20260321 NOI 模拟赛

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https://htoj.com.cn/cpp/oj/contest/detail/problem?cid=22704952275712

Problem A. 城市建设问题

考虑按 \(A_i\) 大小关系给图定向为 DAG，每次加入一个入度为 \(0\) 的点，设当前点集为 \(S\)，可以以 \(|S|\) 的代价获得 \(sum(S)\) 的收益。一边状压一边背包即可 \(O(2^n nm)\)。

这个过程可以抽象为选取若干个集合 \(S_1\subsetneq S_2 \subsetneq S_3\subsetneq \cdots \subsetneq S_n\) 出来做完全背包。这个包含关系太难处理了，但是可以发现 若 \(S_i,S_j\) 之间没有包含关系，那么换为 \(S_i\cup S_j,S_i\cap S_j\) 一定不劣，所以可以直接扔掉这个条件。\(O(n2^n+nk)\)。

Problem B. 字符串修改问题

转化为求 \(\max(len(s)\times(occ(s)-1))\)，\(occ(s)\) 为 \(s\) 不重叠出现的次数。

对于一个 \(len(s)\) 求答案，在 SA 上把相等子串染为同一种颜色，然后扫一遍序列即得出答案。

然后对所有的 \(len\) 求答案。注意到 \(f(i)\ge f(i+1)\) 且 \(f(i)\le \frac n i\)。考虑类似线段树的过程，若该节点 \(f(l)=f(r)\) 就返回。

考虑第 \(d\) 层，最多有 \(c=2^d\) 个节点。

前 \(2^{d/2}\) 个节点都可以出现。\([2^{d/2},2^d]\) 这些节点的节点值都 \(\ge \frac{n}{2^{d/2}}\)，那么只有 \(O(2^{d/2})\) 个节点值。于是一层只有 \(O(2^{d/2})\) 个节点，由主定理 \(T(n)=T(n/2)+O(\sqrt{n})=O(\sqrt{n})\) 得总复杂度为 \(O(n\sqrt{n})\)。

Problem C. 背包问题

把每个颜色分到一起，最大和次大合并为一个重量为 \(2\) 的物品，选了 \(2\) 才能选剩下的 \(1\)。

由于重量只有 \(1,2\)，可以先尝试按性价比贪心选，直到将要溢出。此时剩余容量最多只有 \(1\)。

如果恰好填满就是最优的，因为我们把性价比最大的前 \(k\) 个都选进来了。否则，我们有三种决策：+1，-1+2，-2+3。

设扔掉的物品集合为 \(S\)，新加入的为 \(T\)。若 \(S,T\) 内都有 \(1\)，删掉这两个 \(1\) 一定更优；若只有 \(S\) 内有 \(1\)，那么只保留一个 -1+2 一定更优；若只有 \(T\) 内有 \(1\)，那么只保留一个 -2+3 或一个 +1 一定更优。

set 维护即可。