状压DP

到博客字体就变小了，怎么会是呢

定义及相关原理

状态压缩动态规划，就是俗称的状压DP，是利用计算机二进制的性质来描述状态的一种DP方式。

很多棋盘问题都运用到了状压，同时，状压也很经常和 BFS 及 DP 连用。

状压dp其实就是将状态压缩成2进制来保存，其特征就是看起来有点像搜索，每个格子的状态只有1或0 ，是另一类非常典型的动态规划。

我们最多只需要 \(2^{n + 1}- 1\) 的十进制数就好（二进制形式是n个1），用十进制表示二进制的数，枚举了全部的状态，DP起来复杂度岂很大。状压其实是一种很暴力的算法，他需要遍历每个状态，所以将会出现 \(2^n\) 的情况数量，不过这并不代表这种方法不适用：一些题目可以依照题意，排除不合法的方案，使一行的总方案数大大减少从而减少枚举。

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位运算相关：

位运算（这篇博客很详细）

1. 位与：‘ & ’ 符号，x & y，会将两个十进制数在二进制下进行与运算(都1为1，其余为0） 然后返回其十进制下的值。例如 3 ( 11 ) & 2 ( 10 ) = 2 ( 10 )。

2. 位或：‘ | ’符号，x | y，会将两个十进制数在二进制下进行或运算（都0为0，其余为1） 然后返回其十进制下的值。例如 3 ( 11 ) | 2 ( 10 ) = 3 ( 11 )。

3. 异或：‘ ^ ’符号，x ^ y，会将两个十进制数在二进制下进行异或运算（不同为1，其余为0）然后返回其十进制下的值。例如 3 ( 11 ) ^ 2 ( 10 ) = 1 ( 01 )。

4. 位取反：‘ ~ ’符号，~ x，按位取反。例如 ~101 = 010。

5. 左右移：‘ << ’符号，左移操作，x << 2，将x在二进制下的每一位向左移动两位，最右边用0填充，x << 2相当于让x乘以4。 ’ >> ’符号，是右移操作，x > > 1 相当于给 x / 2，去掉 x 二进制下的最右一位。

Some Skills

1. 判断一个数字 x 二进制下第i位是不是等于 1 。（最低第 1 位）

   方法：if(((1<<(i−1))&x)>0) 将1左移 i-1 位，相当于制造了一个只有第 i 位上是1，其他位上都是 0 的二进制数。然后与 x 做与运算，如果结果 > 0， 说明 x 第 i 位上是 1 ，反之则是 0 。

   证明：(1<<(i-1)) 构造出了只有第 i 位为 1 ，其余全为 0 的数。与 x 取余，只有 x 在第 i 位上有数时，结果 > 0。

2. 将一个数字 x 二进制下第i位更改成1。

   方法：x = x | ( 1 << ( i−1 ) ) 证明方法与1类似。

   证明：(1<<(i-1))构造出了只有第 i 位为 1，其余全为 0 的数。与 x 取或，只有 x 在第 i 位会 “ 1 | 0 = 1 ”,从而第 i 位变成 1 。

3. 将一个数字 x 二进制下第 i 位更改成 0。

   方法：x = x & ~ ( 1 << ( i−1 ) )。

   证明：对 (1<<(i-1)) 取反，可以得到类似011111...的数，与 x 取 & ，则除了第 i 位外都还是原数。第 i 位会" 0 & 1 = 0 "。

4. 把一个数字二进制下最靠右的第一个 1 去掉。

   方法：x = x & ( x − 1 )。

   证明：对 x-1，则最后一个 1 \(\Rightarrow\) 0，再与 x 取 & ，最后一个 1 以外都为原数不变。只有变化的地方 “ 0 & 1 = 0 ”。