概率期望

概率期望

FAVDICE - Favorite Dice

一个 \(n\) 面的骰子，求期望掷几次能使得每一面都被掷到。

sol1：

​ 假设当前已经掷出了 \(i\) 个不同的面，则再掷出新面的概率是 \(\frac{n-1}{n}\) ，则期望为 \(\frac{n}{n-i}\)，那么答案为 \(ans=\sum_{i=1}^n \frac{n}{i}\) 。

sol2：

​ 设 \(f[i]\) 为已经掷过 \(i\) 面，还需掷的期望。

​ 显然 \(f[n]=0\) ，考虑转移：有 \(\frac{i}{n}\) 的概率掷到已掷的；有 \(\frac{n-i}{n}\) 的概率掷到新的，则 \(f[i]=f[i+1]\frac{n-i}{n}+f[i]\frac{i}{n}+1\Rightarrow f[i]=f[i+1]+\frac{n}{n-i}\) ${\color{Peach} ?} $

Game on Tree

给定一棵有根树，结点编号从 \(1\) 到 \(n\)。根结点为 \(1\) 号结点。

对于每一次操作，等概率的选择一个尚未被删去的结点并将它及其子树全部删去。当所有结点被删除之后，游戏结束；也就是说，删除 \(1\) 号结点后游戏即结束。

要求求出删除所有结点的期望操作次数。

sol:

若选择了 \(i\) 个点，则 \(i\) 的子树都不能再选，所以只有在 \(i\) 比它的祖先先选时，才会对操作次数产生贡献，而 \(i\) 在它祖先之前就选择的概率为 \(\frac{1}{dep_i}\)，所以答案为 \(\sum_{i=1}^n \frac{1}{dep_i}\)。