后缀自动机（SAM）

后缀自动机 （SAM）

1. 定义

字符串 \(s\) 的 SAM 是只接受 \(s\) 的后缀的最小 DFA，它包含了 \(s\) 所有子串的信息。

设 \(t_0\) 为起始状态，即空串对应的状态。SAM 是个 DAG。

2. endpos

设 \(s\) 的子串 \(t\) 的 \({\rm endpos}(t)\) 为 \(t\) 在 \(s\) 中终止位置的集合。

引理 1：若 \({\rm endpos}(u)={\rm endpos}(v)\land |u|<|v|\)，则 \(u\) 是 \(v\) 的后缀。

引理 2：对于子串 \(u,v\) 且 \(|u|<|v|\)，如果 \(u\) 是 \(v\) 的后缀，则 \({\rm endpos}(v)\subseteq {\rm endpos}(u)\)；否则 \({\rm endpos}(u)\cap {\rm endpos}(v)=\varnothing\)。

定义一个等价类 \(a\)，其包含的所有子串的 \({\rm endpos}(t)={\rm endpos}(a)\)。

这也就是说，一个等价类包含的所有子串在 \(s\) 内 “如影随形” 地同时出现。

定义 \({\rm long}(a)\) 为 \(a\) 中最长的子串，\({\rm len}(a)\) 为其长度；\({\rm short}(a)\) 为 \(a\) 中最短的子串，\({\rm minlen(a)}\) 为其长度。

引理 3：对于一个等价类 \(a\)，其包含的所有子串的长度对应一个区间 \([{\rm minlen}(a),{\rm len}(a)]\) 内的所有整数。

那么对于一个等价类 \(a\)，其包含的所有子串构成了以 \({\rm long}(a)\) 为下底，\({\rm short}(a)\) 为上底的 右侧直角梯形。长度较短的子串一定是长度较长的子串的后缀。

SAM 以等价类 \(a\) 作为节点，将子串的信息压缩到了极致。

3. link

定义 \({\rm link}(a)\) 为 \({\rm long}(a)\) 最长的不在 \(a\) 内的后缀对应的等价类。即 \(a\) 对应的 "直角梯形" 的上一层子串的等价类。

容易得到 \({\rm minlen}(a)-1={\rm len}({\rm link}(a))\)。

引理 4：将 \(a\) 向 \({\rm link}(a)\) 连边，得到一棵以 \(t_0\) 为根节点的根向树。

这棵树称为 后缀树，也称 parent 树。后缀树描述了等价类的分裂。

从任意一个结点 \(a\) 开始，向上遍历后缀树，遍历到的子串的长度构成一个区间 \([0,{\rm len}(a)]\)。

还可以得到：等价类 \(a\) 的 \({\rm endpos}\) 大小即为其在后缀树上所有儿子的 \({\rm endpos}\) 大小之和。

4. trans

定义 \({\rm trans}(a,c)\) 为在 \(a\) 之后加上一个字符 \(c\) 后到达的节点。

引理 5：若 \({\rm trans}(a,c)\) 存在，则其唯一。

推论：${\rm trans}(a,c) $ 描述了等价类的合并关系。

__引理 6：若 \(a\) 被多个节点的 \({\rm trans}\)指向，则这些节点对应着后缀树上的一条祖先后代链。 __

5. 增量构建法

在 \(s\) 后加上一个字符 \(c\)，维护 SAM 的变化。

首先 \(s+c\) 一定在一个新等价类中，所以我们先新建一个节点 \(p\)。

设当前 \(s\) 所在的节点为 \(lst\)，从 $lst $ 向上遍历后缀树。

找到第一个存在 \({\rm trans}(q,c)\) 的 \(q\)。设 \({\rm trans}(q,c)=z\)。

1. 若不存在这样的 \(q\)，则 \({\rm link}(p)=t_0\)，结束；

2. 若 \({\rm len}(q)+1={\rm len}(z)\)，则令 \({\rm link}(p)=z\)；

3. 若 \({\rm len}(q)+1<{\rm len}(z)\)，那么 \(z\) 上面的一部分的 \({\rm endpos}\) 多了 \(|s+c|\)，而下面的部分没有。

   于是 \(z\) 需要分裂为 \(up,dn\) 两个节点。令 \(dn=z\)，新建一个 \(up\)，将 \(dn\) 的所有信息赋值给 \(up\)。

   令 \({\rm link}(p)=dn,{\rm link}(dn)=up\)。然后继续从 \(q\) 向上遍历后缀树，若 \({\rm trans}(q',c)=z\)，那么修改其为 \(up\)。

SAM 的节点数量不多于 \(2n-1\)，转移数不多于 \(3n-4\)。证明见 oi-wiki，不再赘述。

构建 SAM 的时间复杂度为 $O(n) $，空间复杂度为 \(O(n|\Sigma |)\)。若 \({\rm trans}\) 用平衡树实现，则时间复杂度为 \(O(n\log |\Sigma|)\)，空间复杂度为 \(O(n)\)。