构造专题 3

构造专题 3

Problem A. [AGC031C] Differ by 1 Bit

将 \(p\) 看作 在 \(n\) 维二阶立方体上的路径。\(n\) 维二阶立方体是张二分图，所以一个有解的必要条件是 \({\rm popcount}(a_i \oplus a_j)\) 为奇数。

每次找到 \(S,T\) 不同的一维，在这一维上劈开，再找到不同的一维作为中转，递归求解。边界为只有一维不同，此时直接走过去即可。

Problem B. [ARC122E] Increasing LCMs

\({\rm lcm}_{j=1}^{i-1}(a_j)<{\rm lcm}_{j=1}^{i}(a_j)\)，这个条件不好判断，那就在质因子的角度上考虑，枚举 \(j\in[1,i-1]\)，不断令 \(a_i\leftarrow \frac{a_i}{\gcd(a_i,a_j)}\)，最后 \(a_i>1\) 就合法。

从限制最紧的开始构造，即从 \(n\) 到 \(1\) 构造。每次选出任意一个合法元素，剩余的合法集合只会增加不会减少，选不出来就无解。

Problem B. CF949E Binary Cards

观察 1： 一个 \(2^k\) 不会出现多次，否则用 \(2^k,2^{k+1}\) 一定不劣。

观察 2： \(2^k,-2^k\) 不会同时出现，否则用 \(-2^k,2^{k+1}\) 一定不劣。

枚举二进制位，若有数是奇数就要选一个 \(2^k\) 或 \(2^{k+1}\)，然后所有奇数加上或减去 \(2^k\)，接着所有数除以二向 0 取整继续做。每次除完之后就去重，因为值域折半，所以复杂度 \(O(V\log V)\)。

Problem C. CF1270G Subset with Zero Sum

？？？

可以发现 \(1\le i-a_i\le n\)。\(i\) 向 \(i-a_i\) 连边，形成内向基环树，把环拿出来就是答案。

设 \(i\) 连向 \(j\)，则 \(a_i=i-j\)，环上所有的 \(i-j\) 和为 \(0\)。

Problem D. UOJ52 元旦激光炮

每次问三个序列的第 \(\lfloor \frac k 3 \rfloor\) 小值，找到最小的那个，这个序列的前 \(\lfloor k/3 \rfloor\) 小值一定都不是答案，排除，再令 \(k\leftarrow k-\lfloor k/3 \rfloor\)。

这样 \(k\) 每次乘 \(2/3\)，\(\log\) 次就能找到答案。