ARC203 A-D

ARC203 A-D

Problem A. A - All Winners

先把每组的第 \(1,2\) 个人拿出来，每组的 \(1\) 战胜其余组的 \(2\)。然后再拿出 \(3,4\)，做同样的工作。

若 \(m\) 是偶数，那么这样 win 了的人全 win，lose 的人全 lose，是最优的。

若 \(m\) 是奇数，那么最后的 \(n\) 个人中让 \(1\) 组的人获胜，答案加一。除了最后一组，win 了的人全 win，lose 的人全 lose。

答案为 \(n\times \lfloor \frac m 2\rfloor + m\bmod 2\)。严谨证明移步官解。

Problem B. B - Swap If Equal Sum

若 \(1\) 的数量不同一定无解。

若含 \(\ge 2\) 个 \(1\)，那么都 \(A,B\) 都可以变成 \(1111\cdots 0000\) 的形式，由于操作可逆，所以一定有解。

若只含一个 \(1\)，那么可以移动 \(0\)，但是如果开头或结尾不同就无解了。

Problem C. C - Destruction of Walls

看到 \(K\le H+W\)，直接大力分讨：

• \(K<H+W-2\)，无解；

• \(K=H+W-2\)，\(ans=\dbinom{H+W-2}{H-1}\)；

• \(K=H+W-1\)，可以任意拆掉一堵墙，设 \(t=H(W-1)+W(H-1)-(H+W-2)\)，\(ans=\dbinom{H+W-2}{H-1}\times t\)。

• \(K=H+W\)。

  • 路径长 \(H+W-2\)，任意拆掉两堵墙，\(\dbinom{H+W-2}{H-1}\times \dbinom t 2\)。

    但是会在 \(2\times 2\) 的方块处被两条路径各算一遍，构造一下，\((1,1)\rightarrow(H-1,W-1)\) 的路径中间（包括两端）插入一个方块，方案为 \(\dbinom{H+W-4}{H-2}\times(H+W-3)\)。

  • 路径长 $H+W $。

    • 向左走了一步，构造一下，\((1,1)\rightarrow (H-2,W+2)\) 的路径中间选择一个向右走的换成 "\(\downarrow\leftarrow\downarrow\)"。第一个和最后一个不能换，\(\dbinom{H+W-2}{W+1}\times(W-1)\)。
    • 向上了一步，同理，\(\dbinom{H+W-2}{H+1}\times(H+1)\)。

Problem D. D - Insert XOR

大粪，差评。

正难则反，尽可能多地删除。观察：

• 长度 \(\ge 2\) 的 \(0\) 段可以变为 \(00\)。
• 两边至少有一个 \(0\) 的 \(1\) 连续段可以变为一个 \(1\)。
• \(101\) 可以变为 \(11\)。

首先判掉没有 \(0\) 的情况。现在每个 \(1\) 连续段都可以变成一个 \(1\)。

先尽量缩连续段，缩完后 \(1\) 连续段长度为 \(1\)，\(0\) 连续段长度 \(\le 2\)。

形如 \(101010101\) 的序列答案为 \(2\)；否则每次找到极长的 \(1010101\) 段，将其变为一个 \(1\)。

具体实现中，可以给每个位置赋权值：

• 若 \(a_x=a_{x-1}=1\)，则 \(v_x=-1\)；
• 若 \(a_{x-1}+a_{x}+a_{x+1}=0\)，则 \(v_x=-1\)。
• 若 \(a_x=0,a_{x-1}=a_{x+1}=1\)，则 \(v_2=-2\)。

特判全 \(1\) 并对答案与 \(2\) 取 \(\max\) 即可。