逆元
总结自🍑
1. 引入：求 (a/b) %p ---》 “除以一个数再取模等同于乘以这个数的逆元再取模” // 这里b很大，暴力╮(╯-╰)╭
2. 求法：设 inv[b]是b的逆元，那么(a/b)%p = (a*inv[b])%p // 叫法是 一个数b在模p的条件下的逆元是多少
一个数的逆元可能有若干个（>=0) ，但只需要求得一个数的最小正整数逆元即可。
b关于p的逆元存在，当且仅当b和p互质（公约数只有1）。
1 已知x * a ≡ 1 (mod p) 将p连入式子=> x*a = 1 -b*p => x*a+b*p=1 2 那么我们就得到了一组新方程: x*a+b*p=1 3 若x 和 p不互质, 则 x和p 存在公约数 d=gcd(x,p)>1 , 4 提取出d, 得到: d(x/d*a+p/d*b) = 1 5 移项得到: (x/d * a+ p/d *b) = 1/d 6 易知x , p 能整除 d, 所以括号内定为整数, 7 又因为d > 1 ,等式右边必为真分数, 等式无解 8 证毕
3. 费马小定理：a^p ≡ a (mod p) --> a^p - a ≡ 0 (mod p) --> a( a ^ (p-1) - 1) ≡ 0 (mod p) --> a ^ (p-1) - 1 ≡ 0 (mod p) --> a ^ (p-1) ≡ 1 (mod p) //其实好像直接除过去就行
4. 求法
①蒙哥马利快速幂模: 只有p为质数时才可以用
首先由定义 inv[a] * a ≡ 1 (mod p)；再根据费小推论得，inv[a] * a ≡ a ^ (p-1) (mod p)；移项， inv[a] = a^(p-2)
即最终得到 inv[a] ≡ a ^ (p-2) (mod p)
1 inline ll quickpow(ll x, int p) 2 { 3 ll ans=1; 4 while(p) 5 { 6 if(p&1) ans=(ans*x)%mod; 7 x=(x*x)%mod; 8 p>>=1; 9 } 10 return ans; 11 } 12 inline inv(ll a) 13 { 14 inv_a=quickpow(a,mod-2); 15 return inv_a; 16 }
② 扩展欧几里得算法：
主要就是 ax+by=gcd(a,b) 因为a,b互质，所以gcd(a,b)=1。其他参照之前写的这篇🍓。
5. tips：倒数：a * (1/a) = 1; 逆元: a * x = 1(mod p)
