逆元相关知识

逆元相关知识

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乘法逆元(mod 在C++里是%)

定义：
满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。

为什么要有乘法逆元呢？
当我们要求(a/b)%p的值，且a，b都很大，无法直接求得a/b的值，必须在之前mod时（因为(a/b)%p不等于(a%p)/(b%p)），我们就要用到乘法逆元。
我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p，即(a*k)%p。其结果与(a/b)%p等价。

前提a和p互质，才能用乘法逆元:
因为a*k≡1 (mod p)等价于ax+by=1，要使其有解，gcd(a,b)必须等于1。

证：（其实很简单。。。）

• 根据b*k≡1 (mod p)有b*k=p*x+1。
• k=(p*x+1)/b。
• 把k代入(a*k)%p，得：
• (a*(p*x+1)/b)%p
• =((a*p*x)/b+a/b)%p
• =[((a*p*x)/b)%p +(a/b)]%p
• =[(p*(a*x)/b)%p +(a/b)]%p
• //p*[(a*x)/b]%p=0
• 所以原式等于：(a/b)%p

根据欧几里德算法

代码如下：

void Exgcd(int a,int b,int &x,int &y){if(!b) x=1,y=0;else Exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;}
int main(){
    cin>>a>>b>>p;//(a/b)%p
    Exgcd(b,p,x,y);
    int ni=(x+p)%p;//防止出现负数
    printf("%d就是逆元\n",ni);
    return 0;
}

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线性求逆元

求i的逆元。

可得p%i+(p/i)*i=p

• 令a=p%i，b=p/i;
• a+b*i=p
• a+b*i≡0(mod p)
• b*i≡-a(mod p)
• i^-1=-b/a

所以i的逆元：-(p/i)*(p%i)^-1

这样就可以O(n)求出所有逆元了

代码如下：

（因为1^(-1)=1，所以初始化inv[1]=1）
for(inv[1]=1,i=2;i<=n;i++) inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
所以最后O(1)出答案。

本人也是初学，请大家多多包含，也希望对大家有用