点分治与点分树 专题

点分治与点分树 专题

以分治中心为端点的路径称为 “一类路径”，跨过分治中心的路径称为 “二类路径”。

Problem A. CF914E Palindromes in a Tree

一条路径是合法的，当且仅当在其上面的字符中出现次数为奇数的字符种数 \(\le 1\)。

于是只需考虑字符的奇偶性，状压记录，路径合法当且仅当其异或和为 \(0\) 或 \(2^k\)。

点分治，一类路径直接打树上差分标记，二类路径考虑合并子树时统计它和其他所有子树的贡献。但需要正反做一遍，有点麻烦，所以考虑先将所有点的贡献加上，然后处理每个子树时先撤销，再统计。

时间复杂度 \(O(n|\Sigma|\log n)\)。

https://codeforces.com/contest/914/submission/333775803

Problem B. P2664 树上游戏

两个路径不能直接合并，所以需要想想别的办法。

点分治，设当前分治中心为 \(rt\)。

一类路径统计是容易的，一遍 dfs 就可以了；

对于一条二类路径 \(x\rightarrow y\)，将其拆为 \(x\rightarrow rt \rightarrow y\) 两部分的贡献。

\(x\rightarrow rt\) 的部分是容易的，一遍 dfs 求出；\(rt\rightarrow y\) 的部分，设 \(x\) 位于 \(rt\) 的 \(u\) 子树中，\(cnt_{x,c}\) 为 \(x\) 子树中含有 \(c\) 的路径条数，那么该部分的贡献为 \(\sum_{c\notin S(rt,x)} cnt_{rt,c}-cnt_{u,c}\)。

先记 \(S=\sum cnt_{rt,c}-cnt_{x,c}\)，然后在 \(u\) 子树中 dfs，当 \(c\) 出现时将其贡献从 \(S\) 里减去。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

https://www.luogu.com.cn/record/230769392

Problem C. P6329 【模板】点分树 | 震波

若没有修改，可以点分治，分成分治区域内和分治区域外两部分计算贡献即可。

加上修改后，考虑点分树，将分治中心的关系用树刻画。

查询 \(x,k\) 时，枚举包含 \(x\) 的分治中心，即点分树上 \(x\) 的祖先。分治中心 \(y\) 的贡献为 \(\sum_{z\in sub_y} a_z[dis(z,x)\le k]-\sum_{z\in sub_{son(y)}} a_z[dis(z,x)\le k]\)，\(son(y)\) 表示 \(x\) 在 \(y\) 方向上的儿子。

而 \(dis(z,x)=dis(y,z)+dis(x,z)\)，所以条件变为 \(dis(z,y)\le k-dis(x,y)\) 。后面这一部分可以多维护 \(\sum_{z\in sub_y} a_z[dis(fa_y,z)\le k-dis(fa_y,x)]\) 即可。

在每个节点上开两棵动态开点线段树即可。

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Problem D. P2056 [ZJOI2007] 捉迷藏

求最远点对，可以点分治求解。

加上修改，需要用点分树。对于每个分治中心，需要维护出每个子节点的子树中到 \(x\) 的距离最大值，和最优子树、次优子树。可以用懒惰删除的大根堆维护。

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Problem E. P3345 [ZJOI2015] 幻想乡战略游戏

没有修改时，可以类似换根 dp，\(f_v=f_u+w(u,v)(All-2sum_v)\)。

那么一定存在一个节点，使得所有儿子的 \(2sum_v\le All\)。这个节点就是带权重心。

以带权重心为根时，越向下走，答案一定越劣。

更改点权后，从旧根开始，每次找到一个更优的儿子，向它走。但复杂度没有保证，所以建出点分树，只需要走 \(\log n\) 步即可。实际上每次从 \(1\) 开始即可。

求 \(f_x\) 可以枚举分治中心 \(O(\log n)\) 求解。复杂度 \(O(nD\log^2 n)\)。

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Problem F. P3676 小清新数据结构题

拆式子，

\[\begin{aligned}\sum_x(\sum_{y\in sub_x} a_y)^2&=\sum_x(\sum_{y\in sub_x} a_y)(\sum_{z\in sub_x} a_z)\\&=\sum_x \sum_y a_xa_ydep(lca(x,y))\\&=\frac 1 2 \sum_x \sum_y a_xa_y (dep(x)+dep(y)-dis(x,y))\\&=(\sum_x a_x)(\sum_y a_ydep(y))-\frac 1 2 \sum_x \sum_y a_xa_y dis(x,y)\end{aligned} \]

后半部分和根没关系，全局维护。前半部分和后半部分的变化量就是 E 的 \(f_x\)，\(O(\log n)\) 查询。

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Problem G. P4565 [CTSC2018] 暴力写挂

拆式子，

\[f(x,y)=\frac 1 2 (dep(x)+dep(y)+dis(x,y)-dep'(x)-dep'(y)+dis'(x,y)) \]

在第一棵树上点分治，在第二棵树上建虚树，维护虚树上每个节点的子树内最大值、颜色不同的次大值即可。

或者采用边分治，颜色只有黑白两种，虚树上处理时更方便。

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