杂题记录2

CF53E Dead Ends(状态压缩)

题意

给你 $n$ 个点和 $m$ 条边，求这个图的有 $k$ 个叶子的生成树的个数 ($n \leq 10$)

solution

$n$ 特别小，考虑状压，于是状态设计就是 $dp_{sta1,sta2}$ 表示 $sta1$ 的点与 $1$ 联通，其中 $sta2$ 的点是叶子节点
转移的话就是新加入一条边 $(u,v)$ （ $u$ 原来就与 $1$ 联通）时，把 $v$ 加到 $sta1$ 和 $sta2$ 里，如果 $u$ 原来在 $sta2$ 里就把他除去
但是这样可能会算重，比如对于 $2-1-3$ 的图，可能是把 $3$ 加到 $2-1$ 里，也有可能是把 $2$ 加到 $1-3$ 里
所以我们可以人为钦定一下加叶子的顺序，具体的，如果 $v$ 是转移后编号最大的叶子才转移
submission

CF70E Information Reform（树形dp）

题意

给你一颗树，你可以花 $k$ 的代价将一个节点变为区域信息中心，对于每个节点，若它到离他最近的区域信息中心的距离为 $dis$ 则代价为 $d_{dis}$ （ $d$ 数组单调不降），求最小代价，并输出每个节点选择的最近区域信息中心编号（$n \leq 180$）

solution

很显然要 $dp $ ，设 $dp_{i,j}$ 表示节点 $i$ 选择 $j$ 为区域信息中心，子树内代价最小值，转移的话，枚举儿子选的区域信息中心,如果和 $i$ 选的一样就减去 $k$ ，初始值就是 $dp_{i,j}=d_{dis_{i,j}} + k$，转移式子：

$dp_{t,i}=\sum\limits_{to \in son_{t} } min ( dp_{to,j}-(i==j) \times k ) $

submission

CF115E Linear Kingdom Races(线段树优化dp)

题意

有 $n$ 条道路，每条道路修缮的代价为 $w_i$ ，给定 $m$ 个区间，当你将区间 $[l_i,r_i]$ 的道路都修缮完后会获得 $v_i$ 的代价，问你最后总代价最大是多少（$n,m \leq 2\times 10^5$）

solution

和NOIP2023T4天天爱跑步很像，先考虑朴素 $dp$ ，设 $dp_i$ 表示考虑了前 $i$ 条道路的最大代价，转移就是 $dp_i={max \{ dp_{j-1}+calc(j,i),dp_{i-1}\}}$ 其中 $calc(j,i)$ 表示将 $j$ 到 $i$ 这一段道路修缮后能满足的区间获得的价值减去修道路需要代价。优化的话，扫描线维护区间获得的代价就行，线段树第 $i$ 个位置表示 $dp_{i-1}+calc(i,now)$ 维护区间最小值即可，注意 $dp_i $要和前面的 $dp_j$ 取 $max$

submission

CF258E Little Elephant and Tree) (扫描线)

题意

有一棵根节点为 $1$ 的有根树，这棵树每个节点都有一个集合，初始为空。

进行 $m$ 次操作，第 $i$ 次操作给出 $a_i$ 和$b_i$，把 $i$ 这个数字分别放入 $a_i$ 和 b_i$ 这两个点为根的子树里的所有集合中。

最后输出每个点有多少个除它本身的点集合与它的集合有交集

solution

每次相当于把 $[dfn_a,dfn_a+siz_a-1]$ 和 $[dfn_b,dfn_b+siz_b-1]$ 这两个区间互相加入代价（包括他们本身的子树）于是可以扫描线，在 $dfn_x$ 时加入贡献， $dfn_x+siz_x$ 时减去贡献。但是最后要求有多少不同的点，直接维护比较难搞，于是正难则反维护有多少个点为 $0$ ,于是维护最小值和最小值的个数即可。

Submission #345994030 - Codeforces

CF285E Positions in Permutations (计数)

题意

给定 $n$ 和 $k$ ，求有多少个 $n$ 的排列 $p$ 使得 $ |p_i-i|=1$ 的 $i$ 的个数恰好为 $k$

solution

因为题目问的是恰好，所以可以考虑求钦定的然后再二项式反演：令 $g_i$ 表示钦定至少有 $i$ 个位置满足条件，答案就是 $\sum\limits_{i=k}^{n} (-1)^{(k-i)} \times \binom{i}{k} \times g_i$ 所以现在考虑怎么求 $g_i$ 。令$ f_{i,j,0/1,0/1}$ 表示考虑了前 $i$ 个位置，有 $j$ 个地方满足条件，且 $i$ 和 $i+1$ 分别有没有被选的方案数，简单转移即可，注意$i=n$ 时要特判。最后 $g_i=(f_{n,i,0,0}+f_{n,i,1,0})\times (n-i)!$

Submission #346014626 - Codeforces

CF383E Vowels (高维前缀和)

题意

有一个由‘a’-'x' 组成的元音集合，但是你不知道有哪些字母在里面，给你 $n(n\leq 10^4)$ 个由三个字符组成的单词，一个单词合法的条件是里面至少有一个原因字母，问你对于 $2^{24}$ 种可能的元音集合，有多少个合法的单词数，输出所有答案的平方的异或和

solution

设元音字母集合为 $sta $ 则一个单词不合法当且仅当它的字符集属于 $sta $ 的补集。所以对于补集的子集有多少个数可以用高维前缀和来做，每次枚举一个元素 $i$ 然后枚举所有集合 $j$ ，若 $i \in j$ 则 $dp_j+=dp_{j \oplus (1<<i)}$ 这样就能求出 $j$ 的所有子集的和

Submission #346017972 - Codeforces

CF442D Adam and Tree

题意

给你一颗树，你需要给每个边染颜色，使得同一颜色组成的边集是一条路径，点 $i$ 的权值为它到根（1号点）的路径上的不同颜色数，求所有点权值最大值最小的一种染色方案

solution

咕咕咕

ARC162F Montage

题意

给定 $n$ 和 $m$ ($n,m \leq 400$) ,求有多少个 $n$ 行 $m$ 列的01矩阵满足这个矩阵的每个子矩阵的左下角 $\times $ 右上角 $\geq$ 左上角$\times$ 右下角

solution

dfs搞出一些比较小的样例，空行和空列显然是没有必要的，删去后发现每一行的1都是一段区间，且每一行的区间的左右端点都是单调不升的，且每行的区间都至少有公共交点。考虑为什么满足这个条件。首先看为什么 $1$ 是一段区间。因为如果当前行有一个$0$ 将一段 $1$分开了，说明这一列的上面行或者下面行有一个 $1$ 然后发现对于这两种情况，都可以组成一个不合法子矩阵，所以 $1$ 是一段区间，再看为什么 $l_i,r_i$ 单调不降。如果下面这一行的下一行有 $1$ 出现在当前行的 $1$ 的左边，那么一定可以和它上面的$0$ 和后面的 $1$组成一个不合法的矩阵，没有相交点同理。所以就可以 $dp$ 了, $f_{i,l,r}$ 表示第 $i$ 行选择 $[l,r]$ 为 $1$ 时的方案数。

$f_{i,l,r}=\sum\limits_{k=l}^{r+1}\sum\limits_{p=r}^{m} f_{i-1,p,k}$

使用二维前缀和即可

没写。

[P5290 十二省联考 2019] 春节十二响

题意

给你一颗 $n$ 个点的树，每个点有一个权值，你需要将这些节点分成很多段，每一段不能有祖先-后代关系，每段的代价为段中点的点权最大值，问所有段的代价之和最小为多少

solution

对于每颗子树，它的子树是可以两两合并的，贪心地合并就是从大到小排序后依次合并，于是就可以树上启发式合并来求答案了

记录详情 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

ARC160D Mahjong

题意

给定 $n,m,k$ （$1\le k\le n \le2000 ,1\le m\le 10^{18}$）求有多少个长度为 $n$ ，和为 $m$ 的数列 $A$ 可以通过以下两种操作变成全为 $0$ ，答案对 $998244353$ 取模

选一个元素减去 $k$
选一个长度为 $k$ 的子串，子串中每个元素减去 $1$

solution

首先 $m$ 如果不是 $k$ 的倍数肯定无解。原序列一定是做了若干次操作2然后让每个数都是 $k$ 的倍数

我们会发现同一个位置以它为起点的子串不会被操作2操作大于等于$k$次，因为这样相当于对这$k$个位置做了1次操作1。所以我们最多做了$(n-k+1) \times k$次操作二，两个合法序列本质相同只会是操作一和操作二互相转化，现在钦定每个位置的操作二次数小于 $k$ 了就可以直接计数了,设 $b_1$ 到 $b_{n-k+1}$ 表示每个位置操作二的次数，$b_{n-k+2}$ 到 $b_{2*n-k+1}$ 表示每个位置的操作一次数，求的就是满足以下条件的序列 $b$ 个数

$\sum \limits _{i=1}^{2*n-k+1} b_i=\frac{m}{k} $

$ i \in [1,n-k+1],b_i \le k-1$

使用容斥即可，枚举不满足 $b_i \le k-1 $的个数

Submission #70546556 - AtCoder Regular Contest 160

SDOI2019热闹的聚会与尴尬的聚会

题意

给你一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图（ $n\le 10^4,m \le 10^5$）,你需要选两个点集，一个热闹度为 $p$ 的点集指选的每个点都至少有 $p$ 个点直接与它相连，尴尬度为 $q$ 的点集是一个大小为 $q$ 的独立集，你需要求出一组方案（输出分别选了哪些点）使得 $\lfloor \frac{n}{p+1} \rfloor \le q 且 \lfloor \frac{n}{q+1} \rfloor \le p $

solution

首先这两个问题应该是分开的，因为移项后就是 $p\times q+p \ge n 且 p\times q+q\ge n$ ,所以分别求 $p$ 和 $q$ 的最大值。第一个问题可以二分，然后每次删掉deg<mid的点就行，或者可以直接贪心做，每次删掉度数最小的点（因为你想要让现在的答案变得更大，就必须要把度数小的点删掉）然后取过程中的最大值。对于第二个问题，直接做疑似挑战图灵奖，我们看能不能做第一问的时候顺带求了。发现我们可以每次加入度数最小的那个点，再删去与它相连的点。每次删点最多只会删掉 $p$ 个点，不然的话这个点的度数大于 $p$ 且他的度数最小，那么第一问的答案就不会是 $p$ 了。所以这样就正好满足了题面的条件

记录详情 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

P5324 BJOI2019删数

题意

定义一次删数操作如下：记当前数列长度为 $k$ 则删掉数列中所有等于 $k$ 的数

给定一个长度为 $n$ 的数列，有 $q$ 次操作，每次将数列整体加一或整体减一或修改某个位置的值，问修改后将数列删空最少需要修改几个数

solution

思考怎样的数列是能够被删空的，首先数列最大值应为数列长度，最小值大于0，其次相邻大小的两个数的差应该是较大数的出现次数。再来考虑怎样修改是最优的，删掉一个数 $x$，下一个要删的数就应该是 $x-cnt_x$ ，如果这个数没有出现过，那么我们就需要找一个数修改了才能继续删，所以我们可以考虑对于数列里每个数覆盖 $[a_i-cnt_{a_i}+1,a_i]$ 这样覆盖后，没有被覆盖的地方就是必须要修改一次才能得到的数，于是答案就是 $[1,n]$ 没有被覆盖到的地方的数量，可以使用区间加和区间减来维护这个东西，数零就是维护最小值以及最小值个数，对于数列整体加和减，就是将区间平移了，用一个变量记录即可，这里还有一个细节，就是一个数如果被平移到了区间右边，那么它的贡献是不能被算进来的

提交记录

CF997E Good Subsegments

题意

给定一个长度为 $n$ 的排列 $p$ ，定义一个好区间 $[l,r]$ 使得 $p_l$ 到 $p_r$ 出现了从最小值到最大值之间的每个整数，$q$ 次询问，每次查询 $[l,r]$ 中有多少个好的子区间 ($1\le n,q \le 1.2\times 10^5$)

solution

这个东西在线不好求，考虑将询问离线下来，因为这是一个排列，所以好区间的要求实际就是 $max-min=(r-l)$ 即 $f_l=max-min-r+l=0$ ,于是可以扫描右端点，维护左端点的 $f$ 值，因为 $f\ge 0$ 所以可以直接维护最小值以及最小值的个数，对于修改最大值和最小值，使用单调栈就行了。但是它这里询问的是子区间，于是维护历史最小值个数就行了，注意下传历史信息的那个 $tag$ 时必须要满足条件才下传（即 $mi_p==mi_{son}$ 才把标记下传给儿子,实际就是等于 $0$ 时才下传，因为根的最小值一定是 $0$ ），这一类子区间的问题好像都是维护历史信息

sunmission

[Ynoi Easy Round 2023] TEST_90

题意

给一个长度为 $n$ 的序列 $a$ ，$q$ 次询问，每次查询 $[l,r]$ 中有多少个子区间出现过的数的个数为奇数。

solution

首先把询问离线下来，然后扫描线直接维护区间内出现了多少个数。题目要求出现个数为奇数的，设 $f_l$ 表示左端点为 $l$ 时出现的数的个数，线段书上维护区间内 $f_l$ 为奇数的个数和为偶数的个数，每次修改时交换一下，因为是求子区间，所以再维护一下历史和就行了（注意这里不能只维护一个 $tag$ ，要维护奇数被算进答案的 $tag$ 和偶数被算进答案的 $tag$,每次也要交换）

CF568E Longest Increasing Subsequence

题意

给定一个长度为 $n$ 的数列（ $n \le 10^5$ ），其中有 $k$ 个位置是 $-1$ （ $k\le 10^3$ ）表示这个位置为空缺的，你有 $m$ 个数（ $m\le 10^5$ ）每个空位是其中一个数（只能用一次），构造出严格递增子序列最长时的数列

solution

重复填同一个数字对答案不会有多的贡献，所以可以先不管这条限制。除了常规的数据结构 $O(N \log N)$ 求 $LIS$ ，还可以用二分求 $LIS$ 。具体的，设 $f_i$ 表示长度为 $i$ 的 $LIS$ 的结尾的数的最小值。(未完)

posted @ 2025-10-27 19:14 Xdik 阅读(34) 评论(0) 收藏举报

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CF53E Dead Ends(状态压缩)

题意

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CF70E Information Reform（树形dp）

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CF115E Linear Kingdom Races(线段树优化dp)

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CF258E Little Elephant and Tree) (扫描线)

题意

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CF285E Positions in Permutations (计数)

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CF383E Vowels (高维前缀和)

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[P5290 十二省联考 2019] 春节十二响

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P5324 BJOI2019删数

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