扩展欧几里得 + 线性同余方程

总结自这两篇：👨‍✈️👩‍💼

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一、扩展欧几里得

1. 辗转相除法（欧几里得算法）的证明：

int gcd(int a,int b){
   return b?gcd(b,a%b):a;
}
// 不用考虑a，b大小，会自己交换的

2. Ex_gcd用途：求关于 ax + by =gcd(a,b) 的所有整数解

　　　 　思路：令g=gcd(a,b) ，若我们已知该方程一个特解x0，y0，则我们可以用某种方式求出所有整数解。

▲裴蜀定理：对任何整数a，b，m，关于未知数x,y的裴蜀等式ax +by = m, 当且仅当m为(d=gcd(a,b)）的倍数时有整数解

3. ①怎么求出这个特解？

　　已知gcd(a,b) = gcd(b, a%b) 接下来讨论下两式有无关系

       a * x1 + b * y1 = g(a,b)
       b * x2 + (a%b) * y2 = g(b,a%b)

可知：a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a%b) * y2=b * x2 + (a - (a / b) * b) * y2= a * y2 + b * (x2 - (a / b) * y2)

所以可知：x1=y2, y1=x2 - (a/b)*y2 

则知道x2, y2 就可以知道x1, y1了。

因为最终辗转相除法递归出口是b=0，a为GCD，所以对 a*x+b*y=gcd(a,b) 来说，x=1，y=0；得到这个特解，在回溯回去，就可以得出原方程的一个特解

　②如何由该特解推出其他整数解？

　a*(x+b/g)+b*(y-a/g)=g; a*b/g是lcm(a,b)  然后通过这样改变x,y的值，来求出所有x,y的通解。

void e_gcd(int a,int b,int &gcd,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        gcd=a;
　　　　　　 return;
    }
    else
    {
        e_gcd(b,a%b,gcd,y,x); // x2=y1-(a-b)*y2, y2=x1
        y-=x*(a/b);
    }
}

4. 对于a*x + b*y =c求解：如果c%gcd(a,b)!=0, 即 c 不是 gcd 的整数倍，则无解。如果 c % gcd(a,b) == 0 且 c / gcd(a,b) = t，那么求出方程 a * x + b * y = gcd(a,b) 的所有解 x,y，将 x,y 乘上 t，对应的 x’,y’即是方程 a * x + b * y = t * gcd(a,b) 的解

5. 求最小正整数解：  联系 3.② 

// 第一种，朴素循环法 
       e_gcd(n-m,l,g,s,k);
       ll t=(x-y)/gg;
       s=s*t;
       t=abs(l/gg);
       if(s<=0){
          while(s<0) s+=abs(t);
          }
       else
          {
          while(s>0) s-=abs(t);
          s+=abs(t);
          }     

// 第二种，
       e_gcd(n-m,l,g,s,k);
       ll t=(x-y)/gg;
       s=s*t;
       t=abs(l/gg);
       s=(s%t+t)%t; //加t是为了防负

 

二、线性同余方程

1. ax≡b (mod n) 意思是 ax%n==b%n ，可以被写为ax+ny=b ( (ax-b)%n=0 => (ax-b) - (ax-b)/n*n=0 其中y=-(ax-b)/n ，b代表次数，最后取绝对值即可）

   此方程有解当且仅当 b 能够被 a 与 n 的最大公约数整除（记作 gcd(a,n) | b 即 b%gcd(a,n) == 0)。

　如果x0是一个解，那么所有的解可以表示为：{x0+kn/d|(k∈z)}  //d 是a 与 n 的最大公约数；kn/d即b/gcd (3.②)。在模 n 的完全剩余系 {0,1,…,n-1} 中，恰有 d 个解。

2. 所以由上可知，只要求出一个特解，就可以求出通解，所以要用到exgcd。

 

三、 tips

1. 写懵了，看了半天才反应过来。 如果题目说ax+by=1，那判断条件就是g是否为1，这样后面x加b/g也不用写这个g了。