P9356 「SiR-1」Bracket 做题记录

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P9356 「SiR-1」Bracket - 洛谷 (luogu.com.cn)

将 \(\texttt{(}\) 看为 \(1\)，将 \()\) 看为 \(-1\)，整个括号序列看做一个折线图。

首先将末尾补到 \(0\)，若 \(s_n<0\) 则在前边补左括号，\(s_n>0\) 在右边补有括号。

然后考虑进行轮换操作：若进行轮换，选择折线图最低点进行操作可以一步变得合法。

所以只需考虑需不需要进行轮换操作。若 \(s_n>0\)，那么 \(s\) 的最小值 \(\ge 0\) 就不需要轮换；若 \(s_n<0\)，那么 \(s\) 的最小值 \(\ge s_n\) 就不需要轮换。

再考虑区间 \([l,r]\)，不难发现，不需要轮换当且仅当 \(\min_{l-1\le i\le r} s_i\ge \min\{s_{l-1},s_r\}\)。

枚举 \(r\)，维护左边的不降单调栈。若 \(\min_{l-1\le i\le r} s_i=s_r\)，那么 \(l\) 必定合法；否则，需要 \(s_{l-1}=\min_{l-1\le i\le r} s_i\)，即 \(l-1\) 在单调栈里。

需要维护第一个小于栈顶的元素，可以将值相同的元素并起来。复杂度 \(O(n)\)。

int T,n;
char a[N];
int s[N];
int c[N<<1];
pii stk[N]; int top;

void Solve(){
	read(n);
	scanf("%s",a+1);
	for(int i=0;i<=n+n;i++) c[i]=0;
	++c[n];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[i]=='(') s[i]=s[i-1]+1;
		else s[i]=s[i-1]-1;
		++c[s[i]+n];
	}
	ll sum=0,tot=0;
	ll ans1=0;
	for(int i=0;i<=n+n;i++){
		ans1+=c[i]*(tot*i-sum);
		tot+=c[i],sum+=1ll*i*c[i];
	}
	top=0; ll ans2=1ll*n*(n+1)>>1;
	stk[0]={-1,0};
	for(int i=0;i<=n;i++){
		while(top&&s[stk[top].first]>s[i]) --top;
		if(top&&s[stk[top].first]==s[i]) stk[top].first=i,++stk[top].second;
		else ++top,stk[top]={i,stk[top-1].second+1};
		ans2-=i-stk[top-1].first-1+stk[top-1].second;
	}
	printf("%lld\n",ans1+ans2);
}

signed main(){
	//静心，long long，数组大小，空间，复杂度，进包，格式 
	read(T);
	while(T--) Solve();
	return 0;
}