-j\omega t_0}\)
证明：
\[\mathscr{F}[x(t-t_0)]=\int_{-\infty}^{\infty}x(t-t_0)\mathrm{e}^{-j\omega t}\d t
\]
令\(\tau=t-t_0\)
\[\mathscr{F}[x(t-t_0)]=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\mathrm{e}^{-j\omega\tau}\mathrm{e}^{-j\omega t_0}\d \tau=\mathrm{e}^{-j\omega t_0}X(\omega)
\]
即
\[x(t-t_0)\leftrightarrow X(\omega)\mathrm{e}^{-j\omega t_0}
\]
同理
\[x(t+t_0)\leftrightarrow X(\omega)\mathrm{e}^{j\omega t_0}
\]
- 频移特性：若\(x(t)\leftrightarrow X(\omega)\)，则\(x(t)\mathrm{e}^{j\omega_0t}\leftrightarrow X(\omega-\omega_0)\)
证明：
\[\mathscr{F}[x(t)\mathrm{e}^{j\omega_0t}]=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\mathrm{e}^{j\omega_0t}\mathrm{e}^{-j\omega t}\d t=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\mathrm{e}^{-j(\omega-\omega_0)t}\d t=X(\omega-\omega_0)
\]
同理：
\[\mathscr{F}[x(t)\mathrm{e}^{-j\omega_0t}]=X(\omega+\omega_0)
\]
容易记反... ...
-
微分特性：
-
时域微分特性：若\(x(t)\leftrightarrow X(\omega)\)，则
\[\mathscr{F}[\frac{\d x(t)}{\d t}]=j\omega X(\omega)
\]
\[\mathscr{F}[\frac{\d^{n}x(t)}{\d t^n}]=(j\omega)^nX(\omega)
\]
证明：
\[x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\mathrm{e}^{j\omega t}\d \omega
\]
两边对\(t\)求导：
\[\frac{\d x(t)}{\d t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)(j\omega)\mathrm{e}^{j\omega t}\d \omega
\]
证毕。
时域微分转换到频域表现为频谱正比于频率\(\omega\)，可见微分特性可以增强信号中的高频成分，同时产生\(\displaystyle{\frac{1}{2\pi}}\)的附加相位移动。而高频分量主要影响波形的跳边沿，体现波形的细节，所以时域微分特性具有边缘增强或锐化作用。
-
频域微分特性：若\(x(t)\leftrightarrow X(\omega)\)，则
\[(-jt)x(t)\leftrightarrow \frac{\d X(\omega)}{\d \omega}
\]
\[(-jt)^nx(t)\leftrightarrow X^{(n)}(\omega)
\]
-
卷积性质:
-
时域卷积定理：若两个信号\(x_1(t)\)和\(x_2(t)\)，设\(x_1(t)\leftrightarrow X_1(\omega)\)，\(x_2(t)\leftrightarrow X_2(\omega)\)，则
\[\mathscr{F}[x_1(t)*x_2(t)]=X_1(\omega)X_2(\omega)
\]
证明：因为
\[x_1(t)*x_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)x_2(t-\tau)\d\tau
\]
因此
\[\begin{align*}
\mathscr{F}[x_1(t)*x_2(t)]&=\int_{-\infty}^\infty [\int_{-\infty}^\infty x_1(\tau)x_2(t-\tau)\d\tau]\cdot \mathrm{e}^{-j\omega t}\d t\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)[\int_{-\infty}^{\infty}x_2(t-\tau)\mathrm{e}^{-j\omega t}\d t]\d\tau\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)X_2(\omega)\mathrm{e}^{-j\omega \tau}\d\tau\\
&=X_1(\omega)X_2(\omega)
\end{align*}
\]
即时域卷积，频域相乘。
-
频域卷积定理：若两个信号\(x_1(t)\)和\(x_2(t)\)，设\(x_1(t)\leftrightarrow X_1(\omega)\)，\(x_2(t)\leftrightarrow X_2(\omega)\)，则
\[\mathscr{F}[x_1(t)\cdot x_2(t)]=\frac{1}{2\pi}X_1(\omega)*X_2(\omega)
\]
即时域相乘，频域卷积后\(\displaystyle{\frac{1}{2\pi}}\)倍。
- 时域积分：若\(x(t)\leftrightarrow X(\omega)\)，且\(\displaystyle{\mathscr{F}[\int_{-\infty}^t x(\tau)\d \tau]}\)，则
\[\mathscr{F}[\int_{-\infty}^t x(\tau)\d\tau]=\pi X(0)\delta(\omega)+\frac{X(\omega)}{j\omega}
\]
证明：由\(\displaystyle{\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\d \tau = x(t)*\mathrm{u}(t)}\)，根据卷积定理：
\[\mathscr{F}[\int_{-\infty}^tx(\tau)\d\tau]=X(\omega)[\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega)]=X(\omega)\frac{1}{j\omega}+\pi X(0)\delta(\omega)
\]
讨论：(1)当\(\displaystyle{X(\omega)|_{\omega=0}=\int_{-\infty}^\infty}x(t)\mathrm{e}^{-j\omega t}\d t|_{\omega=0}=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\d t=X(0)=0\)，即\(x(t)\)不包含直流分量时：
\[\mathscr{F}[\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\d\tau]=\frac{1}{j\omega}X(\omega)
\]
(2)应用微积分性质求得傅里叶变换时，要注意\(x(-\infty)\)是否为零，或\(x(t)\)是否包含直流分量，因为
\[\int_{-\infty}^t x^{\prime}(\tau)\d\tau=x(t)-x(-\infty)
\]
即
\[x(t)=\int_{-\infty}^t x^{\prime}(\tau)\d\tau+x(-\infty)
\]
等式两边取得傅里叶变换，并设\(x(t)\leftrightarrow \Phi(\omega)\)，则
\[X(\omega)=\pi\Phi(0)\delta(\omega)+\frac{\Phi(\omega)}{j\omega}+2\pi x(-\infty)\delta(\omega)
\]
即
\[X(\omega)=\pi[\Phi(0)+2x(-\infty)]\delta(\omega)+\frac{\Phi(\omega)}{j\omega}
\]
显然只有当\(x(-\infty)=0\)时中间项才可以消去。
- 帕塞瓦尔定理：若\(x(t)\leftrightarrow X(\omega)\)，则：
\[\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\d t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(\omega)|^2\d \omega
\]
证明：
\[\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\d t=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^*(t) \d t
\]
将\(x(t)\)运用傅里叶反变换表达式展开，并更换运算顺序，有：
\[\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty}|x(t) |^2\d t &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\mathrm{e}^{j\omega t}\d\omega\,\,x^*(t)\d t\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)\mathrm{e}^{j\omega t}\d t\d\omega\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)[\int_{-\infty}^\infty x(t)\mathrm{e}^{-j\omega t}\d t]^*\d\omega\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)X^*(\omega)\d\omega\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty |X(\omega) |^2\d\omega
\end{align*}
\]
连续系统的傅里叶分析方法
- 零状态响应：\(y_{zs}(t)=x(t)*h(t)\)，进行傅里叶变换，根据时域卷积定理：
\[Y(\omega)=X(\omega)H(\omega)
\]
即
\[H(\omega)=\frac{Y(\omega)}{X(\omega)}
\]
称\(H(\omega)\)为线性时不变系统的频率响应，或系统频响函数。
\[H(\omega)=|H(\omega)|\mathrm{e}^{j\varphi(\omega)}
\]
称\(|H(\omega)|\)为系统的幅频特性，\(\varphi(\omega)\)称为系统的相位特性。
周期信号激励下的系统响应
根据本征函数，当激励\(x(t)=\mathrm{e}^{j\omega_0t}(-\infty<t<\infty)\)作用于LTI系统时，系统的零状态响应为
\[y_{zs}(t)=\mathrm{e}^{j\omega_0t}H(\omega_0)
\]
- 输入信号\(x(t)=\mathrm{e}^{j\omega_0t}(-\infty<t<\infty)\)经过线性系统的稳定响应。
\[x(t)=\mathrm{e}^{j\omega_0t}\leftrightarrow X(\omega)=2\pi\delta(\omega-\omega_0)
\]
\[Y(\omega)=X(\omega)H(\omega)=2\pi\delta(\omega-\omega_0)H(\omega)=2\pi\delta(\omega-\omega_0)H(\omega_0)
\]
因此
\[y_{zs}(t)=\mathscr{F}^{-1}[Y(\omega)]=H(\omega_0)\mathrm{e}^{j\omega_0 t}
\]
结论：一个持续时间为\((-\infty,\infty)\)的复指数信号作用于线性时不变系统时，其输出的零状态响应，即稳态响应，仍为同频率的复指数信号，不同的是响应比激励多了一个复数\(H(\omega_0)\),因此可以说，系统频率响应（系统频响函数）\(H(\omega)\)是对\(\mathrm{e}^{j\omega_0t}\)的一个加权函数。
- 余弦信号的稳态响应：\(x(t)=\cos \omega_0t(-\infty<t<\infty)\)
为了方便，直接利用复指数信号经过线性系统稳态响应的结论展开讨论。由欧拉公式
\[x(t)=\cos \omega_0t=\frac{\mathrm{e}^{j\omega_0t}+\mathrm{e}^{-j\omega_0t}}{2}
\]
可求得
\[y(t)=\frac{1}{2}[H(\omega_0)\mathrm{e}^{j\omega_0t}+H(-\omega_0)\mathrm{e}^{-j\omega_0t}]
\]
\(H(\omega_0)\)、\(H(-\omega_0)\)是复数，用极坐标表示上式为：
\[y(t)=\frac{1}{2}[|H(\omega_0) |\mathrm{e}^{j\varphi(\omega_0)}\mathrm{e}^{j\omega_0t}+|H(-\omega_0)|\mathrm{e}^{j\varphi(-\omega_0)}\mathrm{e}^{-j\omega_0t}
\]
因为
\[|H(\omega_0)|=|H(-\omega_0)|\quad,\quad\varphi(\omega_0)=-\varphi(-\omega_0)
\]
故有
\[\begin{align*}
y(t)&=\frac{1}{2}|H(\omega_0)|\left\{ \mathrm{e}^{j[\omega_0 t+\varphi(\omega_0)]}+\mathrm{e}^{-{j[\omega_0 t+\varphi(\omega_0)]}} \right\}\\
&=|H(\omega_0)||\cos (\omega_0t+\varphi(\omega_0)) |
\end{align*}
\]
结论：频率为\(\omega_0\)的正弦或余弦信号经过线性时不变系统，其稳态响应也是正弦或余弦周期信号，不过幅度被\(|H(\omega_0) |\)加权，并产生\(\varphi(\omega_0)\)的附加相移。这就进一步说明了\(H(\omega)\)的物理意义：幅频特性\(|H(\omega)|\)就是对激励每一步频率分量的幅度进行加权的函数；相位特性\(\varphi(\omega)\)就是对激励每一分量产生相应相移的函数。
综上：可以归纳出一般周期信号经过线性系统的稳态响应。若周期信号用余弦形式的傅里叶级数表示，则：
\[x(t)=C_0+\sum_{n=1}^\infty C_n\cos(n\omega_0+\varphi_n)
\]
那么系统的稳态响应为：
\[y(t)=C_0H(0)+\sum_{n=1}^\infty C_n|H(n\omega_0)|\cos\,[n\omega_0t+\varphi_n+\varphi(n\omega_0)]
\]
若周期信号用指数形式傅里叶级数表示，即
\[x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\mathrm{e}^{jn\omega_0t}
\]
那么系统的稳态响应为：
\[y(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_nH(n\omega_0)\mathrm{e}^{jn\omega_0t}
\]
非周期信号激励下的系统响应
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