有用的 trick 集合

有些时候这些神秘的 trick 可能会帮助你在考场上快速想出一些东西，所以需要记录一下。

数学类

Lucas 定理在 \(\text{mod}\ 2\) 意义下的结论

\(\binom{n}{m}\equiv1\pmod 2\) 当且仅当 \(n \operatorname{and} m=m\)，其中 \(\operatorname{and}\) 表示按位与运算。换句话说就是 \(m\) 的二进制位必须是 \(n\) 的二进制位的子集。

应用：P14654 夤生月。

面对计数容易算重

考虑枚举基准点将整个东西分成两部分分析，然后乘法原理。

实际上这种问题并没有什么固定的思维，只是发现可以用。

数据结构类

正则括号序列的转化

可以考虑一个正则括号序列转变成一棵树，然后在树上搞事情。

具体转化就是用一个栈维护左括号，每遇到一个左括号就把它加入当前节点的儿子里，否则弹栈。

Code

top = 0;
stk[++ top] = 1;
for (char ch : s) {
	if (ch == '(') {
		int u = stk[top];
		++ tot;
		g[0][u].eb (tot);
		g[0][tot].eb (u);
		stk[++ top] = tot;
	}
	if (ch == ')') -- top;
}

应用：CF2210D A Simple RBS Problem。

求区间前缀最大值个数

线段树维护单调栈。文章。

模板：P4198 楼房重建。

区间的神秘操作

如果遇到区间要维护一些非常反人类的操作，请认准分块。（前提是数据允许）

比如：P4108 [HEOI2015] 公约数数列。

图论类

无向图上搞猎奇事情

考虑无向图是一棵生成树上面添了许多条边组成的图，然后就从树+环考虑。

应用：[ARC115D] Odd Degree。

不知道什么类

排列的区间 mex

对于一个排列 \(\{a_n\}\)，其区间 \([l,r]\) 的 \(\text{mex}\) 等于 \([1,l)\) 和 \((r,n]\) 内元素的的最小值。文字语言就是排列的区间 \(\text{mex}\) 等于补集 \(\min\)。

应用：P15652 [省选联考 2026] 排列游戏 / perm。

求一个数 \(a=\min\{S\}\) 或 \(a=\max\{S\}\) 的计数和求其他的

考虑枚举 \(a\) 以去掉 \(\min\) 或 \(\max\)。相当于是将计算未知变成计算已知，显然这样更好处理。

应用：ABC439D Kadomatsu Subsequence。

图上删边等极难维护之类

考虑时光倒流（正难则反），让删边变成加边这样好操作的东西。

应用：一大堆，但我目前还没做到题目。

不会做题

睡一觉吧。