基环树

基环树

基环树又称环套树。但是它不是树，而是图。

定义：

具有N个点N条边的连通图。可以发现只有一个环，并且删掉环上任意一个边可以变成一棵树。

如果不保证联通，它就会成为基环树森林。

如图，显然断掉中间环的任意一条边就会变成一颗树。

---

种类：

基环树有内向树和外向树。

内向树：每个点有且仅有一条出边。

将上方的基环树变成内向树为：

外向树：每个点有且仅有一条入边。

变成外向树为：

---

操作：

求基环树的直径，求基环树两点之间的距离，基环树dp等。

基环树一般分成环和树来处理，即“断环成树”，先处理好树后，再考虑环对树的贡献。

---

处理：

可以这么理解，基环树=多个子树+环。

树就进行常规操作即可。

环的话，可以直接用 \(tarjan\) /se/se。

---

例题

ZJOI2008骑士

基环树+树形dp。

显然，如果将每个骑士与自己最痛恨的骑士连起来的话，会组成一个基环树。

将\(x\)讨厌的人\(y\)设为\(x\)的父亲节点。

由于每个人只有一条出边，则环上一定包含根节点，因为每个点都只有一个出度，非根节点每个点的出度都贡献给父节点，而根节点只能贡献给他的后代。

所以我们考虑在基环树的环上删掉一条边，则必然变成树。而边上至少有一个点不取，可以分别以两个端点为根进行树形DP，分别存在\(f[i][0/1]\)和\(g[i][0/1]\)中。