信号与系统学习笔记（一）信号与系统的基本概念

信号与系统的基本概念

信号的分类

信号，顾名思义，即为表达、传递信息的符号。所谓信息，在西洋语言中通常是"information"，我国古代通常用的是"消息"。这边引用信息奠基人、著名数学家香农的观点，他认为，信息是用来消除随机不确定性的东西，而根据消除随即不确定性的多少，可以用信息量来衡量。

我们生活在信息的海洋中，获取信息是人类最基本的活动之一。然而，许多出现的信息不便于直接传输共享。利用合适的设备将各种不同的信息转变为易于携带或传输的信号。

要学好信号与系统，先要成为一名合格的“三好学生”：态度好、数学好、编程好，即端正的学习态度、扎实的数学功底、清晰的物理概念。

我们可以根据信号的不同特质，划分为不同的信号类型：按照可预知性，可分为确定信号与随机信号；按照自变量的连续性（定义域），可分为连续时间信号与离散时间信号（也叫做序列）；按照时限性，可分为时限信号与非时限信号；按照周期性，可分为周期信号与非周期信号；按照能量有限性，可分为能量型信号与功率型信号。

时限信号与非时限信号

周期信号与非周期信号

这边补充一下，两个周期信号的和或积都不一定是周期信号，只有当它们的周期满足\(\frac{T_1}{T_2}\)为有理数时，它们的和或积才是周期信号。（事实上和与积本质上是一回事）

序列的周期会更特殊一点，只要不是整数，那么就没有周期。

能量型信号与功率型信号

若要计算信号的能量，我们可以先设定一个物理背景。如果把信号\(x(t)\)看作是随时间变化的电流信号（电压信号也可），在单位电阻上的瞬时功率即可记为\(\def\d{\mathrm{d}}\)\(\def\d{\mathrm{d}}\)

\[P=|x(t)|^2\cdot(1\Omega)=|x(t)|^2 \]

在\((-\infty,+\infty)\)的时间上进行积分，得到信号在时间区间\((-\infty,+\infty)\)内消耗的能量为

\[E=\lim_{\tau\to\infty}\int_{-\tau}^{\tau}|x(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt \]

那么信号的平均功率即可定义为

\[P=\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}|x(t)|^2dt \]

对于一个离散的序列\(x(n)\)，同样可以用累加的方法来定义消耗的能量与平均功率

\[E = \sum_{n = -\infty}^{\infty}|x(n)|^2 \]

\[P = \lim_{M\to\infty}\frac{1}{2M+1}\sum_{n = -M}^{M}|x(n)|^2 \]

唯一要注意的点就是从\(-M\)到\(M\)总计\(2M+1\)项。

信号的基本运算

信号的相加与相乘

字面意思，无论是离散序列，还是连续信号，都可以直接进行加法运算与乘法运算

\[x(t)=x_1(t)+x_2(t)\quad 或\quad x(n)=x_1(n)+x_2(n) \]

\[x(t)=x_1(t)x_2(t)\quad 或 \quad x(n)=x_1(n)x_2(n) \]

连续时间信号的微分与积分

这个就比较有意思了。首先，也是顾名思义，微分就是对信号\(x(t)\)进行求导运算，即

\[\frac{ \d x(t)}{ \d t}=\lim_{\tau\to 0}\frac{x(t+\tau)-x(t)}{\tau}=\lim_{\tau\to0}\frac{x(t)-x(t-\tau)}{\tau}=x^{\prime}(t) \]

而积分信号\(\int_{-\infty}^{t}x(\tau) \d \tau\)就是曲线\(x(t)\)在\((-,\infty,t)\)内所包含的面积。

微分运算会放大信号中的增减欺负，突出了信号的变化部分；积分信号是连续的，即使\(x(t)\)有跳变点，也不会使得它的积分信号突变。因此积分信号起着平滑的作用。

离散时间信号的差分与累加

离散时间信号的差分与累加，相似于连续时间信号的微分与积分，只不过由于离散时间信号定义域的离散特性，它们的定义略微有些不同。对于差分运算，可分为向前差分与向后差分两种

\[\Delta x(n)=\frac{x(n+1)-x(n)}{1}=x(n+1)-x(n)\quad，向前差分 \]

\[\nabla x(n)=\frac{x(n)-x(n-1)}{1}=x(n)-x(n-1)\quad，向后差分 \]

上述两式没有原则上的区别。此外，差分的阶数是指序列变量序号最大值与最小值的差，比如二项向后差分

\[\begin{align} \nabla^{2}x(n)&=\nabla(\nabla x(n))=\nabla[x(n)-x(n-1)]=\nabla x(n)-\nabla x(n-1)\\&=x(n)-2x(n-1)+x(n-2) \end{align} \]

序列的累加如此定义

\[y(n)=\sum_{m=-\infty}^{n}x(m) \]

时间反折、时移、尺度变换

这三种运算放在一起谈论，笔者认为，它们都与三件函数的基本变换别无二致，只需要按照以下这些步骤，即可完成相应的变换：

信号的分解

简单列举一下信号的几种分解形式，之后的课程会详细地逐一介绍（？）

1. 信号的直流、交流分解

连续时间信号可以分解为直流分量与交流分量的累加和，比如信号\(x(t)\)

\[x(t)=x_D(t)+x_A(t) \]

其中，\(x_D(t)\)为直流分量，即信号的平均值

\[x_D(t)=\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}x(t)\d t \]

\(x_A(t)\)为交流分量，指的是原本的信号去掉直流分量所剩下来的部分。

举个例子，(a)原始信号可以分为直流分量(b)、交流分量(c)的累加

2. 信号的奇、偶分解

我们定义，如果一个连续时间信号\(x(t)\)，若满足

\[x(-t)=x(t) \]

则称该信号为偶信号，记为\(x_e(t)\)(even)

如果一个连续时间信号\(x(t)\)满足

\[x(-t) =-x(t) \]

则称该信号为奇信号，记为\(x_o(t)\)(odd)

遵循以前所学的，奇函数与偶函数的相关的性质。

任意一个非奇非偶信号，都可以分解为唯一一组奇信号分量与偶信号分量的累加，即

\[x(t)=x_e(t)+x_o(t) \]

取反，得

\[x(-t)=x_e(-t)+x_o(-t)=x_e(t)-x_o(t) \]

我们可以化简总结以下

\[\begin{cases} x(t)&=\quad x_e(t)+x_o(t)\\ x_e(t)&=\quad \displaystyle{\frac{x(t) + x(-t)}{2}}\\ x_o(t)&=\quad \displaystyle{\frac{x(t)-x(-t)}{2}} \end{cases} \]

典型的信号

典型连续时间信号

正弦信号

正弦信号与余弦信号仅在相位上相差\(\frac{\pi}{2}\)，在此统称正弦信号。一般数学表达式为

\[x(t)=C_0\sin(\omega_0t+\varphi_0) \]

其中，\(C_0\)为振幅，\(\omega_0\)为角频率，\(\varphi_0\)为初相位。正弦信号由幅度、频率、相位三个参数确定全部的信息。且信号在整周期内的积分为\(0\).

\[\int_{T_0}sin\omega_0t\d t = 0 \]

正弦信号常常借助复指数信号来表示。欧拉公式可以写成

\[\begin{cases} e^{j\omega t}=\cos\omega t+j\sin\omega t\\ e^{-j\omega t}=\cos\omega t-j\sin\omega t \end{cases} \]

可以得到

\[\begin{cases} \sin\omega t = \displaystyle{\frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}}\\ \cos\omega t = \displaystyle{\frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}} \end{cases} \]

复指数信号

指数因子为复数的指数信号称作复指数信号，其数学表达式为

\[x(t)=ke^{st}\quad (其中k为实常数，复指数s=\sigma+j\omega) \]

利用欧拉公式，可变形为

\[x(t)=ke^{\sigma t}(\cos\omega t + j\sin \omega t) \]

1. 当\(\sigma = \omega=0\)时，\(s=0\)，\(x(t)=k\)，信号是不随着时间变化的常数，称为直流信号。
2. 当\(\omega=0\)时，\(s=\sigma\)为实数，\(x(t)=ke^{\sigma t}\)为实指数信号。若\(\sigma>0\)，信号随时间\(t\)呈指数规律增长；若\(\sigma<0\)，信号随时间\(t\)呈指数规律衰减；\(k\)表示指数信号在\(t=0\)点的初始值。如下图(a)所示，\(k>0\).

3. 当\(\sigma=0\)时，\(s\)为纯虚数，\(x(t)=ke^{jwt}=k{\cos\omega t+j\sin\omega t}\)，复指数信号的实部、虚部都是等幅余弦或正弦振荡，统称等幅振荡或无阻尼振荡信号；虚指数信号为周期信号，周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，则有

\[e^{j\omega(t+T)}=e^{j\omega t}\cdot e^{j\omega T}=e^{j\omega t} \]

上式可以用极坐标的形式来表示

\[e^{j\omega t}=1\angle\varphi \]

4. 一般的\(x(t)=ke^{\sigma t}(\cos\omega t +j\sin\omega t)\)，如果\(\sigma < 0\)，信号呈增幅振荡；如果\(\sigma > 0\)，信号呈衰减振荡。如下图所示

复指数信号是连续信号与系统复频域分析中的常用基本信号，其中，复频率\(s\)中的实部\(|\sigma|\)越大，函数增长或衰减的速度就越快。复频率\(s\)中的虚部\(\omega\)表示正弦与余弦信号的角频率，其大小反映了信号振荡的频率。

5. 一些常用的复指数信号

\[\begin{cases} e^{j2\pi}&=\,1\\ e^{j\pi}&=\,-1\\ e^{\pm j\frac{\pi}{2}}&=\,\pm j \end{cases} \]

抽样信号

抽样信号的数学表达式为\(\def\S{\mathrm{S}}\)

\[\S a(t)=\frac{\sin t}{t} \]

\(\S a(t)\)是一个偶函数，在\(t\)的正、负两个方向上振幅都逐渐衰减；当\(t=\pm\pi\)，\(\pm 2\pi\)，\(\cdots\)，\(\pm n \pi\)的时候，函数值为零，如下图像显示

从波形图中我们可以看出，信号的能量绝大部分都集中在\(-\pi\)到\(\pi\)这个区间内。我们称\(t=\pm \pi\)为抽样函数的第一对零点。

抽样函数\(\S a(t)\)有以下性质

\[\lim_{t\to 0}\S a(t)=1 \]

\[\int_{-\infty}^{\infty}\S a(t)\d t=\pi \]

\[\int_{-\infty}^{\infty}\S a(kt)\d t=\frac{\pi}{k} \]

关于性质的记忆，很巧的是，\(\int_{-\infty}^{\infty}\S a(t)\d t\)的值刚好是第一对零点和函数与\(y\)轴交点\((0,\frac{1}{k})\)围成的三角形面积。在进行一系列尺度变换的时候，运用这个技巧，可以快速判断积分的大小。\(\def\sinc{\mathrm{sinc}}\)

此外，\(\S a(\pi t)\)又称为$\sinc \(函数，即\)\S a(\pi t)=\frac{\sin (\pi t)}{\pi t}=\sinc (t)\(，推导可知\)\int_{-\infty}^{\infty}\sinc(t)\d t=1$

门函数/窗函数\(G_{\tau}(t)\)

门函数的表达式为

\[G_{\tau}(t)= \begin{cases} 1,\quad|t|<\frac{\tau}{2}\\ 0,\quad|t|>\frac{\tau}{2} \end{cases} \]

门函数的门高或幅度为\(1\)，门宽度为\(\tau\)（这点很重要，很容易和三角形脉冲弄混淆），\(G_{\tau}(t)\)的下标\(\tau\)即为门宽，波形如下图像显示

门函数有窗口特性，将原信号与门函数相乘，就可以截取\((-\frac{\tau}{2},\frac{\tau}{2})\)这部分的原信号。

三角形脉冲

三角形脉冲的数学表达式为

\[T_{2\tau}(t)= \begin{cases} 1-\frac{|t|}{\tau}&,\quad|t|<\tau\\ \quad\,\,0&,\quad|t|>\tau \end{cases} \]

三角形脉冲的幅度为\(1\)，时间宽度为\(2\tau\)（这点很重要，很容易和门函数混淆），\(T_{2\tau}(t)\)的下标\(2\tau\)即为信号占据的时间宽度，波形如下图像显示

三角形脉冲同时具有窗口特性和幅度约束特性。例如，要想得到下图的信号\(x(t)\)，只要将余弦信号与三角形脉冲\(T_{2\tau}(t)\)相乘即可

单位阶跃函数

1. 单位阶跃信号的数学表达式为

\[\mathrm{u}(t)= \begin{cases} 1,\quad t>0\\ 0,\quad t<0 \end{cases} \]

\(t=0\)称为跳变点。一般来说，函数在\(t=0\)处没有定义，或者规定\(\mathrm{u}(0)=\frac{1}{2}\)

阶跃函数是对某些物理对象从一个状态瞬间突变到另一个状态的描述。

2. 性质

• 可以方便地表示其他的工程信号。例如，门函数可以被表示为

\[G_{\tau}(t)=\mathrm{u}(t+\frac{\tau}{2})-\mathrm{u}(t-\frac{\tau}{2}) \]

• 可以方便地表示信号的作用区间。例如我们常用\(u(t)\)来表示信号的单边性。
• \(u(t)\)的积分为单位斜变信号，用\(R(t)\)表示，即

\[\int_{-\infty}^{t}\mathrm{u}(\tau)\d\tau=t\mathrm{u}(t)=R(t) \]

\[\frac{\d R(t)}{\d t}=\mathrm{u}(t) \]

其中，波形如下图所示

\[R(t)= \begin{cases} 0,\quad t>0\\ t,\quad t\,\geq0 \end{cases} \]

符号函数

符号函数的表达式为\(\def\sgn{\mathrm{sgn}}\)

\[\sgn (t)= \begin{cases} \quad1&,\quad t>0\\ \,\,-1&,\quad t<0 \end{cases} \]

一般来说，符号函数在\(t=0\)处没有定义，或者规定\(\sgn (0)=0\).波形如下图所示

符号函数可以用于在某点逆转另一个函数的取向或者极性。

我们可以利用阶跃函数来表达符号函数

\[\sgn(t)=\mathrm{u}(t)-\mathrm{u}(-t)=2\mathrm{u}(t)-1 \]

单位冲激信号

1. 定义与波形图

单位冲激信号的定义为

\[\delta(t)= \begin{cases} 0\,\,\,,\quad t\neq0\\ \infty,\quad t=0 \end{cases} \]

\[\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\d t=\int_{0^-}^{0^+}\delta(t)\d t=1 \]

单位冲激函数并不是一个普通意义上的函数，它只在\(t=0\)处有一个幅度为无穷大的冲激，而当\(t\neq0\)时函数值均为\(0\)。而这个函数的面积定义为\(1\)，我们称之为单位冲激函数。图像表达如下所示

单位冲激信号可以通过普通信号取极限的方法来定义：图(a)为脉冲宽度为\(\tau\)、幅度为\(\frac{1}{\tau}\)，即信号与时间轴所包围的面积为单位\(1\)的对称窄脉冲信号\(\frac{1}{\tau}G_{\tau}(t)\)；图(b)为脉冲宽度为\(2\tau\)、幅度为\(\frac{1}{\tau}\)，即信号与时间轴所围包围的面积为单位\(1\)的三角形脉冲函数。图(c)为抽样函数引入参变量\(k\)，当参变量取\(k\to\infty\)时，同样可以定义冲激信号。

\[\delta(t)=\lim_{\tau\to0}\frac{1}{\tau}G_{\tau}(t)=\lim_{\tau\to0}\frac{1}{\tau}[\mathrm{u}(t+\frac{\tau}{2})-\mathrm{u}(t-\frac{\tau}{2})] \]

\[\delta(t)=\lim_{\tau\to0}T_{2\tau}(t)=\lim_{\tau\to0}\frac{1}{\tau}(1-\frac{|t|}{\tau})[\mathrm{u}(t+\tau)-\mathrm{u}(t-\tau)] \]

\[\delta(t)=\lim_{k\to\infty}\frac{k}{\pi}\S a(kt) \]

2. 性质

为了信号分析和处理的需要，人们构造了\(\delta(t)\)函数，它不属于普通函数的范畴。\(\delta(t)\)函数属于数学上的广义函数或泛函的范畴，其属性完全由它在积分中的作用体现出来，具有一些特定的性质。

• 乘积特性

单位冲激信号\(\delta(t)\)与一个在\(t=0\)处的连续的信号\(x(t)\)相乘，得到

\[x(t)\delta(t)=x(0)\delta(t) \]

一般来说，\(x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0)\)，即任意连续时间信号与冲激信号的乘积仍然是冲激信号，冲激信号的强度为在冲激时刻\(t_0\)时对应的连续信号函数值\(x(t_0)\).

• 冲激函数的筛选/抽样特性

一个泛函是指将一个函数映射为一个数。例如定积分\(\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\d t\)是将一个任意给定的函数映射为其面积值。根据泛函的这种特性，我们也可以定义冲激函数的筛选/抽样特性

\[\int_{-{\infty}}^{\infty}x(t)\delta(t)\d t=\int_{-{\infty}}^{\infty}x(0)\delta(t)\d t=x(0) \]

上式表示冲激函数可以把信号在\(t=0\)时的值筛选出来，这也是冲激函数由广义函数给出的严格数学定义，即一个函数只要它在积分中的作用与上式中相同，就可以认为它是冲激函数。如果要表示信号在\(t=t_0\)时刻的值，有

\[\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-t_0)\d t=x(t_0) \]

把冲激函数与连续时间函数的成绩在整个时间范围内积分，可以得到冲激时刻的连续时间信号的函数值，即“抽样”。

如果\(t\)为任意值，则有

\[\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)\d \tau=x(t) \]

• 冲激函数时偶函数

\[\delta(t)=\delta(-t) \]

• 冲激函数与阶跃函数互为微积分关系

\[\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\d\tau=\mathrm{u}(t) \]

\[\frac{\d \mathrm{u}(t)}{\d t}=\delta(t) \]

• 冲激函数的尺度变换

冲激函数的强度是面积的概念，压缩或扩展的尺度变换都会改变冲激函数的强度，变化遵循

\[\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t) \]

上式中，\(a\)为常数。

• 关于冲激导函数\(\delta^{\prime}(t)\)的讨论

类似普通函数，\(\delta^{\prime}(t)\)表示冲激函数的一阶导数，或者阶跃函数的二阶导数。依据导函数的定义，有

\[\delta^{\prime}(x)=\frac{\delta(0)-\delta(0^{-})}{0-0^{-}}=\frac{\infty-0}{0}=\infty \]

\[\delta^{\prime}(x)=\frac{\delta(0^+)-\delta(0)}{0^+-0}=\frac{0-\infty}{0}=-\infty \]

冲激函数呈现正、负极性的一对冲激，具有以下性质

1. 积分特性

\[\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta^\prime(t)\d t=-x^\prime(0) \]

\[\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta^\prime(t-t_0)\d t=-x^\prime(t_0) \]

2. 奇对称性

\[\int_{-\infty}^{\infty}\delta^\prime(t)\d t=0 \]

3. 乘积性质

\[x(t)\delta^\prime(t)=x(0)\delta^\prime(t)-x\prime(0)\delta(t) \]

\(\delta(t)\)的\(n\)阶导函数用\(\delta^{(n)}(t)\)来表示。结合冲激函数的微分与尺度变换性质，一般有

\[\delta^{(n)}(at)=\frac{1}{|a|}\cdot\frac{1}{a^n}\delta^{(n)}(t)\quad\quad(n为正整数) \]

式中，\(a\)为常数。显然，当\(a=-1\)时，可以得到 冲激导函数的奇偶性

\[\delta^{(n)}(-t)=(-1)^{(n)}\delta^{(n)}(t)\quad\quad(n为正整数) \]

即当求导的阶数为偶数时，\(\delta^{(n)}(-t)\)是\(t\)的偶函数；当当求导的阶数为奇数时，\(\delta^{(n)}(-t)\)是\(t\)的奇函数。

在信号与系统的分析中，经常遇到上述自身或者其导函数有不连续点的函数(光滑函数)，这类函数又统称为奇异函数或者奇异信号。

高斯函数

高斯信号又称作正态分布，其定义式为

\[x(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}} \]

高斯函数是光滑函数，即它的一切导数都是连续的。高斯函数呈现钟形。在信号处理过程中常用于表示加性噪声。

典型离散时间信号

单位冲激序列/单位脉冲\(\delta(n)\)

单位脉冲序列的数学表达式为

\[\delta(n)= \begin{cases} 0,&\quad n\neq0\\ 1,&\quad n=0 \end{cases} \]

它与连续冲激信号\(\delta(t)\)类似，但又有些不同：\(\delta(t)\)在\(t=0\)时刻的函数值为无穷大，宽度为无穷小，面积为\(1\)；而\(\delta(n)\)在\(n=0\)时刻为有限的函数值\(1\)​​.

类似的，\(\delta(n)\)也具有乘积特性

\[x(n)\delta(n)=x(0)\delta(n) \]

\[x(n)\delta(n-n_0)=x(n_0)\delta(n-n_0) \]

单位阶跃序列\(\mathrm{u}(n)\)

单位阶跃序列的数学表达式为

\[\mathrm{u}(n)= \begin{cases} 1,&\quad n\geq0\\ 0,&\quad n<0 \end{cases} \]

离散单位阶跃序列是连续单位阶跃信号的离散状态，其中\(n\)为整数。它与连续阶跃信号\(\mathrm{u}(t)\)相似，但又有所不同：\(\mathrm{u}(t)\)在\(t=0\)处为阶跃点，然而\(\mathrm{u}(n)\)在\(n=0\)处有明确的定义，函数值为\(1\)​.

比较冲激序列与阶跃序列的定义式，可以得到

\[\delta(n)=\mathrm{u}(n)-\mathrm{u}(n-1) \]

\[\mathrm{u}(n)=\delta(n)+\delta(n-1)+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\delta(n-k) \]

设\(m=n-k\)，则

\[\mathrm{u}(n)=\sum_{m=-\infty}^{n}\delta(m) \]

阶跃序列等于冲激序列的累加，这与连续信号中阶跃信等于冲激信号的积分运算相对应。

矩形序列

矩形序列的数学表达式为

\[G_N(n)= \begin{cases} 1,&\quad0\leq n\leq N-1\\ 0,&\quad\quad其他 \end{cases} \]

下标\(N\)表示矩形序列的长度，注意序列值为一的边界是\(N-1\).它在离散信号中的作用类似于连续时间信号中的门函数\(G_\tau(t)\)，显然有

\[G_N(n)=\mathrm{u}(n)-\mathrm{u}(n-N)=\sum_{k=0}^{N-1}\delta(n-k) \]

斜变序列

斜变序列的数学表达式为

\[x(n)=n\mathrm{u}(n) \]

斜变序列与连续时间信号中的斜变信号\(t\mathrm{u}(t)\)相类似，图像如下所示

注意，\(n=0\)时序列仍有定义，值为\(0\).

指数序列

1. 实指数序列的数学表达式为

\[x(n)=a^n\mathrm{u}(n) \]

当\(|a|>1\)时，\(x(n)\)是发散的；当\(|a|<1\)时，\(x(n)\)是收敛的，波形图如下

2. 复指数序列的数学表达式为

\[x(n)=Ce^{i\Omega n}=C\cos\Omega n+kC\sin \Omega n = |x(n)|e^{j\varphi(n)} \]

显然，在极坐标描述形式中，模量\(|x(n)|=|C|\)，相位\(\varphi(n)=\Omega n\)，波形图如下所示

正弦序列

正弦序列的表达式为

\[x(n)=\sin\Omega n \]

上式中，\(\Omega\)称为正弦序列的数字角频率，单位为弧度(rad)。正弦序列对应连续时间信号中的正弦信号\(\sin\omega t\)，但二者又有所区别，要特别注意：

对模拟正弦信号进行采样可以得到对应的正弦序列，设采样周期为\(T_s\)

\[x(t)=\sin\omega t\stackrel{采样}{\longrightarrow}x(nT_s)=\sin\omega nT_s \]

记作

\[x(n)=\sin\omega n \]

• 正弦序列数字角频率\(\Omega\)与相对应的正弦信号的模拟角频率\(\omega\)之间的关系为

\[\Omega=\omega T_s=\frac{\omega}{f_s} \]

即数字角频率\(\Omega\)是模拟角频率\(\omega\)关于采样频率的归一化频率。

• 正弦序列的周期性

依据周期序列的定义，序列信号的数学表达式为

\[x(n)=\sin\Omega n=\sin\Omega(n+N) \]

如果正弦序列为周期序列，则应当有\(\Omega N=2\pi m\)，其中\(m\)为任意整数。即在满足周期性要求的情况下，总能找到互为质数的两个正整数\(m,N\).

1. 当\(\frac{2\pi}{\Omega}\)为有理数时，则\(N=\frac{2\pi}{\Omega}m\)是正弦序列的周期
2. 当\(\frac{2\pi}{\Omega}\)是无理数时，则此正弦序列时非周期序列

同样，复指数序列为周期序列的条件时\(\frac{2\pi}{\Omega}\)为有理数，则

\[e^{j\Omega(n+N)}=e^{j\Omega n}\cdot e^{j\Omega N}=e^{j\Omega n}\cdot e^{j2\pi m}=e^{j\Omega n} \]

系统的分类

所谓系统，是由若干个相互关联、相互作用的事物组合而成的有机整体，从而实现某种特定需求的功能。

记忆系统与无记忆系统

所谓记忆性，就是在连续系统中，如果\(t_0\)时刻的输出\(y(t_0)\)，只依赖于该时刻的输入\(x(t_0)\)；在离散系统中，如果\(n_0\)时刻的输出\(y(n_0)\)，只依赖于该时刻的输入\(x(t_0)\)，与其他时刻无关。

线性系统与非线性系统

线性系统的“线性”要同时具有齐次性与可加性。

齐次性，又称为比例性，表示当激励信号变为原来的\(k\)倍时，响应信号也对应地改变为原来的\(k\)倍，\(k\)为任意常数

\[kx(t)\to ky(t) \quad 或\quad kx(n)\to ky(n) \]

可加性，表示当几个激励同时作用于系统时，系统的响应等于各激励分别作用于系统产生的响应的叠加。即

\[x_1(t)+x_2(t)\to y_1(t)+y_2(t)\quad 或\quad x_1(n)+x_2(n)\to y_1(n)+y_2(n) \]

要判断系统是否为线性系统，可以构造以下式子

\[x_1(t)+kx_2(t)\to y_1(t)+ky_2(t) \]

成立即为线性系统，反之即为非线性系统。

一般来说，线性系统需要同时满足一下两点条件：

1. 每一项都有\(x\)
2. 每一项的\(x\)都是一次项

时不变系统与时变系统

构成系统的元件的参数是否随着时间变化而变化是系统的另外一种性质。时不变系统，又称非时变系统，或者定常系统，它的性质不随着时间发生变化。或者说，系统响应的形状不会随着激励施加的时间不同而发生改变。

一个时不变系统，先对信号作用再延迟，与先把信号延迟再作用，得到的结果是完全一样的。在判断的时候，经过系统只针对\(x(t)\)，而延迟时移遍历所有的\(t\).

系统的线性特性与时不变特性是两个互不相干的概念。同时满足线性与时不变性的系统成为线性时不变系统(LIT)。

因果系统与非因果系统

因果系统，又称不可预测系统，没有预知未来的能力。也就是说，响应不能超前于激励的出现。很直接的判断法则：如果输出变化发生在输入变化之前，则该系统为非因果系统；输出变化发生在输入变化之后、或者随着输入变化同时发生，则该系统为因果系统

稳定系统与不稳定系统

如果系统对任何有界输入都会产生有界输出(BIBO)，那么这样的系统是稳定系统。

可逆系统与不可逆系统

无论是连续系统还是离散系统，如果一个系统是一种一对一的变换，他总存在一个逆系统，可以让该系统与逆系统连接构成一个恒等系统。

系统的基本运算

也就是系统的连接，分为三种：系统的级联链接、系统的并联连接与系统的反馈连接。与电路知识相似，不再赘述。

小结

信号与系统分析就是要把各种不同领域的信号与系统问题抽象为理想化的模型，用最简洁的数学语言去描述、分析、计算它们，以便更好地认识和掌握其中的内在规律。

本课程遵循的是：数学描述与物理含义并重；信号分析与系统分析并重；时域分析与变换域分析并重；连续时间系统与离散时间系统并重。