20260106 省选模拟赛

20260106 省选模拟赛

https://htoj.com.cn/cpp/oj/contest/detail?cid=22618738769920

Problem B. 压力测试

对于 \(k=n\) 的情况，我们对异或拆位考虑，最外层枚举第 \(w\) 位，然后把 \(a_i\) 变为 \(01\)。里面再长剖即可。

加上 \(k\) 的限制，似乎需要向上再套一个维护前缀的数据结构，但复杂度不可接受。

拆位时，\(2^w\) 个 \(1\) 接上 \(2^w\) 个 \(0\) 的结构非常优美，但我们的长剖没有利用到。换为倍增，设 \(f_{x,i}\) 为所有深度在 \([dep_x,dep_x+2^i)\) 内且 dfn 序在 \(low_x\) 之前的点的答案 （较新奇的处理方法），处理其他信息倍增即可。

设 \(pre_x\) 为与 \(x\) 深度相同的节点中最后一个 dfn 序小于 \(x\) 的节点，那么询问时回答 \(Calc(x,k)-Calc(pre_x,k)\) 即可。

Problem C. 数据

考虑选出一个子集，判断其是否合法。设第 \(j\) 个选出来的位置是 \(i\)，则要满足 \(i\ge 2j+1\)。

所以我们两个两个考虑，维护一个小根堆，压进两个，弹出一个。留在小根堆里的就是答案。

计数不好记录堆里元素。将 \(b_i\) 拆为 \(\sum_{w\ge 1}[b_i\ge w]\)，最外层枚举一个 \(w\)，只需知道堆里有几个 \(1\) 即可。

设 \(f_{i,j}\) 为考虑前 \(i\) 个，堆里有 \(j\) 个 \(1\)，转移讨论 \(b_i\) 是否 \(\ge w\) 即可。复杂度 \(O(mn^2)\)。

然后发现答案是关于 \(w\)、以 \(a_i\) 为断点的 分段多项式，每一段进行插值，\(O(n^4)\)。

进一步发现，\(a_i\) 单调递增，枚举最后一个 \(a_i<w\)，前半部分转移系数为 \(0,a_i\)，后半部分为 \(a_i-w+1,w-1\)。前半部分是个前缀积，后半部分对任意的分界点都相同，所以不需要分段了，\(O(n^3)\)。