ARC205 B,D,E

ARC205

Problem B. B - Triangle Toggle

不断找只有 \(\le 1\) 条黑边的三元组，将其反转，答案至少增加 \(1\)，直到找不到这样的三元组就得到了答案。

每个点的白边个数奇偶性不变，且在答案中没有一个点有 \(\ge 2\) 条白边。

若 \(n\) 为奇数，答案为 \(\dfrac{n(n-1)}{2}\)；否则为 \(\dfrac{n(n-1)}2 - \dfrac{n}{2}\)。

Problem D. D - Non-Ancestor Matching

直接想法是，先让每个子树内的未匹配点最小，然后合并时剩下的能匹配就匹配。但是不一定最优，因为子树内的一条匹配边可以断掉然后匹配外面的两个点，让答案加一。

那么我们从上往下，能匹配就匹配，匹配不了的递归进子树再处理。

具体地，设当前子树为 \(x\)，设其儿子子树大小为 \(s_1,s_2,s_3,\cdots,s_k\)，不妨让它单调不降。如果 \(s_k\le \sum_{i=1}^{k-1} s_i\)，那么可以匹配完，返回；否则，递归进 \(s_k\) 子树，并记录一下外面有几个点可以用，继续处理即可。

Problem E. E - Subset Product Problem

朴素做修改 \(O(V)\)，查询 \(O(1)\)（或者反过来）。考虑上值域分块平衡一下，把每个数字写成 \(BP+Q\) 的形式，其中 \(B\)。修改时 \(O(\frac V B)\) 更新能被 \(P\) 更新的块，查询时在 \(P\) 所在块里 \(O(B)\) 查一下 \(Q\) 的答案即可。

取 \(B=\sqrt{V}\)，复杂度 \(O(n\sqrt{V})\)。