图论杂题选做

图论杂题选做

Problem A. UOJ605 知识网络

相同标签之间的边数太多，所以每个标签建一个新点，点向标签连 \(0\) 边，标签向点连 \(1\) 边。边数降为 \(O(n+m)\)。

点数太多，不能直接跑，但标签很少。所以可以先以每个标签为起点跑 01BFS 求出 \(dis\)。

对任意一个点 \(x\)，标签内的点与其 \(dis\) 相差不超过 \(1\)。建出最短路径图，若 DAG 上 \(y\) 可到达 \(x\)，则 \(dis_{y,x}\) 要减一。

但 DAG 上的可达性问题很难做到 \(O(n^2)\) 以下，但可以用 bitset 除 \(w\)。但直接开空间不够，考虑每 \(B\) 个起点一起做，时间 \(O((k+\frac n B)\frac {nB}w)\)，空间 \(O(\frac{nB} w)\)，取 \(B=300\) 可以通过。

总时间 \(O(k(n+m)+\frac {n^2} w)\)，空间 \(O(\frac{nB} w)\)。

https://uoj.ac/submission/784273

Problem B. [CF875F] Royal Questions

将每个公主看做 \((u,v,w)\)，以每个王子为点，重新建出一张一般图。问题转化为，选出若干边，并给它们定向，使每个点入度最多为 \(1\)，最大化边权和。

类似于 Kruskal，求出最大 生成树/基环树森林即可。

https://codeforces.com/contest/875/submission/332940134

Problem C. [ARC092F] Two Faced Edges

对每条边分讨一下：

• \(u,v\) 在同一 SCC 内。SCC 数量变化，当且仅当 \((u,v)\) 这条边是 \(u\) 到 \(v\) 的必经边。
• $u,v $ 不在同一 SCC 内。SCC 数量变化，当且仅当 \((u,v)\) 这条边不是 \(u\) 到 \(v\) 的必经边。

我们枚举起点 \(s\)，先从前到后枚举 \(s\) 出边，若遍历到 \(t\) 时已经被遍历则 \(t\) 可以被前面的点到达，\((s,t)\) 不是必经边。然后再倒着跑一遍。复杂度 \(O(nm)\)。

Submission #68279931 - AtCoder Regular Contest 092

Problem D. UOJ32 跳蚤公路

考虑 bellman-ford 判负环，设 \(f_{u,i}\) 为 \(u\) 点迭代 \(i\) 次的最短路，若 \(f_{u,n}<f_{u,n-1}\) 则 \(x\) 能到达的所有点都有发财路径。

对于 \(x\)，我们再加一维，设 \(f_{u,t,i}\) 为 \(u\) 点迭代 \(i\) 次，\(x\) 前系数是 \(t\) 的最短路。那么没有负环，需要满足

\[\min_t \{f_{u,t,n}+tx\}\ge \min_p\{f_{t,p,n-1}+px\} \]

转化为逻辑符号，

\[\forall t,\exists p, f_{u,t,n}+tx\ge f_{u,p,n-1}+px \]

固定 \(t\)，对所有 \(p\) 解出的范围取并，然后对所有 \(t\) 解出的范围取交。再更新一下其所能到达的所有节点即可。

提交记录 #790296 - Universal Online Judge

Problem E. UOJ513 清扫银河

对于 1 操作，先随便搞出一个生成森林，每条非树边对应一个简单环。设连通块数量为 \(c\)，这样的环不超过 \(m-n+c\) 个。所有的简单环都能由若干个这样的环异或得到。

对于 2 操作，操作可以拆为单点，不超过 \(n-c\) 次。加起来操作次数不超过 \(m+1\)，所以只需判断有没有解。

直接将边集扔进线性基是 \(O(m^3/w)\) 的，考虑优化。二操作可以若干个点一起操作，可以只做一次。对于一个 2 操作点集，若操作后每个点的 1 边数量都是偶数就合法。未知数的数量缩小到 \(n\)，由此列方程，高斯消元求解，\(O(n^3/w)\)。

提交记录 #790383 - Universal Online Judge

Problem F. UOJ61 怎样更有力气

考虑 Kruskal，先将 \(m\) 条链按照 \(w\) 排序。设 \(i\) 链的限制数为 \(p_i\)。

若 \(p_i\) 小于 链大小减一，那么相当于没有限制，直接合并。

否则，可以暴力将链上的点拿出来。找到补图上度数最小的节点 \(x\)，则 \(deg_x\) 不超过 \(O(\sqrt{p})\)。 将与 \(x\) 有连边的点放入 \(T\) 集合，其他的放入 \(S\)。\(S\) 中的点可以直接与 \(x\) 合并，\(T\) 中节点可以 \(O(|T|^2)\) 合并，然后再合并 \(S,T\)，判一下 \(T\) 中点与 \(S\) 的连边是否达到 \(|S|\) 即可。

提交记录 #790545 - Universal Online Judge